Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

∞

+ 1

∞

(n + 1)

20.

∑

;

21.

∑

;

n =1 n 3 + 1

n =1

3 n + 1

∞

22.

∑

;

23.

∑

2n sin

;

5 n 4 4

n =1

n + 1

n =1

∞

2 π

24.

∑

;

25.

∑ tg

;

n =1 n n

n =1

4 n

∞

26.

∑

2n arctg

, a > 0;

27.

∑

n =1

n =1 3n

− n 2

3.2.6. С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость следующие числовые ряды:

∞

28.

∑

;

29.

∑

;

n =1 2n

n =1

(2 n)!

∞

+ 2 n +1

∞

30.

∑

;

31.

∑

;

n =1 2n+5

(n 2 +1)

n =1 n n

∞

+1) 3

∑ n

32.

∑

;

33.

sin

n 2n 2

n =1

3.2.7. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды с помощью признака Коши:

∞	2n 2		+ 1	n 2
34. ∑					;
		2
	n		+ 1
n =1

∞	(n +1)n2
36. ∑			;
	n n 2
n =1		3n

∞

35. ∑

n =1

∞

37. ∑

n =1

ln n (n + 1)

2n 2		+ 2n +1	n

	2
5n		+ 2n +1	.

3.2.8. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды с помощью интегрального признака Коши:

∞	1
38. ∑			;
	n ln 2
n =2		n

∞e− n

40.∑ ;

n =1 n

	∞	n
39.	∑		;
		+ 4
	n =1 n 2
	∞	ln n
41.	∑			.
		(ln 2
	n =2 n		n +1)

Исследовать на сходимость следующие числовые ряды различными способами:

∞	1	+ n 2		∞	n n
42. ∑			;	43. ∑		;

n=1 1		+ n 4		n =1 ln n (n +1)

∞

44.

∑ n 0,01;

n =1

∞

1 + n

46.

∑

;

n =1

∞

(n !)2

48.

n∑=1

(2 n)!

;

∞

50.

∑

;

n 2 + 2n + ln n

n =2

∞

52.

∑

1 − сos

;

n =1

∞

+ 2

−

− 2

54.

∑

;

n =1

∞

ln n

56.

∑

1 −

;

n =1

∞

2 + 3n

58.

∑

;

n =1

2 + 3n 2

∞

45.

∑

;

n =1

n 2 − ln n

∞

42n (n!)3

47.

∑

;

(3 n)!

n =1

∞

2n +1

49.

∑

;

n 3

n=1

∞

51.

∑ arctg

;

n =1

∞

53.

∑

( n + 2 − 2 n +1 + n );

n =1

∞

ln n

55.

∑

;

n =1 n 3 n

∞

57.

∑

;

(2n −1)3

n =1

n + 2

∞

sin

59.

∑

;

n =1

Исследовать на абсолютную сходимость следующие числовые ряды:

60.

−

+ K (плюс, два минуса, плюс, два минуса и

т.д.).

61. 1 −

−

+ K

−1

−

+ K

−1

62. 1 −

−

+ K +

−

+ K.

3n − 2

3n −1

π n

sin

π n

∞

63.

∑

cos

;

64.

∑

;

2 (

)

n =1

n +1

n =1

πn

n +1

n + sin

∞	ln 2 n cos π n		∞		(−1)n
65. ∑	8	;	66. ∑					.
65. ∑		;	66. ∑					.
n =1	n		n =2	3	n	+ (−	1)n

3.2.9. Исследовать на абсолютную и условную сходимости следующие числовые ряды:

∞	(−1)n−1			∞	(−1)n
67. ∑			;	68. ∑	;

n =1		n		n =1	ln n

∞

(−1)n

∞

(−1)n−1 (n − 3)

69.

∑

;

70.

∑

;

n 1

n ln n

n =4

−1

(− 3)

∑∞

n−1

∞

(−1)n−1 tg

71.

;

72.

∑

;

n =1 (2n +

1)n

n =1

73.

∞

(−1)n −1

74.

∞

(−1)n−1 n

∑

;

∑

;

n =2

n ln n

n =1

5 2 − n 2

(−

1)n

(−1)n (

−

);

75.

∑∞

ln n;

76.

∑∞

n 2 + 3n +1

n 2 − 3n +1

n =1

3 n 4 + n

n =1

3.2.10. Установить сходимость следующих рядов; найти формулы для оценки их остатков; сколько членов ряда, следует взять, чтобы обеспечить указанную точность ε? Вычислить сумму ряда с этой точностью.

∞

∑

ε = 0,1;

77.

78.

∑

ε = 0,01;

n =1 n 2

n =1 n 6

∞

(−1)n−1

∞

79.

∑

ε = 0,001;

80.

∑

, ε = 0,001

n =1

n =1 n(n

+1)

3.2.11. Вычислить суммы следующих рядов с указанной точностью ε :

81.	∞	(−1)n−1	ε = 10−4 ;	∞	(−1)n−1
81.	∑	,	ε = 10−4 ;	82. ∑	, ε = 10−6
	n =1	n 4		n =1	n 6
	∞	n −1
	∞	(−1)	, ε = 10−4 .
83.	∑	(−1)
83.	∑	(2n −1)4
	n =1	(2n −1)4

3.2.12. Оценить остаток следующих рядов:

∞

84.

∑

;

cos

(n +1)ln

(n +1)

∞

n =1

85.

∑

;

n 2

n =1

∞

86.

∑

;

87.

∑

;

n =1 en 2

n =1

2n +1

∞

(−1)n−1

88.

∑

;

89.

∑

;

n =1 n(n

+1)

n =1 n − ln n

3.2.13. Найти область сходимости следующих рядов.

∞

cos n x

∑ (−1)

∑

;

90.

;

91.

n =1 n 2x−1

n =1

∞

92.

∑ 2n tg

;

93.

∑

;

n =1

n =1 n ln x

∞

− 3x + 2

∑ n sin

∞

94.

;

95.

∑

;

n =1

+ 3x + 2

∞	x n		∞	1 + (5x)	2n
96. ∑		;	97. ∑			.

	− x n			(− x)n
n =1 1			n =1

3.2.14. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках:

	∞
98.	∑ x n , [0,5,0];
n =0
100.	∑∞	(−1)n−1 x 2n , (−1,1);
	n =1	2n −1			[0,10];
	∞		1
102.	∑			,
102.	∑			,
	n =1 2n−1		1 + n x

∞

99. ∑

n =0

∞

101. ∑

n =1

∞

103. ∑

n =1


(−1)n x n ,				[0,1];
	n + 1
	1	, (1 + δ, ∞), где δ > 0 ;

	n x
1			,	(− ∞; ∞).

	x 2 + n 2

3.2.15. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках:

∞

[−1,1];

∞

sin

, (− ∞;+∞);

104.

∑

105.

∑

n =1 n 2

n =1

n 3 +1

∞

cos nx

(− ∞; ∞);

∞

(x −

ln n

[0,4];

106.

∑

107.

∑

n 2 2n

n =1 n ln 2

n =1

∞

(−1)

, (− ∞;+∞);

∞

(−1)

n−1

, (− 5; ∞);

108.

∑

109.

∑

n =1

x 2 + n 3

n =1 x + 5n

∞

(− ∞; ∞);

∞

[−100,100].

110.

∑ arctg

111.

∑

ln 2 1

+ n

n =1

n =2

n ln n

3.2.16. Найти область сходимости следующих степенных рядов:

∞

x n

∞

n−1

112.

∑

;

113.

∑

(−1)

;

n =1 n(n + 3)

n =1

∞

x n

∞

x n

114.

∑

;

115.

∑

;

n =1 5n

n =1

(2n −1)!

∞

3n x n

∞

(x −1)

116.

∑

;

117.

∑

;

n =0

(1 + 4n)5n

n =0 2n (n + 3)

∞

(x + 5)n

∞

n! (x +10)n

118.

∑

;

119.

∑

;

n n

n =1 3

n +1

n 2 +1

n =1

∞

(x −1)n

n + 4

∞

(3 − 2x)n

120.

∑

;

121.

∑

;

n =5

n − 4

n =1 n − ln 2 n

∞

(x + 3)n

∞

1 n

(

n −1);

122.

∑

n +1 −

123.

∑

x +

;

n 2

n =1

n =0

∞

124.

∑

(n a −1)x n , a > 0;

125.

∑∞

(n x)

n =1

n =1 (n!)2

3.2.17. Следующие функции разложить в ряд Тейлора по степеням x и

указать области сходимости полученных рядов к своим суммам:

126. сos 5x;

127. e3x ;

128. e−x 4

;

129. sh x;

;

x 2

130.

131.

;

1 − 3x 2

1 + x

−1

;

132.

;

133.

134.

;

1 − x 2

3 1 + 3x 2

135. arcsin x;

137. x 5 ln(1 + x 2 );

136. x cos

138. ln(x +

);

139. sin 2 x;

140. ch 2 x.

1 + x 2

3.2.18. Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности

указанной точки x 0 . Найти

область сходимости

найденных разложений к

своим суммам:

= 1;

141.

ln x, x 0

142.

x 5 ,

x 0 = −2;

143.

, x

0 = −2;

144.

, x 0

= −3;

+ x

3 + x

= 3;

146.

ex ,

x 0

= 1;

145.

x 0

5 + 2x

147.

sin π x ,

x 0

= 2;

148.

x = −2.

x 2

− 4x + 3

3.2.19. Представить в виде рядов следующие интегралы:

e−x2

arcsin x

149.

∫ x 2

dx;

150.

∫

dx;

ln(1 + x)

151.

∫

;

152.

∫

dx;

+ x 3

153.

∫ cos x 3 dx;

154.

∫

;

1 − x15

sin x

∫

+ x

−1

156.

∫

dx.

155.

dx;

3.2.20. Найти сумму следующих рядов и указать область их сходимости к своим суммам:

∞

(n +1)x

∞

x n +1

157.

∑

;

158.

∑

;

n =0

n =1 n(n +1)

∞

159.

∑

(n +1)(x 3 +1)

;

160.

∑

x n ;

n =0

n =1

∞

4n+3

∞

161.

∑

;

162.

∑ n x 2n −1 ;

n =0

(4n −1)(4n + 3)

n =1

∞

163.

∑

;

164.

∑

;

n =1 n(1 − 2x)n

n =1 x n

∞

ln x

n+1

∞

165.

∑

;

166.

∑

n+1

n +

n =0

n =1

(1 + x 2 )

3.2.21. Вычислить суммы следующих числовых рядов:

167.

∞

(−1)n−1

168.

∞

(−1)n−1

∑

;

∑

;

n =1

2n −1

∞

(−1)n−1

∞

169.

∑

;

170.

∑

;

n =1 4n − 3

n =1 n 3

∞

(−1)

n −1

171.

∑

;

172.

∑

;

n =1 n 5n

n =1 n 4n

∞

173.

∑

;

174.

∑

;

n =2 n(n −1) 2n

n =1

(n 2 − 5n + 4) 5n

∞

n 2

∞

n(2n + 1)

175.

∑

;

176.

∑

n =1 2n

n =0

2n+2

3.3.22. Вычислить приближенно с указанной степенью точности α :

					α = 0,0001;							3		,	α = 0,0001;
177.			e,								178.		e
179.	1			,		α = 0,001;					180.	sin1,				α = 0,00001;


		3 e
	3						α = 0,001;					5					α = 0,001;
181.			80,								182.		250,
183.	arctg					1		,		α = 0,001;	184.	cos			1		, α = 0,0001;

					2										2
185.	arcsin						1		,	α = 0,001;	186.	1				,	α = 0,001.

					3							7 136

3.2.23. Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001:

	1 4	e−x 2					2	e			x
187.	∫				dx;	188.	∫	e					dx;
187.	∫				dx;	188.	∫		x				dx;
	0						1		x
	1 4						1 2			arctg x
189.	∫	sin x 2 dx;				190.	∫									dx;
189.	∫	sin x 2 dx;				190.	∫							x		dx;
	0						0							x
	0,5						10		ln(1 + x							2	)dx;
	0,5						10									2
191.	∫			1 + x 3 dx;		192.	∫
191.	∫			1 + x 3 dx;		192.	∫							x 2
	0						0							x 2
	2			2			2 3							dx
	2	sh x					∫							dx
193.	∫	sh x			dx;	194.												;

			x 2
												3 1 + x 5
	0						0					3 1 + x 5
		1
	4	1					1	4			1		+ x		4	−1
	4						1	4							4
195.	∫	e x dx;				196.	∫												dx.
195.	∫	e x dx;				196.	∫							x 2					dx.
	2						0							x 2

3.2.24. В задачах 197-201 найти шесть членов разложения y(x) решения

дифференциальных уравнений:
197.	y ′′− (1 + x 2 )y = 0, y(0) = −2, y′(0) = 2.
198.	y ′′= x 2 y − y′,	y(0) = 1,	y′(0) = 0.
199.	y ′′− y e x = 0,	y(0) = 1,	y′(0) = 1.
200.	y′ = x 2 + y2 ,	y(0) = 0.
201.	y′ = e y + xy = 0, y(0) = 0.

3.2.25. В задачах 202-206 найти ограниченные решения при x → 0 дифференциальных уравнений:

202.

x 2

y ′′+ x y′ + 4x 2

−

y = 0.

203.

x 2

y ′′+ x y′ + x 2 −

y = 0.

204.

y ′′+

y′ +

y = 0.

205.

y ′′+

y′ + 4y = 0.

206. x y ′′+ 1 y′ + 1 y = 0.

3.2.26.Проинтегрировать при помощи рядов следующие дифференциальные уравнения и найти область сходимости:

207. y′ − 2xy = 0, y(0) = 1.

208.4xy′′ + 2y′ + y = 0.

209.9x(1 − x)y′′ −12y′ + 4y = 0.

210.y′′ + xy′ + y = 0.

211.y′′ − xy′ + y −1 = 0, y(0) = y′(0) = 0.

3.2.27. Следующие функции разложить в ряд Фурье в интервале (− π, π):

212.	f (x) = −1,		если − π < x < 0,
	1,		если 0 < x < π.
			− π < x < 0,	π	< x	< π,
213.	0,		− π < x < 0,	2	< x	< π,
213.	f (x) =			π
		если 0 < x <		π
	b,	если 0 < x <		.
				2

214.	f (x) = 0,			− π < x < 0,
	2,			0 < x < π.
215.	f (x) = x.
216.	f (x) =	x	.

3.2.28. Следующие функции разложить в ряд Фурье в интервале (− l, l):

217. f (x) = x,

218. f (x) = ex ,

219. f (x) =

220. f (x) = x −

3.2.29. Следующие функции разложить в интервале (0; π) в ряд Фурье по

синусам:

221. f (x) = 2x;

222.

f (x) = π −

;

223. f (x) = ch x;

224.

f (x) =

3.2.30. Следующие функции разложить в интервале (0; π) в ряд Фурье по

косинусам:

f (x) = π −

225. f (x) =

(π − x);

226.

;

227. f (x) = x sin x;

228.

f (x) = sin x .

3.2.31. Следующие функции разложить в ряд Фурье в комплексной

форме:

x [− π, π];

f (x) = sh x,

x (− π, π);

229. f (x) = ch x,

230.

231. f (x) = x 2 ,

x (− π, π);

232.

− π < x < 0,

f (x) =

0 < x < π.

e−x ,

233. f (x) = ex ,

x (− l, l);

234.

f (x) = cos

x [− π, π].

3.2.32. Следующие функции представить интегралом Фурье:

− x − 2,	если − 2 < x < −1,
	если	−1 < x < 1,
x,	если	−1 < x < 1,			236. f (x) = e		2
235. f (x) =		1 < x < 2,			236. f (x) = e	−x	;
− x + 2,	если	1 < x < 2,
0,	если		x	> 2.
0,	если		x	> 2.

sin x,

если

≤ π,

237. f (x) =

cos x,

если

≤

если

> π.

238. f (x) =

π .

если

239. f (x) =

, a >

240. f (x) =

, a

> 0.

a 2 + x 2

3.2.33. Найти преобразование Фурье следующих функций:

241. f (x) = e−k 2

;

242. f (x) = x e

;

243. f (x) = e−

244. f (x) = e−

;

cos x;

≤ 1

245. f (x) = e−

sin x;

< 2,

246. f (x) = 1, 1 <

> 2.

3.2.34. Найти косинуспреобразование Фурье следующих функций:

cos x,

0 ≤ x ≤ π,

247. f (x) =

x > π.

248. f (x) = sin x,

0 ≤ x ≤ π,

x > π.

249. f (x) = 2−x ,

0 ≤ x < ∞.

3.2.35. Найти синуспреобразование Фурье следующих функций:

250. f (x) = a x ,

0 ≤ x < ∞,

a > 0;

−1,

0 ≤ x ≤

251. f (x) =

x >

252. f (x) = sin x,

0 ≤ x ≤ π,

x > π.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx