Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

e x

x =

= 1 +

Решение.

В разложении

функции

полагаем

, e 4

+K, если взять пять членов этого ряда,

то ошибка вы-

3 3!

числения не будет превышать 0,00001: R n <

x 4 + 1

4!(4 +

1 − x)

< 0,0001.

Подсчитав сумму пяти выписанных выше членов

5 4! 5

−

ряда, получим 4

≈ 1,28403.

ПРИМЕР 2.36. Вычислить 3

с точностью до 0,001.

Решение.

68 = 3 64 + 4 = 4 3 1 +

= 4 1 +

Раскладываем

ряд функцию (1 + x)

−1

−

(1 + x)3

= 1 + 1 x + 3

x 2

+ 3

x 3 + K+ =

= 1 +

x −

1 2

x 2 +

1 2 5

x 3 −

2 5 8

x 4 + K Полагая в полученном раз-

32 2!

33 3!

34 4!

ложении

x =

умножая

ряд

на

получаем

1 2

3 68 = 4 1

≈ 4 1 +

−

= 4 +

−

≈ 4,082.

3 16

2! 162

576

Здесь

взятые

три

члена

ряда

обеспечивают

нужную

точность,

так

как

R 3

< 4

1 2 5

< 0,001.

33 3! 162

2.2.7. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов

Для приближенного вычисления интеграла b∫ f (x)dx его предварительно

представляют в виде числового ряда, для суммирования которого берут необходимое число членов.

1 − cos x

ПРИМЕР 2.37. Вычислить ∫

с точностью до 0,0001.

x 2

Решение. Заменив в подынтегральном выражении cos x его разложени-

ем в степенной ряд, получим

x 2

x 4

x 6

1 − cos x

−

1 +

−

−K

∫

= ∫

dx =

x 2

= ∫

−

4!3!

2! 2

6!5!

4!3

−K ≈ 0,25 − 0,0017 = 0,2483

так,

как

R 2

< a 3

6!5 25

6!5

< 0,0001.

x sin t

с точностью ε при любом значении

ПРИМЕР 2.38. Вычислить ∫

x .

Решение. Раскладывая подынтегральную функцию в степенной ряд и ин-

тегрируя ряд, получим

(−1)n

x 2n+1

x sin t

x 3

x 5

x 7

sin x = ∫

dt = x −

−

+ K +

+ K.

3 3! 5 5! 7

(2n +1)(2n +1)!

Приведем программу для вычисления этой суммы на ФОРТРАНЕ

PROGRAM SI

С ВВОД ЗНАЧЕНИЯ АРГУМЕНТА X И ТОЧНОСТИ E

READ (*, 100) X, E

1ØØ FORMAT (F 5.2, E 1Ø.3)

C ПОИСК ЧИСЛА ЧЛЕНОВ В N − ЧАСТИЧНОЙ СУММЕ

AX=ABC (X) N=Ø

A=AX 2ØØ N=N+1

A=A*(AX/2*N+1))**2*(2*N-1)/(2*N)

IF(A-E) 3ØØ, 2ØØ, 2ØØ

C ВЫЧИСЛЕНИЕ N- ЧАСТИЧНОЙ СУММЫ

3ØØ S=1.Ø

DO 4ØØ J=N,1,-1

4ØØ S=1. Ø-S*(AX/2*J+1))**2*(2*J-1)/(2*J)

S=S*X

C ПЕЧАТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ

WRITE (*, 5ØØ) X, S

5ØØ FORMAT (5 X, `S I (`, F 5.2, `) = `, F 7,5) END

2.2.8. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений

Пусть требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка

y′′ = F(x, y, y′).

(2.11)

Если его решение не выражается через элементарные функции в конечном виде, то его решение удается отыскать в виде некоторого степенного ряда. Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Способ последовательных дифференцирований применяется, когда требуется найти частное решение y = f (x)уравнения (2.11), удовлетворяющее начальным условиям f (x 0 ) = y0 , f ′(x 0 ) = y′0 . Если в окрестности своих начальных условий (в окрестности точки (x 0 , y0 , y′0 )) уравнение (2.11) удовле-

творяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, то частное решение ищут в виде ряда Тейлора


y = f (x0 )+			1	f ′′(x0 )(x − x0 ) +		1	f ′′(x	0 )(x − x0 )2 +

1!					2!			(2.12)
	1	f (n ) (x			0 )(x − x0 )n + K,
+ K +

	n!
первые два члена которого известны, так как f (x 0 ) = y0 , f ′(x 0 ) = y′0 .
Из уравнения (2.11)					f ′′(x 0 ) = F (x 0 , y0 , y1 ). Если затем продифферен-

цировать уравнение (2.11) по x , то можно найти сколько угодно производных искомой функции f (x) в точке x 0 :

f ′′′(x 0 ) =	dF(x 0 , y0 , y1 )		,	f (n ) (x 0 ) =				d n −2 F(x 0 , y0 , y1 )	,K
								dx n−2
	dx				d n −2
Здесь под символами		d F		,K,		F	,K понимаются полные производ-

		dx			dx n −2

ные по x от функции F(x, y, y′) в предположении, что y и y′ зависят от x , т.е.

∂F +

∂F

d 2 y

∂F +

∂F y′ +

∂F

F(x, y, y′) и т.д.

∂y′

∂x

∂y dx

∂y′ dx 2

∂x

∂y

Подставляя значения найденных производных функции f (x) в разложение (2.12) получаем искомое решение

(x 0 , y0 , y′0 )

(x − x 0 ).

y = y		+ y′	(x − x		) +	1	y ′′(x		)(x − x		)2	+K +
	0			0				0		0
		0			2!

+ 1 y(n ) (x 0 )(x − x 0 )n +K. n!

Рассмотренный метод можно применить для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

Этот метод применим и для построения общего решения дифференциального уравнения, если y0 , y′0 рассматривать как произвольные постоянные.

ПРИМЕР 2.39. Найти первые шесть членов разложения в ряд решения

уравнения y′′ = x sin y′, удовлетворяющего условиям y(1) = 0, y′(1) = π .

Решение. Решение будем искать в виде ряда

y = f (1) + 1 f ′(1)(x −1) + 1 f ′′(1)(x −1)2 + 1 f ′′′(1)(x −1)3 + 1! 2! 3!

+1 f (4) (x −1)4 + K. 4!

Здесь f (1) = 0, f ′(1) = π . Находим производные 2,3,4,5 порядков:

f ′′(1) = 1 sin π = 1, f ′′′(x) = sin y′ + x y ′′cos y′, f ′′′(1) = 1, аналогично 2

f (4) (1) = −1, f (v ) (1) = −6 . Подставляя найденные значения производных в ис-

комый ряд, получаем решение данного уравнения

y = π (x −1) + 1 (x −1)2 + 1 (x −1)3 − 1 (x −1)4 − 1 (x −1)5 + K. 2 2 6 24 20

Способ неопределенных коэффициентов применяется, когда требуется найти либо частное решение y = f (x) уравнения (2.11), удовлетворяющее начальным условиям f (x 0 ) = y0 , f ′(x 0 ) = y′0 , либо общее решение в виде степенного ряда по степеням

Если дифференциальное уравнение (2.11) в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования и единственно-

сти решения задачи Коши, то его частное решение можно искать в виде ряда

∞	(x − x0 )n ,
y = ∑ Cn	(x − x0 )n ,	(2.13)
n=0

коэффициенты Cn которого подлежат определению.

Если точка (x 0 , y0 , y′0 ) является особой для уравнения (2.11), то его частное решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда

	∞	(x − x0 )n+ρ ,
y =	∑ Cn	(x − x0 )n+ρ ,	(2.14)
	n=0

где ρ − не обязательное целое число и подлежит определению вместе с коэффициентами ряда.

Чтобы определить коэффициенты Сn , n = 0,1,2,K, искомого ряда (2.13) или (4) поступают следующим образом:

1)дважды дифференцируют ряд (2.13) или (2.14) с неизвестными коэффициентами и находят y′ и y′′;

2)подставляют разложения y, y′, y′′ в степенные ряды в исходное дифференциальное уравнение (2.11);

3)представляют функцию F(x, y, y′) в виде степенного ряда по степеням

x− x 0 , после чего равенство принимает вид равенства двух степенных рядов;

4)путем приравнивания коэффициентов полученных рядов при одинаковых степенях разностей x − x 0 , получают уравнения для определения неиз-

вестных коэффициентов Cn ; если решение ищется в виде ряда (2.14), то, приравнивая коэффициенты степени разности x − x 0 , получают уравнения для определения ρ ;

5) из полученных уравнений находят коэффициенты Сn и подставляют

их в искомый ряд (2.13).

Полученное в виде ряда решение может быть исследовано на сходимость известными признаками. Если полученный ряд сходится в некоторой области, то обязательно к решению дифференциального уравнения, так как его коэффициенты определялись из условия, чтобы сумма ряда была решением.

ПРИМЕР 2.40. Решить дифференциальное уравнение

x y′ = sin x
y(0) =		0						(2.15)
								(2.15)
								∞
Решение. Решение будем искать в виде степенного ряда y =								∑ a n x n =
								n=0
= a 0 + a1 x + a 2 x 2 +K.		Подставляя в			(2.15)		и используя разложение для
	∑ n a n	x n = ∑	(−1)		x	2n +1
	∞	∞		n		2n +1
sin x , получим n =1		n =0	(2n +1)!				Приравнивая теперь коэффици-

a 0 = 0.

енты при одинаковых степенях аргумента, получаем

2n a 2n = 0,						n = 1,2,3,K
				(−1)n
(2n +1)a	2n+1		=	(−1)n		, n = 0,1,2,3,K. Поэтому окончательно получаем
(2n +1)a			=			, n = 0,1,2,3,K. Поэтому окончательно получаем
				(2n +1)!
				(2n +1)!
∞		(−1)n x 2n +1
y(x) = ∑							= Si (x), что совпадает с результатом разложения
y(x) = ∑		(2n +1)(2n +					= Si (x), что совпадает с результатом разложения
n =0		(2n +1)(2n +			1)!
Si (x) в степенной ряд.
ПРИМЕР 2.41. Решить дифференциальное уравнение
	x2 y′′′′+ x y′′+ (x2 − k 2 )y = 0.							(2.16)
Решение. Одно из решений этого уравнения неограниченно возрастает
при x → 0 другое может быть найдено в виде степенного ряда
			∞		= a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + K.
	y =		∑ an xn		= a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + K.			(2.17)
			n=0

Найдем это второе решение. Дифференцируя (2.17) и подставляя в (2.16), получаем

	y′ = a1 +			∞
	y′ = a1 +	2 a 2 x + 3a 3 x 2 +	4 a 4 x 3 +K = ∑ n a n x n −1 ;
				n=1
				∞
	y ′′= 2 a 2 + 3 2 a 3 x + 4 3 a 4 x 2 +K = ∑ n(n −1)a n x n −2 ;
				n =2
	∞	∞		∞
x 2	∑ n(n −1)a n x n −2 + x ∑ n a n x n −2 + (x 2 − k 2 )∑ a n x n				= 0 или:
	n =2	n =1		n =0
∞		∞	∞	∞
∑ n(n −1)a n x n + ∑ n a n x n +			∑ a n x n +2	− k 2 ∑ a n x n = 0 . Учитывая то,
n =2		n =1	n=0	n =0
	∞	∞
что	∑ a n x n +2	= ∑ a n −2 x n , и собирая коэффициенты при одинаковых сте-
	n =0	n =2

пенях аргумента x , получаем

∞ (( − ) + ) + ( − ) − =

∑ n 2 k 2 a n a n −2 x n a1 1 k 2 x k 2 a 0 0 .

n =2

Функция, разложимая в степенной ряд, тождественно равна нулю только в том случае, если все ее коэффициенты при степенях аргумента x равны нулю. Поэтому получаем следующую бесконечную систему уравнений для коэффициентов разложения (2.17):

x0	: k 2 a0 = 0
		(1 − k 2 )a1 = 0
x :		(1 − k 2 )a1 = 0
		(4 − k 2 )a2 + a0					= 0 .
x2 :		(4 − k 2 )a2 + a0					= 0 .		(2.18)
.....................................
		(n 2 − k 2 )a
xn	:	(n 2 − k 2 )a				+ a	n−2	= 0
					n		n−2
При целом k из первых			k	уравнений получается a 0					= a1 = K = a k −1 = 0 . Из
При целом k из первых			k	уравнений получается a 0					= a1 = K = a k −1 = 0 . Из

k + 1 − го уравнения следует, что a k − произвольное число, играющее роль

произвольной постоянной. Остальные коэффициенты, определяются из предыдущих посредством рекуррентной формулы, получающейся из (2.18):

an = −

an−2

n = k + 1, k + 2,K.

(2.19)

n2 − k

Поскольку a k −1 = 0, то из (2.19) получаем a k +1 = a k+3

= K = 0. Следователь-

но, ненулевыми коэффициенты будут

только

коэффициенты с

индексом

n = k + 2l, l = 0,1,2,3,K. Используя

то, что

n 2 − k 2 = (k + 2l)2 − k 2 =

= 4l(k + l), получаем

a k +2l = −

a k +2l−2

= +

a k +2l−4

= K

4l(k + l)

42 l(l −1)(k + l)(k + l −1)

(−1)l a k

(−1)l k!a k

4l l!(k + l)! .

Подставляя

получен-

4l l!(k + l)(k + l −1)K(k +1)

ное выражение в (2.17), получаем

∞

k! a

(−1)l

x k+2

y = ∑ a n x n =

∑

l!(k + l)!

n =0

l=0

Функция

x 2

x k

−

∞

J k (x) =

∑

l!(l + k )!

l=0

						x	2	l
					−	x
		k
	x	k				4
= 2k k!a			∑						.
= 2k k!a			∑						.
	k 2			l!(k + l)!

(2.20)

называется функцией Бесселя k −го порядка, 2k k!a k = C − произвольная постоянная, поэтому общее решение уравнения (2.16), ограниченное при x = 0 ,

имеет при целом k следующий вид: y(x) = C J k (x).

ПРИМЕР 2.42. Решить задачу Коши

x 2 y ′′+ xy′ + (x 2 −1)= 0

y(0)< ∞

и вычислить

y(2) с точностью ε = 10−6 .

y′(0)= 2

Решение. Согласно приведенным выше выкладкам

−

x ∞

y(x)= C J1

(x)= C

∑

−

. Отсюда получаем

n!(n +1)!

= C

2 n=0

y′(0)=	C	= 2 C = 4; решение задачи Коши y = 4 J1 (x).

	2
При x = 2 получаем следующий знакочередующийся ряд:
y(2)= 4 ∑∞			(−1)n	.

		n =0	n!(n +1)!
Программа на БЕЙСИКЕ может иметь следующий вид:
10	DIM A (1ØØ): A (1)=4
20	FOR I=1 TO 1ØØ: A (I+1)=-A(I)/(I+1)
30	IF ABS (A(I+I))<1. E-6 THEN 5Ø
40	NEXT I
50	S=Ø: FOR K=I+1 TO 1 STEP 1: S=S+A(K): NEXT K
60	PRINT S: END

Полученное значение 2,306899309 … и точное значение из справочника

2,306899231 . . .

2.3.РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

2.3.1.Разложение периодических функций в ряд Фурье

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Рядом Фурье периодической функции f (x) с периодом 2π, определенной на отрезке [− π, π], называется функциональный ряд

		a 0	+ ∑∞		(a n cos n x + bn sin n x),
	2
			n =1		π∫f (x) cos n dx
где		a n	=	1

				π −π
	bn		=	1	π∫ f (x) sin n dx .

				π −π

Если ряд (1) сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция с периодом 2π, т.е. S(x + 2π)= S(x).

Теорема 2.2. Если функция f (x) на отрезке [− π, π] имеет конечное чис-

ло экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой

точке отрезка [− π, π] и сумма S(x):
1) S(x)= f (x) во всех точках непрерывности функции f (x), лежащих
внутри отрезка [− π, π];
2) S(x 0 )=	1	(f (x	0 − 0)+ f (x 0 + 0)), где x	0 − точка разрыва первого

2
рода функции f (x);

3) S(x)= 1 (f (− π + 0)+ f (π − 0)) на концах отрезка, т.е. при x = ±π .

Если функция f (x) задана на отрезке [− l, l], где l − произвольное положительное число, то при выполнении условий выше приведенной теоремы эта функция f (x) может быть представлена в виде ряда Фурье

f (x)=	a	0	∞			n π			n π
			+ ∑	a n	cos		x + bn	sin		x ,
	2
			n =1			l			l

где a n =

∫l

f (x)cos

n π

x dx, bn

∫l

f (x)sin

n π

x dx.

−l

В случае,

когда f (x)− четная функция, ее ряд Фурье содержит только

свободный член и косинусы, т.е.

n π

f (x)=

a 0

∞

n π

∫ f (x)cos

+ ∑

a n

cos

x , где a n =

x dx.

n 1

Если f (x)−

нечетная функция, то ее ряд Фурье содержит только сину-

сы, т.е.

f (x)= ∑∞

sin

n π

z dx , где Cn

∫l

f (x)sin

nπ

x dx .

ПРИМЕР 2.42. Разложить в ряд Фурье на интервале (− π, π) функцию

f (x)= π,

− π < x < 0,

π − x,

0 ≤ x < π.

Решение. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы разложимо-

сти в ряд Фурье, вне предела интервала (− π; π) продолжаем периодически с

периодом T = 2π.

Вычислим коэффициенты Фурье:

(π − x)

a 0

∫ f (x)dx =

∫

πdx +

∫

(π − x)dx =

π x

−

−π

π 0

−π

= π + π =

π;

a n

∫ f (x)cos n x dx =

∫ πcos n x dx −

−π

(−1)n +1 −1

1 π

−

∫ x cos n x dx = −

cos n x

;

π n 2

π n

π −π

(x)sin n x dx =

∫ f

∫

πsin n x dx

−

π −π

−π

1 π

cos n x

(−1)n

−

∫ x sin n x dx =

тогда

ряд

Фурье

для этой функции

π −π

принимает вид:

(−1)n +1

(−1)n

f (x) =

∞

π + ∑

cos n x + +

sin n x .

Найденные раз-

n =1

ложения имеет место при всех значениях x (− π; π).

ПРИМЕР 2.43. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) с

периодом T = 2, заданную на отрезке (−1,1) уравнением f (x) = x 2 .

Решение. Рассматриваемая функция является четной. Ее график –

дуга

параболы, заключенная между точками (−1;1) и (1;1). Так как l = 1, то

a 0

∫ f (x)dx = 2 ∫ x 2 dx

;

f (x)cos

n π

a n

∫

d dx =

2 ∫

x 2 cos n

πdx . Здесь нужно дважды про-

интегрировать по частям:

1) u = x 2 , dv = cos n x dx, du = 2 x dx,

v =

sin n π x;

n π

2 x 2

a n =

sin n π x

−

∫ x sin n π x dx = −

∫ x sin n π x dx;

n π

n π 0

2) u = x, dv = sin n π x, du = dx,

v = −

cos n π x;

n π

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx