УМК

a n =

4 x

cos n π x

1

−

4

1

cos n π x dx =

4

(−1)n .

∫

n 2 π2

n 2 π2

0

n 2 π2 0

Все коэффициенты bn

= 0, так как эта функция четная. Следовательно,

f (x) =

1

+

4

∑∞

(−1)n

cos n π x .

π

2

n

2

3

=

n 1

2.3.2. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Пусть функция f (x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой

функции произвольным образом

на

отрезке [− l, 0]

можно разложить эту

функцию в ряд Фурье.

чтобы при − l ≤ x < 0

а) дополним определение данной функции так,

f (x) =

a 0

∞

n π

x, x [0, l], где

+ ∑ a n

cos

2

n=1

l

a n

=

2

∫l

f (x)cos

n π

x dx .

l

0

l

∞

n π

x [0, l], где bn

2

n π

f (x) = ∑ bn

l

sin

x,

=

∫ f (x)sin

x dx .

n=1

l

l

0

l

2

π

2

π

2

bn =

∫ f (x)sin n π x

=

∫ x sin n π x dx = (−1)n

+1

Тогда,

π 0

(−1)n+1

π 0

n

x = 2 ∑∞

sin n x,

x [0, l].

n=1

n

f (x) = x

ПРИМЕР 2.45. Разложить в ряд Фурье функцию

на отрезке

[0, π] по косинусу.

Решение. Продолжая

эту

функцию четным

образом,

получим

f (x) =

x

, x (− π; π].

2

π

f (x)dx =

2

π

a 0

=

∫

∫ x dx = π,

π 0

π 0

=

2

π

f (x)cos n x dx =

2

π

x cos n x dx = −

4

a n

∫

∫

,

тогда

ряд Фурье

π

π

π n 2

0

0

имеет вид:

x = π −

4

∞

cos n x

x [0, π].

∑

,

2

π n=1

n 2

2.3.3. Ряд Фурье в комплексной форме

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8. Если функция f (x) периодическая с периодом

T = 2π

на отрезке [− π, π]

удовлетворяют условиям разложимости в ряд, то

ряд

f (x) =

∞

∑ Cn ei n x

n=−∞

называется комплексной формой ряда Фурье, где

Сn

=

1

π∫ f (x)e−i n x dx,

n = 0, ±1, ± 2,K

2π −π

Cn

называется комплексным коэффициентом ряда Фурье функции f (x).

Если функция f (x) периодическая с периодом 2 l, то ряд Фурье в ком-

плексной форме имеет вид:

f (x) =

∞

i

n π

∑

Cn l l .

n =−∞

Коэффициенты ряда Cn выражаются формулами

1

l

−

i n π

x

Сn

=

∫ f (x)e

l

dx, n = 0, ±1, ± 2,K.

2 l

−l

1

x i

ПРИМЕР2.46. Функцию e 2

разложить в ряд Фурье в комплексной

форме на интервале (− π, π).

Решение.

Согласно вышеприведенной формуле для коэффициента Cn

имеем:

π

π

1

π

1

1

1

x i

1

−n i x

2

Cn

=

∫ f (x)e−i n x dx =

∫

e 2

e−i n x dx

=

∫ e

dx =

2 π

2π

−π

2 π

−π

−π

2

1

=

sin

− n i

π. Тогда ряд Фурье имеет вид:

π(1

− 2 n)

2

1

1

x i

∞

sin

− n

i π

2

2

ei n x , x (− π, π).

e 2

=

∑

1 − 2 n

π n=−∞

1

∞ ∞

f (x) =

∫

∫ f (u)cos z(u − x)du dz

π 0

−∞

2

∞ ∞

а) если f (x) − четная функция, то f (x) =

∫

∫ f (u)cos zudu cos z xdz ;

π 0

0

2

∞ ∞

б) если f (x) − нечетная функция, тогда f (x) =

∫

∫ f (x)sin zudu sin zxdz .

π 0

0

0,

если

x

> 1,

ПРИМЕР 2.47. Функцию f (x) =

1,

если

0 < x < 1,

представить ин-

1 < x < 0

−1, если

тегралом Фурье.

f (x)

Решение.

Функция

является

нечетной,

поэтому

2

∞ ∞

f (x) =

∫

∫ f (u)sin z u du sin z x dz . Отдельно вычислим внутренний инте-

π

0

0

грал, имеем:

∞

(u)sin z u du =

2

1

2 cos z u

1

2

1 − cos z

∫ f

∫ sin z u du

= −

=

,

0

π

0

T

z

0

π

z

тогда интеграл Фурье для этой функции имеет вид

2

∞

4

∞

z

2

dz

f (x) =

∫

1 − cos z

sin z x dz =

∫ sin 2

sin z x

.

π

0

z

π 0

2

z

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9. Если

функция f (x) определена в

интервале

(− ∞, ∞) и удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье и

∞∫

f (x)

dx ,

то

∞ ∞

−∞

1

f (x) =

∫ ∫ f (t)ei α(x−t ) dt dα

2 π −∞ −∞

f (x) =

1

∞

1

∞

f (t)e

−i α t

i α x

∫

∫

dα,

dt e

2 π

2 π

−∞

−∞

а функция

F(α) =

1

∞∫ f (t)e−i α t dt

2 π −∞

называется преобразованием Фурье функции f (x), тогда

1

∞

f (x) =

∫ F(α)ei α x dα

2π

−∞

называется обратным преобразованием Фурье.

∞ f (t)cos α t dt

а)

функция f (x) − четная,

то F (α) =

2

называется

C

π

∫

0

косинус -преобразованием Фурье функции f (t), а

∞

f (x) =

2

F (α)cos α xdx называется обратным преобразованием.

∫

π

C

0

∞ f (t)sin α t dt

б) функция f (x) − нечетная,

то F (α) =

2

называется

S

π

∫

0

синус- преобразованием Фурье функции f (t), а функция

∞

f (x) =

2

F (α)sin α xdα называется обратным преобразованием.

∫

S

π 0

1,

если

x

< 1,

ПРИМЕР 2.48. Функцию f (x)=

представить интегра-

если

x

0,

> 1

Решение. f (x)=

1

∞

∞

(t)e−i α t

∫

∫ f

dt ei α x dα =

2 π

−∞ −∞

1

∞

1

−i α t

i α x

1

∞

i α

− e

−i α

i α x

=

f (t)e

dα =

e

dα =

∫

∫

dt e

∫

e

2

i α

π −∞

−1

2 π −∞

=

1

∞

sin α

ei α x dα итак

f (x)=

1

∞

sin α

ei α x dα.

∫

∫

π

−∞

α

π −∞

α

ПРИМЕР 2.49. Найти преобразование Фурье функции

f (x)= e−x ,

если x ≥ 0,

0, если x < 0.

1

∞

1

∞

1

∞

F(α)=

∫ f (x)e

−i α x dx =

∫ e−x e−i α x dx =

∫ e−(1+i α)x dx =

2 π

−∞

2 π

0

2 π 0

= −

1

e−(1+i α)x

∞

=

1

, итак, F(α)=

1 − i α

(1 + α2 ).