УМК

Теорема 1.1. Если ряд (1.3)

сходится,

то сумма его n −го остатка при

n → ∞ стремится к нулю.

∞

n −й остаток ряда через R n

Доказательство.

Обозначим

= ∑u k и

k=n +1

∞

будем для краткости называть просто остатком ряда, тогда сумму ряда ∑u n

1

можно записать в виде

S = Sn + R n .

(1.4)

В (1.4) перейдем к пределу при n → ∞:

S = lim (Sn + R n )= lim Sn

+ lim R n = S + lim R n , тогда

lim R n = 0 .

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

c u1 + c u 2 + K + c u n + K, где

c = const , также сходится и его сумма

равна c S.

∞

Доказательство. Обозначим Sn

− частичную сумму ряда ∑u n и

∞

n =1

σn − частичную сумму ряда ∑c u n , тогда

σn = c u1 + c u 2 + K + c u n =

n =1

∞

= c (u1 + u 2 + K + u n )= c Sn ,

то lim Sn = S.

а так как ряд ∑u n

сходится,

n =1

n→∞

Следовательно, lim σn = c S ряд c u1 + c u 2 + K + c u n

+ K сходится

n→∞

и его сумма равна c S.

∞

∞

Теорема 1.3. Если ряды

∑u n и

∑vn

сходятся

и их суммы

n =1

n =1

соответственно равны S и σ , то и ряд ∑∞ (u n + vn ) сходится и его сумма равна

S + σ.

n =1

n

n

n

+ vk ),

Доказательство. Пусть Sn

=

∑u k ;

σn

= ∑vk и

S′n = ∑(u k

тогда S′n = Sn

+ σn .

k =1

k=1

k =1

∞

∞

= S и

По условию ряды ∑u n и

∑vn сходятся, а это значит, что lim Sn

n =1

n =1

n→∞

lim σn = σ

, что предел S′n

существует

n→∞

ПРИМЕР 1.2. Ряд вида

1 +

1

+

1

+ K +

1

+ K =

∞

1

∑

называется

гармоническим.

Для этого ряда

2

n

n

3

n=1

1

выполняется необходимое условие сходимости, то есть

lim u n

= lim

= 0 .

Покажем,

расходится.

Известно,

n→∞

n→∞ n

что

этот

ряд

что

возрастающая

1

n

последовательность {a n }, где

a n = 1 +

, сходится и ее предел равен e :

n

1

n

1 n

lim 1 +

= e ;

при этом

e > 1

+

.

Логарифмируя

это неравенство,

n→∞

n

n

1

имеем

ln e > n ln 1 +

= n (ln (1 + n)− ln n)

или,

поделив обе части на n ,

n

получим

1

> ln (n +1)− ln n .

n

При

n =1

1 > ln 2

n = 2

1

> ln 3 − ln 2

2

n = 3

1

> ln 4 − ln 3

3

n = n

1

> ln(n +1)− ln n .

n

1

1

1

Частичная сумма

Sn

= 1 +

+

+ K +

гармонического ряда,

каждый

n

2

3

член которой больше соответствующего члена суммы вида

ln 2 + (ln 3 − ln 2)+ (ln 4 − ln 3)+ K + (ln (n +1)− ln n)= ln (n +1),

удовлетворяет неравенству

Sn > ln (n +1),

но

lim ln (n +1)= ∞ ,

откуда

= ∞ .

n→∞

следует, что lim Sn

n→∞

Из рассмотренного примера следует, что рассмотренный признак не

является достаточным признаком сходимости ряда.

1.1.6. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами

∞

Теорема 1.6. Если ряд ∑u n сходится и 0 < vn ≤ u n (n = 1,2,...), то и

n =1

∞

∞

расходится, а 0 < u n

≤ vn , то и ряд

ряд

∑v n

сходится. Если же ряд ∑u n

n =1

n =1

∞

∑ v n

расходится.

n =1

∞

Sn −

Доказательство.

Пусть

частичная

сумма

ряда

∑ u n ,

а

∞

∞

n =1

σn − частичная сумма

ряда

∑ v n .

Так как

ряд

∑ u n

сходится,

то его

n =1

n =1

частичная сумма ограничена, то есть для всех n

Sn

< M , где M − некоторое

число. Но так как u n ≥ vn , то Sn

≥ σn , а это значит, что частичная сумма σn

∞

∞

ряда

∑ v n также ограничена,

а этого достаточно для сходимости ряда

∑ v n

с

n =1

n =1

неотрицательными членами.

∞

∞

Если же

ряд

∑ u n

расходится,

то ряд

∑ vn

также расходится, так как

n =1

∞

n =1

≥ u n ,

предположив,

что

ряд

∑ v n

сходится

и

vn

по

условию,

по выше

n =1

∞

доказанному должен

сходиться

и ряд

∑ u n ,

что

противоречит

условию.

∞

n =1

Значит, ряд ∑ vn расходится.

n =1

ПРИМЕР 1.3. Пользуясь признаком (1.6), исследовать сходимость ряда

∞

1

∑

.

n =1 n 2n

Решение.

Проверим, выполняется

ли

для данного

ряда необходимый

1

признак сходимости знакоположительных рядов lim u n = lim

= 0 − ряд

может сходиться.

n→∞

n→∞ 2n n

Для доказательства сходимости применим теорему 1.6. Для сравнения

∞

1

рассмотрим ряд ∑

, который сходится как ряд геометрической прогрессии

n =1 2n

1

1

при

q

< 1, причем

>

. Следовательно,

по признаку

сравнения

2n

n

2n

∞

1

сходится и ряд ∑

.

n

2n

n =1

Следствие 1.1. Если существует конечный и отличный от нуля предел

lim

u n

= k , то из сходимости ряда с общим членом u n

следует сходимость

n→∞ vn

ряда с общим членом vn , и из расходимости первого ряда

следует

расходимость второго.

1.1.7. Признак Даламбера

Если в ряде с положительными членами

u1 + u 2 + u3 + K + un + K

(1.7)

то есть

lim

un+1

= l ,

(1.8)

n→∞ un

Доказательство.

1.

Пусть

для

исследуемого

ряда

u1 + u 2 + u 3 + K + u n + K, l < 1.

Рассмотрим

число

q ,

удовлетворяющее

соотношению l < q < 1.

Тогда,

начиная с

некоторого

номера

N из

определения предела для всех n ≥ N , выполняется неравенство

un+1

< q или

u

n+1

< q u

n

.

(1.9)

un

с номера N ,

Запишем неравенство для различных n , начиная

тогда

получим

uN+1

< q

u

N+1

< q u

N

;

uN

uN+2

< q

u

N+2

< q u

N+1

< q2u

N

;

(1.10)

uN+1

uN+3

< q

u

N+3

< q u

N+2

< q3u

N

.

uN+2

Рассмотрим два ряда

u1 + u2 + u 3 + K + uN + uN+1 + K

(1.11)

q uN + q2uN + K + qn uN + K

(1.12)