Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

1.1.11. Свойства абсолютно сходящихся рядов Теорема 1.8. (о перестановке членов ряда) (без доказательства). Если

ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов.

Теорема 1.9. (о группировке членов ряда) (без доказательства). В

сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка,

сохраняет сходимость ряда и величину суммы.
Теорема		1.10. (умножение	абсолютно сходящихся рядов) (без
		∞	∞
доказательства).		Если ряды ∑ u n и	∑ vn сходятся абсолютно и их сумма
		n =1	n =1
соответственно равна S и σ , то ряд, составленный из всех произведений
видаu i , vk	(i, k = 1,2,K), взятых в		каком угодно порядке, также сходится
абсолютно	и его сумма равна S σ − произведению сумм перемножаемых
рядов.

	1.1.12. Знакочередующиеся ряды
	Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, то есть ряд
вида	u1 − u 2 + u 3 − u 4 K + (−1)n+1 u n + K, где
	un > 0, n = 1,2,K или	∑∞ (−1)n +1 u n .				(1.22)
		n =1
Ряд (1.22) называется знакочередующимся рядом.
	Теорема 1.11. (Лейбница)
	Если у знакочередующегося ряда ∑∞ (−1)n +1 u n ,			u n	≥ 0 , члены убывают,
	есть u1 > u2 > K, и lim un	n =1
то	есть u1 > u2 > K, и lim un	= 0 , то	ряд	сходится,		его сумма
	n→∞
положительна и не превосходит первого члена.			n = 2 m
	Доказательство. 1. Рассмотрим сумму		n = 2 m		первых	членов ряда
∑∞ (−1)n +1 u n , то есть
n =1	S 2m = u1 − u2 + u3 −K + u2m−1 − u2m .
	S 2m = u1 − u2 + u3 −K + u2m−1 − u2m .					(1.23)
Правую часть (1.23) запишем в виде
	S 2m = (u1 − u2 )+ (u3 − u4 )+ K + (u 2m−1 − u2m ).					(1.24)

Из условия теоремы (u1 > u 2 > K) следует, что разность в скобках (1.24)

положительна. Следовательно, сумма S2m положительна S2m > 0 и возрастает с возрастанием m .

Докажем, что она ограничена. Для этого представим S2m следующим образом:

S 2m	= u1 − (u2 − u3 )− (u4 − u5 )− K − (u 2m−2 − u2m−1 )− u2m .	(1.25)
В	силу условия u1 > u 2 > u 3 > K каждая разность в скобках	(1.25)

положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из u1 , получим число, меньшее, чем u1 , то есть S2m < u1 .

Таким образом, S2m при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, по теореме о пределе монотонной переменной ряд сходится и

lim S2m	= S , причем 0 < S < u1 .
m→∞
2.	Чтобы доказать сходимость ряда ∑∞ (−1)n +1 u n , нужно доказать еще,
	n =1

что «нечетные» частичные суммы также стремятся к этому пределу.

Рассмотрим сумму n = 2m + 1 первых членов ряда ∑∞ (−1)n +1 u n

S 2m +1 = S2m + u2m+1 .

n =1

= 0 , следовательно,

(1.26)

По условию теоремы lim u n

lim u 2m+1 = 0 ; тогда

n→∞

m→∞

lim S2m+1

= lim (S2m + u 2m+1 ) = lim S2m

+ lim u 2m+1 = S .

m→∞

Тем самым доказали, что

lim Sn = S (как при

четном, так и при

n→∞

нечетном). Следовательно, ряд ∑∞ (−1)n +1 u n сходится.

n =1

ПРИМЕР 1.8. Исследовать сходимость ряда

1 −

−

+ K + (−1)n +1

+K.

2 3

Решение.

Данный ряд знакочередующийся. Для

исследования его

сходимости согласно теореме 1.7 составляем ряд из абсолютных величин его

		1			1			1		(−1)n+1	1	∞	1
членов, то есть ряд вида 1 +	−		+			+	−		+ K +			= ∑		.
				3							n
	2						4					n=1 n

Полученный ряд гармонический, который расходится. Применим теорему

Лейбница, так как ряд знакочередующийся. Проверим выполнения

условий

этой теоремы

1 >

> K >

>, K,

то есть

первое

условие

выполняется.

lim u n

= lim

= 0 − второе

условие

также выполнено.

n→∞

n→∞ n

Следовательно, ряд сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, тогда согласно определению 1.8 этот ряд сходится условно.

Замечание 1.5. Теорема Лейбница позволяет оценить ошибку, которая получается, если заменить его сумму S частичной суммой Sn .

При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с u n +1 , то есть получаем ряд вида

	± (un+1 − un+2 + Kun+3 + K)= R n .			(1.27)
Здесь	R n − остаток ряда, представляет собой	знакочередующийся ряд,
удовлетворяющий теореме Лейбница. По теореме Лейбница сумма					ряда (1.27)
не превосходит по абсолютной величине члены		u n +1 ,	то есть		R n	< u n+1 .

Таким	образом, пользуясь приближенным равенством		S ≈ Sn ,		допускают

ошибку, которая меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.

ПРИМЕР 1.9. Вычислить сумму ряда

(−1)n+1

1 −

−

+ K с точностью 10−3 .

n 4

Решение. Исследуем на сходимость данный ряд. Для этого составим ряд

из абсолютных величин его членов, то есть вида

∞

1 +

+ K +

+ K = ∑

. Полученный

ряд гармонический

n 4

n=1 n 4

p = 4 >1.

Поэтому

он

сходится.

Тогда по

теореме

(1.7) сходится

ряд

(−1)n+1

1 −

−

K +

+ K.

Но этот ряд знакочередующийся. Согласно замечанию 1.5 ошибка,

которая получается

при замене

данного ряда его

частичной суммой,

не

превосходит по абсолютной величине члена

u n+1

. Чтобы достичь

(n +1)4

заданной

точности,

достаточно

положить

n+1

≤ 10−3 ,

откуда

(n + 1)4

находим наименьшее n , удовлетворяющее этому неравенству, то есть n = 5.

Для вычисления суммы ряда с точностью 10−3								достаточно взять сумму первых
пяти слагаемых, то есть 1 −	1	+	1	−	1	+	1	≈ 0,9475. Сумма данного ряда с

24		34		44		54

точностью 10−3 равна 0,9475 .

Замечание 1.6. Теорема Лейбница остается в силе, если члены

знакочередующегося ряда начинают убывать, начиная с некоторого n .
1.1.13. Приближенные вычисления с помощью рядов
Если неизвестное число A разложено в ряд
A = U1 + U 2 +K + Un +K,	(1.28)

где U1 , U 2 ,K, U n ,K − легко вычисляемые числа, положим приближенно

A ≈ U1 + U 2 + K + U n ,

то погрешность на отбрасывание всех остальных чисел выразится остатком

Rn = Un+1 + Un+2 +K.

(1.29)

При достаточно большом n эта погрешность станет сколь угодно малой, так что U1 + U 2 +K + U n воспроизведет A с любой наперед заданной точностью.

Если рассматриваемый ряд является знакочередующимся с монотонно убывающими членами, то согласно теореме Лейбница остаток имеет знак своего первого члена и по абсолютной величине меньше его. Из неравенства

R	n		< U	n+1	< 10−m	,	(1.30)

где 10−m – заданная точность, находим наименьшее значение n , тогда

A ≈ U1 + U 2 + K + U n –

значение числа A , вычисленное с заданной точностью 10−m .

Если числовой ряд для A знакоположительный, то для оценки остатка

можно использовать формулу (1.19). Согласно этой формуле R n	удовлетворяет
неравенству
R n < ∞∫f (x)dx ,	(1.31)
n
где U n = f (n)− общий член ряда (1.28).

В некоторых случаях оценка остатка ряда (1.28) по формулам (1.30) и (1.31) оказывается чрезвычайно трудной, например, если общий член ряда содержит факториал. В этих случаях применяют различные искусственные приемы. Например, стараются найти числовой ряд с положительными членами, члены которого были бы больше членов остатка R n , затем оценивают остаток

R n суммой этого ряда.

∞	1		−3 .
ПРИМЕР 1.10. Вычислить сумму ряда ∑		с точностью 10

n =1	n!

Решение. Оценки остатка (1.30), (1.31) не применимы для этого ряда, так как ряд не является знакочередующимся и его общий член содержит факториалы. Поэтому оценим остаток ряда непосредственно:

R n =

∞

+K =

∑

(n +

k =n +1 k!

(n +1)!

2)!

3)!

(n + 2)(n + 3)

(n +

(n +1)!

+ 2

1)!

n +1

	1
+			+K	;
+		2	+K	;
	(n +1)	2
	(n +1)

все сомножители в знаменателях заменены на n +1. Определяя сумму геометрической прогрессии, заключенную в скобках, получаем

R n

< 10−3 .

+1)! 1 −

Наименьшее значение n , удовлетворяющее этому неравенству, равно 6 ,

так как

R 6 <

< 10−3 .

4320

6 6!

Это значит, что, взяв первые шесть членов ряда, достигается точность

∞

10−3 . Тогда ∑

≈ 1 +

≈ 1,718 .

n =1 n!

Ответ:1,718 .

1.2.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

1.2.1.Основные определения и теоремы

Задание числового ряда состоит в задании каждого его члена, а член ряда есть число. Задание функционального ряда от некоторой переменной x состоит в задании ряда функций от этой переменной, являющихся членами функционального ряда. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9. Выражение u1 (x) + u 2 (x) + K + u n (x) +K =

∞

= ∑ u n (x), где u1 (x), u 2 (x),K, u n (x) − функции, заданные на одном и том

n=1

же множестве x , называется функциональным рядом с общим членом un (x).

Если в функциональном ряде

∞

u1 (x)+ u2 (x)+ K + un (x)+ K = ∑ un (x) (1.32)

n=1

переменную x заменить любым числом x 0 X , то получим числовой ряд

u1 (x0 )+ u2 (x0 )+ K + un (x0 )+ K

(1.33)

Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений. В зависимости от значения, принимаемого переменной x , числовой ряд (1.33) может сходиться или расходиться.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10. Функциональный ряд (1.32) называется

∞

сходящимся в точке x 0 X , если сходится числовой ряд ∑ u n (x 0 ).

n =1

Подобно числовым рядам в функциональных рядах вводится понятие частичной суммы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11. Частичными суммами функционального

∞

ряда ∑ un (x) называются функции

n=1

Sn (x) = ∑ uk (x).

(1.34)

k =1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12. Функциональный ряд (1.32) называется

сходящимся в точке x 0 X ,

если в этой точке сходится последовательность

его частичных сумм.

X ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13.

Множество

значений

переменной

при

∞

которых функциональный ряд

∑ u n (x)

сходится,

называется

областью

сходимости этого ряда.

n =1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14. Предел частичных сумм сходящегося на

множестве X ряда (1.32) называется его суммой S(x).

S(x) = lim

Sn (x).

(1.35)

n→∞

ПРИМЕР 1.11.

Исследовать

на

сходимость

функциональный

ряд

1 + x + x 2 + K + x n−1 + K. Этот

ряд

при

каждом

x представляет

ряд

геометрической прогрессии. Значит, если

< 1, ряд сходится. Если

≥ 1, то

ряд расходится. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из всех тех значений переменной x , для которых x < 1.

Для определения области сходимости функционального ряда можно применять известные достаточные признаки сходимости числовых рядов.

ПРИМЕР 1.12. Определить область сходимости функционального ряда

	x		x		x		∞	x
x tg		+ x 2 tg		+ K + x n tg			+ K = ∑ x n tg
						n			n
2		4			2		n 1	2
							=

Для установления области сходимости применим признак Даламбера

(x)

x n+1 tg

lim

u n +1

= lim

2n+1

= lim

2n+1

n→∞

(x)

n→∞

lim

2n+1

lim

2n +1

lim

2 n→∞

n→∞

2n+1

По признаку Даламбера данный ряд сходится для всех x , для которых

< 1 или x < 2 , а для всех x, x > 2 ряд расходится.

Остается исследовать сходимость на границе области при x = ±2 . Для этого в функциональный ряд вместо x подставим x = 2 и x = −2 ; в результате получим числовые ряды. При x = 2 получаем ряд

k=n +1

∞

2n tg

∞

2n tg

∑

Применим

нему необходимый признак

2n−1

n =1

n=1

сходимости ряда, то есть найдем

lim u n , тогда

n→∞

n −1

lim

2n tg

= 2 lim

= 2 .

Необходимый признак не выполняется,

2n−1

n→∞

2n −1

значит при x = 2 ряд расходится.

При x = −2 получаем ряд

∑∞

(− 2)n tg (− 2)

= ∑∞

(−1)n +1 2n tg

для

которого lim u n ≠ 0 . Тогда

2n−1

n =1

n=1

n→∞

областью сходимости функционального ряда является интервал (− 2; 2).

∞

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Ряд ∑ u k (x) называется n −м остатком

k =n+1

функционального ряда (1.32).

Если сумму остатка обозначить через rn (x), то сумма сходящегося

функционального ряда S(x) есть

S(x) = Sn (x) + rn (x).

Для

всех

x в области сходимости ряда имеет место соотношение

lim S

(x) = S(x), поэтому lim r (x) = lim(S(x) − S

(x)) = 0, то есть предел

n→∞

→∞ n

n→∞

частичных сумм остатка сходящегося ряда стремится к нулю при n → ∞.

∞

(x), сходящийся для всех x из области

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Ряд ∑ u n

n =1

X , называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого числа

ε > 0

существует такой не

зависящий

от x номер N , что при n > N

неравенство

Sn (x) − S(x)

< ε выполняется одновременно для всех x X .

Теорема 1.12. (Критерий Коши равномерной сходимости рядов).

∞

Для того,

чтобы ряд ∑ u n (x) равномерно сходился на множестве X ,

n =1

ε > 0 такой N , чтобы для всех

необходимо и достаточно, чтобы для

n > N и

натуральных

x X

выполнялось неравенство

n +p

∑ u k (x)

< ε.

Практическое применение критерия Коши для исследования ряда на равномерную сходимость затруднительно. Более простым и удобным при исследовании функционального ряда на равномерную сходимость является достаточный признак равномерной сходимости – признак Вейерштрасса.

Теорема 1.13. (Признак Вейерштрасса).

∞

Пусть даны два ряда: функциональный ∑ u n (x), членами которого

n =1

являются функции u n (x),

определенные на множестве X ,

и числовой ряд

∞

∑ a n , a n ≥ 0, n = 1,2,K. Если числовой ряд

сходится и для

x X

n =1

u n (x)

≤ a n ,

n = 1,2,K, то

выполняется неравенство

функциональный ряд

абсолютно и равномерно сходится на множестве X .

∞

(x)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17.

Функциональный

ряд

∑ u n

называется

n =1

мажорируемым в некоторой области изменения

X , если существует такой

∞

сходящийся числовой ряд

∑ a n , a n ≥ 0 , что для всех

x X выполняется

u n (x)

≤ a n .

n =1

неравенство

∞

cos nx

ПРИМЕР 1.13. Доказать,

что функциональный ряд ∑

сходится

n 2

равномерно на всей числовой оси.

n =1

Решение. Для всех x R

cos n x

≤

, а числовой ряд с n −м членом

n 2

∞

cos nx

сходится. Значит ряд

∑

по теореме

Вейерштрасса равномерно

n 2

n =1

n 2

сходится на всей числовой оси.

1.2.2. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов

Теорема 1.14. (Почленное интегрирование функциональных рядов).

Если функции u n (x) (n = 1,2,K) непрерывны

на

отрезке [a, b] и

∞

составленный из них ряд

∑ u n (x) сходится равномерно на этом отрезке и

n =1

имеет суммой функцию S(x), то ряд составленный из интегралов от его членов

на отрезке [α;β], также сходится и имеет суммой функцию	β∫ S(x)dx , где
a ≤ α ≤ β ≤ b .	α
a ≤ α ≤ β ≤ b .

Доказательство. В

∞

ряда ∑ u n (x) функция

n =1

силу

S(x) =

равномерной сходимости		функционального
∞	(x) непрерывна на	отрезке [a; b] и
∑ u n
n =1

поэтому	интегрируема	на любом отрезке с концами		в точках α [a; b] и
β [a; b]. Функцию S(x) можно представить в виде
S(x) = Sn (x) + rn (x),
где rn (x) −остаток, Sn		− частичная сумма.
S(x) = u1 (x) + u 2 (x) + K + u n (x) + rn (x), тогда
β	β	β	β	β	(x)dx . (1.36)
∫ S(x)dx = ∫ u1 (x)dx + ∫ u2 (x)dx + K			+ ∫ un (x)dx + ∫ rn		(x)dx . (1.36)
α	α	α	α	α

(интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от

			∞ β	(x)dx
этих слагаемых). Таким	образом,	сумма n членов ряда	∑ ∫ u n	(x)dx
			n =1 α
отличается от интеграла	β∫ S(x)dx	дополнительным членом	β∫ rn (x)dx . Для
	α		α

доказательства теоремы нужно лишь установить, что lim ∫ rn (x)dx = 0 . В силу

n→∞ α

∞

равномерной сходимости ряда ∑ u n (x) для ε > 0 найдется номер N такой,

n =1

что при n > N

rn (x)

< ε сразу для всех x в рассматриваемом промежутке.

Поэтому

∫ rn

(x)dx

≤ ∫

rn (x)

dx < ∫ ε dx = ε (β − α) ≤ ε(b − a).

(x)dx ≤ lim ε(b − a) = 0 и из

Но так как при n → ∞, ε → 0 , то lim ∫ rn

(1.36) получаем

n→∞ α

ε→0

∫ rn

(x)dx = ∫ S

(x)dx − ∫ u1

(x)dx + K + ∫ un

(x)dx .

(1.37)

В (1.37) перейдем к пределу при n → ∞ , получим

β		β					β
	∫ S (x)dx − ∫ u1		(x)dx +		K	+ ∫ un				= 0 .
lim	∫ S (x)dx − ∫ u1		(x)dx +			+ ∫ un			(x)dx	= 0 .
n→∞	α	α					α
В силу (1.37)
	β	(x)dx +K +	β				=	β
lim	∫ u1	(x)dx +K +	∫ un	(x)dx			=	∫ S (x)dx .
n→∞	α		α					α

(1.38)

(1.39)

Сумма,	стоящая слева в равенстве (1.39), есть частичная сумма ряда
∞ β	(x)dx , она имеет конечный предел. Следовательно, этот ряд сходится
∑ ∫ u n
n =1 α

его

сумма

равна

β∫ S(x)dx .

Тем самым доказаны

сходимость

ряда

∞

∑ ∫ u n

(x)dx и равенство его суммы интегралу ∫ S(x)dx .

n =1 α

1.14.

ПРИМЕР

Почленно

проинтегрировать функциональный

ряд

1 − x 2 + x 4 − K + (−1)n x 2n + K и найти его сумму.

Этот ряд сходится равномерно при

< 1, так как при

< 1 ряд является

рядом геометрической прогрессии со знаменателем меньше 1, сумма его равна

S(x) =	1	.
S(x) =	1 + x 2	.			0 до x , где x < 1, в результате чего
Проинтегрируем данный ряд от					0 до x , где x < 1, в результате чего
		x	x	x	x	(−1)n x 2n dx + K =
получим ряд ∫1			dx − ∫ x 2 dx + ∫ x 4 dx −K + ∫			(−1)n x 2n dx + K =
	0		0	0	0

= x −

x 3

x 5

−K + (−1)n

x 2n+1

+ K.Полученный ряд сходится равномерно

2n +1

∞

при

< 1 в силу мажорируемости его числовым сходящимся рядом ∑

n=1

2n+1

= arctg x

= arctg x .

Тогда сумма полученного ряда ∫

0 1

+ x 2

Теорема 1.15. (Почленное дифференцирование функциональных рядов).

	∞
Пусть ряд ∑ u n (x) сходится на отрезке [a; b] и имеет сумму S(x), а его
	n=1	производные,	причем ряд,
члены	имеют на этом отрезке непрерывные	производные,	причем ряд,
	∞
составленный из этих производных ∑ u′n (x), сходится равномерно на [a; b] и
	n=1	∞
имеет сумму σ(x). Тогда функциональный ряд		∞
имеет сумму σ(x). Тогда функциональный ряд		∑ u n (x) сходится на отрезке
		n=1	∞
			∞
[a; b]	равномерно и производная его суммы равна сумме ряда		∑ u′n (x), то
			n=1

есть S′(x) = σ(x).

∞

Доказательство. Так как ряд ∑ u′n (x) сходится равномерно на отрезке

n=1

[a; b], то на основании теоремы (1.14) его можно почленно интегрировать от α до x , где a ≤ α ≤ x ≤ β .

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx