УМК

1

∞

∞

f (x) =

∫

∫ f (t)× cos a (t

- x)dt da .

(1.128)

p 0

−∞

Правая часть

формулы (1.128)

называется интегралом

Фурье для

1 ∞ ∞

1

∫

∫ f (t)× cos a (t - x)dt da =

× (f (x + 0) + f (x - 0)).

2

p 0

−∞

Формулу (1.128) можно представить, раскрывая выражение косинуса

разности, в виде

f (x) = ∞∫ (a(a)× cos a x + b(a)× sin ax )da ,

(1.129)

0

∞∫ f (t)× cos a t dt,

∞∫ f (t)× sin a t dt .

где

a(a) =

1

b(a) =

1

p −∞

p −∞

f (x) = ∞∫ (a(a)× cos ax + b (a)× sin ax)da,

(1.130)

0

где

∞∫ f (t)× cos a t dt,

∞∫ f (t)× sin a t dt .

a(a) =

1

b(a) =

1

(1.131)

p −∞

p −∞

1. Пусть f (x) − четная функция, тогда

a(a) =

1

∞∫ f (t)× cos a t dt =

2

∞∫ f (t)× cos at dt,

p −∞

p 0

f (x) = ∞∫ a(a)× cos ada ,

(1.132)

0

где

a(a) =

2

∞∫ f (t)× cos at dt ,

(1.133)

p 0

a(a) =

1

∞∫ f (t)× cos a t dt = 0,

p −∞

b(a) =

1

∞∫ f (t)× sin a t dt =

2

∞∫ f (t)× sin at dt,

p −∞

p 0

следовательно, интеграл Фурье (1.130) принимает вид

f (x) = ∞∫ b(a)× sin ax da,

(1.134)

0

где

b(a) = p ∞∫ f (t)× sin at dt ,

(1.135)

2 0

S

2

∫

F

(a) =

× ∞ f (t)× sin at dt ,

(1.139)

p

0

1

при

x

< 1,

f (x) =

1

при

x

= 1,

2

0

x

> 1.

при

∞

1. Если F(α) − преобразование Фурье функции f (x) и

∫

f ′(t)

dx

< ∞,

то i α F(α) является преобразованием Фурье функции f ′(x).

−∞

Доказательство. По определению найдем преобразования Фурье f ′(x),

имеем

1

∞

e

−iαx

= u, du = −iαe

−iαx

dx

∫ f ′(x) e−iαx dx

=

=

2π

−∞

dv = f ′(x)dx, v = f (x)

1

A

∞

=

lim

− i α f (x) e−iαx

+

∫ iα f

(x) e−iαx dx

=

2π

A→∞

−A −∞

1

∞

=

− i α lim (f (A) e−iαA

− f (− A)

e−iαA )+ i α

∫ f (x)

e−iαx dx

=

2π

A→∞

−∞

=

i

α

∞∫ f (x) e−iαx dx , так

как

lim f (A) e−iαA

= lim f (− A) eiαA

= 0 ,

2π

−∞

A→∞

A→∞

тогда

1

∞∫ f ′(x) e−iαx

dx =

i

α

∞∫ f (x) e−iαx dx = i α F(α)

отсюда

2π

−∞

2π

−∞

2.

Если

F(α) − преобразование

Фурье

функции

f (x)

и

∞

∫

x f (t)

dx < ∞ ,

то

F′(α) является

преобразованием

функции

Фурье

−∞

функции − i x f (x).

Доказательство. По определению,

имеем

F(α) =

1

∞∫ f (x) e−iαx dx ,

2π

−∞

α

обе части последнего равенства продифференцируем

по переменной

и

получим

F′(α) =

1

∞∫ f (x) (− ix) e−iαx dx =

i

α

∞∫ (− i xf (x)) e−iαx dx ;

2π

−∞

2π

−∞

отсюда следует, что функция − i x f (x)

имеет своим преобразованием Фурье

функцию F′(α).

ПРИМЕР 1.34. Найти преобразование Фурье функции f (x) = e−

1

x 2 .

2

∞

∞

4. Если сходятся ряды ∑ a n , ∑ bn , имеющие соответственно суммы A

n =1

n =1

и B , то сходится и ряд ∑∞ (a n

+ bn ), причем сумма последнего ряда равна

n =1

предел его общего члена равен нулю:

lim a n

= 0 . Отсюда вытекает, что если

n→∞

lim a n ¹ 0 , то ряд расходится. Если же lim a n

= 0 , то о сходимости ряда еще

n→∞

n→∞

1

1

1

∞

1

1 +

+

+ K +

+ K = ∑

.

n

2 3

n=1

n

Здесь lim

1

= 0, но ряд расходится. Это вытекает из того, что Sn

→ ∞

n→∞ n

при n → ∞ . Докажем это.

что возрастающая последовательность {a n }, a n

1

n

Известно,

= 1

+

n

1 n

1 n

сходится и ее предел равен e , lim 1

+

= e

при этом e > 1

+

.

n→∞

n

n

1

= n(ln(1 + n) − ln n)

Логарифмируя это неравенство, имеем ln e > n ln 1

+

n

или, деля обе части на n ,

1

> ln(n + 1) − ln n .

n

При

n = 1

1 > ln 2

n = 2

1

> ln 3 − ln 2

2

n = 3

1

> ln 4 − ln 3

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n = n

1

> ln(n + 1) − ln n

n