УМК

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) +

0 )(x − x 0 ) +

0 )(x − x 0 ) + K

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Задание №28

Представить интегралом Фурье следующие функции

x - 2,

( )= 2x,

1. f x

x + 2,

3. f (x)= sin x,

- x,

если - 2 £ x < -1,

если -1 £ x £ 1,

если	1 < x < 2,
если		x	³ 2;

если	x < -2p,

если - 2p £ x £ p,

если - p £ x £ p,

если - p < x < 2p,

если x ³ 2p;

sin x,

если

£ p,

5. f (x)=

если

³ p;

sin x + cos x, если

£ p,

7. f (x)=

если

> p;

+ x, если

cos x

£ 2 ,

9. f (x)=

> p ;

если

- x +1,

если -1 £ x £ 0,

11. f (x)= x +1,

если

0 < x < 1,

> 1;

если

x + 2,

если - 3 £ x < -2,

если - 2 £ x £ 2,

2. f (x)= 3x,

x - 2,

если

2 < x < 3,

если

³ 3;

если x < −1,

4. f (x)= - 2x,

если -1 £ x < 0,

2x,

если

0 £ x < 1,

если

x ³ 1;

если

cos 2x,

£ 4 ,

6. f (x)=

³ p ;

если

sin x + x,

если

£ p,

8. f (x)=

если

> p;

2x +1,

если

10. f (x)=

если

;

- 2x +1,

если - 2 £ x £ 0,

12. f (x)= 2x +1,

если 0 £ x £ 2,

> 2;

если

- x + 4, если

- 2 £ x £ -1,

sin 2x + cos x,

£ p,

если

-1

£ x £ 1,

14. f (x)=

> p;

13. f (x)=

если

+ 4,

если

£ x < 2,

если

> 2;

cos2 x +

если

£ p,

sin

x +

, если

£ p,

16. f (x)=

15. f (x)=

если

> p;

если

> p;

2x	+ 2,	если -1 £ x £ 0,
17. f (x) = 2x	- 2,	если	0 £ x < 1,
				x	³ 1;;

0,		если

sin x

если

£ p,

19. f (x) =

> p;

если

если -1 £ x £ 1,

если - 2 £ x < 1,

21. f (x) =

- x,

если 1 £ x < 2,

если

> 2;

- 2,

если - 2 £ x £ -1,

если -1 < x < 1,

23. f (x) =

если

1 £ x < 2,

если

> 2;

	если	- p £ x £ 0
sin x,
25. f (x) = - sin x, если		0 £ x £ p,
			x	³ p;

0,	если

x + 2,	если - 2 £ x £ -1,
	если	-1 < x £ 0,
- x,	если	-1 < x £ 0,
18. f (x) =
- x + 2,	если	1 < x < 2,
0,	если				x	> 2;
0,	если				x	> 2;

	если -		p	£ x £ 0,
cos x,	если -		2	£ x £ 0,
			2
		0 < x £ p ,
20. f (x) = - cos x,	если	0 < x £ p ,
				2
	если				x	>	p
							p
0,								;
							2

22. f (x) = - 2x + 2,	если	-1 £ x £ 1,
0,	если		x	> 1;

-1,	если - 4 £ x £ -2,
	если	- 2 < x < 2,
2x,	если	- 2 < x < 2,
24. f (x) =		2 < x < 4,
1,	если	2 < x < 4,
0,	если		x	> 4;
0,	если		x	> 4;

		если -		p	£ x		£ 0,
- 2 cos x,		если -		2	£ x		£ 0,
				2
		если 0 < x £ p ,
26. f (x) = 2 cos x,		если 0 < x £ p ,
							2
		если			x	³	p
							p
0,							;
							2

если - 2 £ x £ 0,

- 2,

если

- 2 £ x < -1,

-1,

если

-1 £ x £ 0,

27.

f (x) =

если 0 £ x < 2,

28.

f (x) =

если

0 < x £ 1,

если

1 < x £ 2,

если

> 2;

если

> 2;

< 1,

- 2x,

если - 2 £ x £ -1,

если

f (x) =

-1 £ x < 1,

29.

если

-1 <

< 2,

если

0,5,

30.

f (x) =

если

> 2;

2x,

если

1 £ x £ 2,

если

> 2.

Задание №29

Найти преобразование Фурье следующих функций

1. f (x) = e−

x 2

2 ;

−x

если x ³ 0,

3. f (x) = x,

если

-1 £ x < 0,

x < -1;

если

x +1,

если

£ p,

5. f (x) =

если

> p;

если - p £ x < 0,

sin x,

7. f (x) = - sin x,

если

0 £ x £ p,

> p;

если

+1,

если

£ p,

9. f (x) =

> p;

если

x 2 ,

если

£ 1,

если

1 <

< 4,

11. f (x) = 1,

если

> 4;

13. f (x) =

если x < 0,

если

x > 0;

15. f (x) =

−x2

если x ³ 0,

если x < 0;

−x

если x ³ 0,

2. f (x) = e

если

x < 0;

если

£ p,

4. f (x) =

> p;

если

−

x 2

£ 1,

если

6. f (x) = e

если

> 1;

−

если 0 < x < 1,

8. f (x) = e

если

x < 0, x > 1;

- 2,

если - 2 < x < 0,

10. f (x) = 2,

если 0 < x < 2,

³ 2;

если

- 2x,

если 1 £ x £ 0,

12. f (x) = 2x,

если

0 £ x £ 1,

> 1;

если

−x

если x ≤ 0,

14. f (x) =

если x > 0;

-1, если -1 £ x < 0,

16. f (x) =

- x

x -1,

если

0 £ x < 1,

> 1;

если

17. f (x) = e

−2x

если x > 0,

x + 4,

если - 4 £ x < 0,

если x < 0;

18. f (x) = x - 4,

если 0 < x £ 4,

> 4;

если

−x

+ 1,

если

- p £ x £ 0,

-1, если

- p £ x < 0,

19. f (x) = e

если 0 £ x £ p,

если x ³ 0,

x < -p;

20. f (x) = 2,

> p;

если

−x

+ e

, если

- p £ x £ p,

- e

, если 0 £ x £ 1,

21. f (x) =

> p;

22. f (x) =

x < 0,

x > 1;

если

+ 3,

£ x £ 0,

если

- x,

если -1 £ x £ 0,

23. f (x) = - 2x +

3, если

0 £ x £

24. f (x) = x,

если

0 £ x £ 1,

если

> 1;

если

;

+ x,

-1 £ x £ 0,

если

cos px,

если

25. f (x) = 1 - x,

если

0 < x £ 1,

26. f (x) =

если

> 1;

если

;

sin px,

если -1 £ x £ 1,

+ 4,

- 2 £ x £ -1,

если

27. f (x) =

> 1;

28. f (x) = 2x - 4,

если

1 £ x £ 2,

если

> 2,

< 1;

если

- 2x,

если - 2 £ x £ -1,

- 2p £ x £ -p,

- sin x, если

если

1 £ x £ 2,

30. f (x) = sin x,

если

p £ x £ 2p,

29. f (x) = 2x,

> 2,

< 1;

если

> 2p,

< p.

если

3.4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 «Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью рядов»

Для всякой непрерывной функции существует первообразная. Однако, не всегда интеграл от непрерывной функции выражается в конечном виде через элементарные функции.

	Примерами таких интегралов являются ∫ e−x 2			dx, ∫	sin x	dx,	∫	cos x	dx,
	Примерами таких интегралов являются ∫ e−x 2			dx, ∫		dx,	∫		dx,
					x			x
	d x
∫	d x	,	∫ 1 − k 2 sin 2 x dx и многие другие.
∫		,	∫ 1 − k 2 sin 2 x dx и многие другие.
	ln x

Подобные интегралы можно вычислить разложением подынтегральной функции в степенной ряд. При этом надо помнить следующее.

1.Интервал интегрирования должен полностью входит в интервал сходимости степенного ряда, представляющего подынтегральную функцию.

2.Чтобы достигнуть требуемой точности, нужно правильно оценить остаточный член.

3.Вычисление членов ряда нужно вести по правилам действий над приближенными числами.

0,2

e−x 2

= 10−6 .

ПРИМЕР 3.4.1. Вычислить ∫

dx с точностью

0,1

Разложим подынтегральную функцию в ряд, применяя разложение

e y = 1 +

y 2

+ K +

y n

+ K

n !

1! 2!

Положим y = −x 2 , тогда e−x2

= 1 −

x 2

x 4

−

x 6

+ K + (−1)n

x 2n

+ K

n !

Этот ряд сходится при всех значениях x , то есть в интервале (− ∞;+∞), следовательно, его можно интегрировать почленно по любому конечному промежутку:

0,2

∫ e

−x

= ∫

−

dx =

0,1

0,2

= x −

−

+ K

2! 5

1! 3

3! 7

0,1

−

+ K −

1! 10

5 2!

7 3!

		1		1		1	3	1		1	5	1	1	7
−		1	−	1		1	+	1		1	−	1	1		+ K .
−			−				+				−				+ K .
				3 1!	10			5 2!	10			7 3!	10
	10			3 1!	10			5 2!	10			7 3!	10

Каждый из рядов в квадратных скобках является знакочередующимся, удовлетворяющим условиям теоремы Лейбница. В каждой из квадратных

скобках, начиная с четвертого члена, члены меньше 10−6 .

a′

128

10−7

≈ 3 10−7 < 10−6 ,

7 3! 10

a 4′′ =

10−7

≈ 0,02 < 10−6 .

7 3! 10

Абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных

погрешностей компонентов

1 +

= 0,0000003 + 0,000000002 = 0,000000302 < 10−6

Итак, каждый ряд вычисляем с тремя членами

0,2

dx ≈ [0,2

− 0,0026667 + 0,000032]− [0,1 − 0,000333 + 0,000001]

∫ e−x 2

0,1

a 2

≈ 0,097697 .

Ответ:

∫ e−x 2

ПРИМЕР 3.4.2. Вычислить интегральный синус, обозначаемый

Si x и

sin t

определяемый формулой Si x = ∫

dt .

с точностью

= 0,001.

1 2

sin t

1 2

t 3

t 5

t 7

∫

dt =

∫

t −

−

+ K

dt =

3! 5! 7!

1 2

t 2

t 4

t 6

t 3

t 5

t 7

1 2

= ∫

−

3! + 5!

− 7!

+ 5 5! − 7 7! +

t dt = t − 3 3!

1 3

−

− K = 0,5 − 0,00694 + 0,000052 − K

2 3 3! 2

Так как a 3 < 10−4 , то достаточно оставить два члена

≈ 0,5 − 0,00694 ≈ 0,49306 ≈ 0,493,

абсолютная

погрешность

1 +

1 − от приближенного вычисления второго члена,

подсчета

2 ,

где

а2 − от отбрасывания всех членов ряда, начиная с третьего

<0,0001 + 0,0001 = 0,0002 < 0,001.

Описание лабораторной работы

1.Разложить подынтегральную функцию в ряд Тейлора или Маклорена.

2.Проинтегрировать выражение.

3.Записать n −ю частичную сумму полученного ряда.

4.Записать вид остаточного члена полученного ряда.

5.С помощью метода подбора получить количество членов n −й частичной суммы, обеспечивающее заданную точность.

6.Вычислить значение определенного интеграла через n −ю частичную сумму, удерживая в ней число членов, согласно оценки остатка

0,2

−x

∫

0,1

0,5

arctg x

∫

0,5

∫

1 + x 4

π 4

cos x

∫

π 6

0,3

∫

1 + x 4

0,1

ln (1 + x)

∫

∫ sin x 2 dx

0,1

ln (1 + x)

∫

x 2

e x

∫

0,1

0,2

e−x

10.

∫

0,1

x 3

π 3

sin x

11.

∫

π 4

Задание к лабораторной работе №1

2
2
16. ∫ 4 1		+ x 2 dx
0

π 3

sin 4x

17.

∫

3 x

π 4

π 3

cos 2x

18.

∫

π 6

19.

∫

3 3 + x 3

20.

0,2

e−x 2

∫

0,1

21.

−x 2

∫

22.

−x3

∫

arctg x 3

23.

∫

x dx

x 3

24.

x 3 dx

∫

1 + x 5

25.

0,5

e−x 2

∫

26.

0,4

x1 2 sin 2x dx

∫

	0,3		sin 2x							0,3		x 3 2 cos x dx
12.	∫					dx			27.	∫
12.	∫					dx			27.	∫
	0,1			x						0
	1	arctg x 2								0,3						2
13.	∫						dx		28.	∫		x arctg x					dx
13.	∫						dx		28.	∫		x arctg x					dx
	0		x 2							0,1
	1		1							2			dx
14.	∫		1		dx				29.	∫			dx


	0	2	+ x 3							1		3 1 + x 5
	0,3		1							2	cos		x	2
	∫		1					dx		2
15.									30.	∫					dx


	0		1 − x 3							1			x

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 «Интегрирование дифференциальных уравнений степенными

рядами»

Целью лабораторной работы является научить студентов решать задачу Коши степенными рядами, выбирая один из приведенных способов.

Требуется решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка

y′′ = F (x, y, y′)

(3.4.1)

если его решение не выражается через элементарные функции в конечном виде или обычные способы решения слишком трудоемки, то в отдельных случаях его решение удается отыскать в виде некоторого степенного ряда. Рассмотрим


способ последовательных дифференцирований, который применяется							для
определения частного решения y = f (x)			уравнения (3.4.1), удовлетворяющее
начальным условиям		f (x 0 ) = a 0 , f ′(x 0 ) = a1 . Если		в	окрестности		точки
M 0 (x 0 , a 0 , a1 )	функция F (x, y, y′)		удовлетворяет		условиям теоремы
существования	и	единственности	решения	задачи		Коши	для

дифференциального уравнения второго порядка, то можно искать его решение в виде ряда Тейлора,

K +	1	f (n ) (x	0 )(x − x 0 )n + K

	n !

первые два члена которого известны, так как f (x 0 ) = a 0 , f ′(x 0 ) = a1 . (Теорема существования и единственности решения задачи Коши не обеспечивает существования решения уравнения (3.4.1) в виде степенного ряда (3.4.2).

Из	уравнения	(3.4.1)	находим	f ′′(x) = F (x 0 , a 0 , a1 ).	Если
продифференцировать уравнение (3.4.1) по				x , то можно найти сколь угодно
производных искомой функции f (x) в точке x 0 :

f ′′′(x 0 ) =

d F (x 0 , a 0 , a1 )

,K, f (n ) (x 0 ) =

d n −2 F (x 0 , a 0 , a1 )

d x

d x n −2

d F

d n −2 F

Под символами

,K,

понимаются полные производные по x от

d x n−2

функции F (x, y, y′) в предположении, что y и y′

зависят от x , то есть

d F

∂F +

∂F

d 2 y

= ∂F +

∂F y′ +

∂F

F (x, y, y′)K

∂y′

dx 2

∂x

∂y dx

∂x

∂y

∂y′

Подставляя найденные значения производных функции f (x) в

разложение (3.4.2) получаем искомое решение

y = a 0 + a1 (x − x 0 ) +

F (x 0 , a 0 , a1 ) (x − x 0 )2 + K +

d n −2 F (x 0 , a 0 , a1 )

(x − x

0 )n + K

n !

d x n −2

Если уравнение (3.4.1) линейное, то есть

y′′ + a1 (x)y′ + a 2 (x)y = ϕ(x).

(3.4.3)

и a1 (x), a 2 (x), ϕ(x) − степенные функции с натуральными показателями, то частное решение уравнения (3.4.3) можно искать в виде ряда

		∞
		y = ∑ cn (x − x 0 )n ,	(3.4.4)
		n=0
коэффициенты	cn	которого подлежат определению.	Чтобы определить
коэффициенты	cn ,	n = 0,1, 2,K искомого ряда (3.4.4), поступают следующим

образом:

1)дважды дифференцируют ряд (3.4.4) с неизвестными коэффициентами

инаходят y′ и y′′;

2)подставляют разложения для y, y′ и y′′ в степенные ряды в

дифференциальные уравнения (3.4.3); 3) путем приравнивания коэффициентов полученных рядов при

одинаковых степенях разностей x − x 0 получают уравнения для определения неизвестных коэффициентов cn ;

4)из полученных уравнений находят коэффициенты cn и подставляют их

вискомый ряд (3.4.4).

Полученное в виде степенного ряда решение может быть исследовано на сходимость известными признаками.

Задание к лабораторной работе №2

Найдите первые шесть членов дифференциальных уравнений

1. y′′		= x sin y′					y (1) = 0,
2. y′′		= y cos y′ + x					y (0)= 0,
3. y ′′ = x 2 + y 2 −1							y (−1)= 2,
4. y ′′ = e y sin y′							y (π)= 1,
5. y ′′ = (y′)2 + x y							y (1) = 4,
6. y ′′ =			y′	−		1	y (1)= 1,
						x
			y
7. y′′		=	x y y′				( )
							y 1 = 0,
8. y′′ = x y′ − y + 1							y (0)= y′,
9. y′′ = (1 + x) y = 0							y (0)= −2,
10.	y ′′ = x 2 y − y′						y (0)= 1,
11.	y ′′ = 2 e y + x y						y(0)= 0,
12.	y ′′ = 2 e y − x y						y(0)= 0,
13.	y ′′ = 2 cos x + y 2						y(0)= 1,
14.	y ′′ = sin x + y 2						y(0)= 1,
15.	y ′′ = x + x 2 + y 2						y(0)= 5,
16.	y ′′ = e x				+ y2		y(0)= 0,
17.	y ′′ = y + y 2						y(0)= 3,
18.	y ′′ = e x				+ y		y(0)= 4,
19.	y ′′ = 2x 2 − y 2						y(0)= 2,
20.	y′′ = x y′ + 2 y						y(0)= 1,
21.	y′′ = −x y′ − y						y(0)= 1,
22.	y ′′ = x 2 y						y(0)= 1,
23.	y′′ = y sin y′ + x						y(0)= 1,
24.	y ′′ = e y cos y′						y(π)= 1,
25.	y ′′ = x 2 + y 2 + cos y′						y(0)= 1,

разложения в ряд решения

y′(1)= 0

y′(0)= π 3

y′(−1)= 0,5

y′(π)= π

2 y′(1)= −2

y′(1)= 0

y′(0)= 1 y′(0)= 0 y′(0)= 2 y′(0)= 0 y′(0)= 1 y′(0)= 1 y′(0)= 0 y′(0)= 0 y′(0)= 1 y′(0)= 1 y′(0)= 1 y′(0)= 0 y′(0)= 1 y′(0)= 0 y′(0)= 1 y′(0)= 1

y′(0)= π 3 y′(π)= π

2 y′(0)= π

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx