Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

функция гораздо проще, она задается одной формулой

задана равенством

Из доказанного вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье

можно заменить						промежуток интегрирования (− π; π)			промежутком
интегрирования (λ; λ + 2π), то есть можем положить:
		=	1			λ+2π		(x)dx
a	0						∫f
a	0		p				∫f
			p				λ
	k		1				λ+2π
	k	=				×	∫	f (x)cos kx dx,
a		=		p		×		f (x)cos kx dx,	(1.109)
				p			λ
	k				1	λ+2π
	k	=			1		∫	f (x)sin kx dx.
b		=			p			f (x)sin kx dx.
					p		λ

Покажем на примере, как доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов в некоторых случаях.

ПРИМЕР 1.28. Разложить в ряд Фурье f (x) с периодом 2π, которая на отрезке 0 ≤ x ≤ 2π f (x)= x .

График функции изображен на рис.1.3. Как видно из рис.1.3, функция на отрезке [− π; π] задана двумя формулами

2π

− 2π π

0 π 2π 3π 4π

Рис. 1.3

f (x)= x + 2π, − π ≤ x ≤ 0,
x,	0 < x ≤ π

и вычисление коэффициентов ряда Фурье по формулам (1.94), (1.104), (1.106) неудобно, так как в каждом из интервалов интегрирования приходится разбивать на два: от − π до 0 и от 0 до π. В то же время на отрезке [0; 2π] f (x)= x . Поэтому для

вычисления дифференциалов ряда Фурье удобнее формула (1.109) при λ = 0 .

удовлетворяет

f (x)

2π

a 0

∫ f (x)dx

∫ x dx

= 2p,

p 0

2π

a k

× ∫ f (x)cos kx dx =

∫ x

× cos kx dx =

p 0

1 x

2π

cos kx

2π

× sin kx

= 0,

p k

2π

∫ x ×sin kx dx =

× cos kx

= -

Тогда разложение функции в ряд Фурье будет иметь вид

	1			1
f (x) = p - 2 sin x +		× sin 2x	+ K +		× sin nx + K .
f (x) = p - 2 sin x +	2	× sin 2x	+ K +	n	× sin nx + K .
	2			n

Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (то есть кроме точек x = 0, 2π, 4π,K). В этих точках сумма ряда равна

полусумме предельных значений функции справа и слева, в данном случае числу π .

1.3.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть функция f (x) (периодическая, с периодом 2π) условиям теоремы Дирихле.

Если функция					f (x) четная, то произведение f (x)sin nx нечетная
функция:					π
		1
bn	=			×	∫ f (x)sin nx dx = 0,
		p
					−π	(1.110)
		2			π∫ f (x)cos nx dx.
an	=		×

		p			0

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит лишь косинусы:

f (x) = a 0 2

Если f (x)

∞
+ ∑ a n	× cos nx .
n =1

нечетная, то произведение f (x)× cos nx функция нечетная:

= 1 × ∫ f (x)cos nx dx = 0,

p −π

(1.111)

= 2 × ∫ f (x)sin nx dx. p 0

Отсюда следует, что ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь

синусы:	f (x)= ∑∞		bn × sin nx .
		n =1	1.29.
ПРИМЕР			1.29.
Разложить	в	ряд	Фурье	y
функцию		f (x)= x 2		y
функцию		f (x)= x 2
периода			T = 2π	π	2
(− π ≤ x ≤ π). График этой				π
(− π ≤ x ≤ π). График этой

функции изображен на рис.1.4. Данная функция четная. Тогда ее ряд Фурье содержит только косинусы

(bk

= 0).

Вычислим

− 4π − 2π − π

π 2π

4π

коэффициенты a k :

Рис. 1.4

a 0

1 π

∫x

;

p 0

sin kx

a k

∫x 2

× cos kx dx =

× x 2 ×

cos kx

∫ x × sin kx dx =

k × p 0

p × k

	4	π	4
-		∫cos kx dx = (-1)k ×		, (k = 1,2,K).
	pk 2		k 2
		0

Таким образом, x 2 = p	2		∞		cos kx
		+ 4 × ∑ (-1)k ×					,

3			k 1		k	2
			=
ПРИМЕР 1.30. Периодическая с периодом 2π
следующим образом: f (x)= −1			при	− π ≤ x < 0
		1	при	0 £ x £ p.

(- p £ x £ p).

функция f (x) определена

Эта функция нечетная. Тогда ее ряд Фурье содержит только синусы (a k = 0). Вычислим коэффициенты bk :

∫ f (x)sin kx dx =

∫

(-1)sin kx dx + ∫sin kx dx

−π

p −π

cos kx

× (1 - cos pk).

p k

−π

			при	k	четном
	0
b k		4
	=			k	нечетном.
			при
		πk

Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид

f (x) =	4	sin x			sin 3x		sin 5x		sin (2n + 1)
				+		+		+ K +		+ K .
			1		3		5		2n + 1
	π

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. На рис.1.5 показаны график функции f (x) и частичной суммы

	(x) =	4		sin 3x		sin 5x
S3			sin x +		+		.
				3		5
		π

− 2π

− π

2π

− 1

Рис. 1.5

1.3.5 . Ряды Фурье для функции с периодом 2l

Пусть f (x)

есть периодическая функция с периодом 2l . Разложим ее в

ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле x =

t . Тогда функция

от t с периодом 2π.

t будет

периодической функцией

Ее можно

разложить в ряд Фурье на отрезке − π ≤ x ≤ π:

∞

t =

∑ (ak cos kt + bk sin kt),

(1.112)

k =1

−π∫

t cos kt dt,

где

−π∫

t sin kt dt.

Переходим к

старой

переменной

x :

x =

× t, t = π × x, dt = π × dx ,

тогда получим

∫l

f (x)cos

k × p x

dx.

(1.113)

−l

∫l

f (x)sin

k × p x

dx.

(1.114)

−l

Равенство (1.112) принимает вид

f (x)=

∞

k p

+ ∑

ak × cos

x + bk

× sin

x ,

(1.115)

k =1

где коэффициенты a k , bk

вычисляются

по

формулам

(1.113),

(1.114). Все

утверждения, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2l .

ПРИМЕР 1.31. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) с

периодом 2l , которая на отрезке [− l; l] задается равенством

f (x)= 0

при

− l ≤ x ≤ 0,

при

0 £ x £ l.

Определим коэффициенты Фурье:

1 l

x 2

a 0

∫ f (x)dx =

∫0 × dx +

∫x dx

−l

l −l

l 2

l 2 2

k π

a k

∫ f (x)cos

x dx =

∫

x ×cos

x dx =

−l

u = x, du = dx

cos

k p

x dx = dv,

v =

sin

k p

l × x

k p

× sin

∫sin

x dx =

cos

(k p)

k p

((-1)k -1)=

при k

нечетном,

k 2 p2

при k

четном;

[− l; 0].

f (x)

f (x),

2π. Между

f (x)sin

k p

x dx =

x ×sin

k p

x dx =

∫

−l

l × x

k p

× cos

∫ cos

x dx

k p

k p 0

k p

cos k p +

sin

k p

при k нечетном,

k p

= -

cos k p =

k p

при k

четном.

Таким образом, ряд Фурье для этой функции будет иметь вид

3px

5px

f (x) =

2 l

cos

+K +

2px

3px

4px

sin

+K .

1.3.6. О разложении в ряд Фурье непериодической функции

Вся построенная выше теория исходила из предположения, что заданная функция определена для всех значений x и притом имеет период

тем чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией заданной на отрезке [a; b]. Пусть она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Покажем, что данную функцию f (x)в точках непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную

периодическую	функцию f (x) с периодом	2 m ³	b - a	, совпадающую с

функцией f (x)	на отрезке [a; b]. Разложим	функцию f1 (x) в ряд Фурье.

Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a; b] совпадает с заданной функцией f (x), то есть функция f (x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a; b].

Предположим далее, что функция f (x) задана лишь на отрезке [0; l]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, дополним определение функции для значений x произвольным образом на отрезке

Затем по формулам (1.94), (1.104), (1.106) определим коэффициенты ряда Фурье для этой функции. Такое доопределение функции f (x) на отрезке [− l; 0] дает возможность получить различные тригонометрические ряды.

Если дополним определение функции f (x) так, чтобы при − l ≤ x ≤ 0

было f (x)= f (− x), в результате получится четная функция (см. рис.1.6). В

этом случае говорят, что		функция «продолжена четным образом». Эту

	y	y

y = f (x)

− l

Рис. 1.6 Рис. 1.7

функцию разлагают в ряд Фурье, который содержит только косинусы, коэффициенты его определяются по формулам (1.113).

Аналогично, если дополнить определение функции	f (x) условием
f (− x)= −f (x), x [− l; 0] так, чтобы она казалась нечетной	(см. рис.1.7), то

в ее разложении содержатся только члены с синусами, коэффициенты bn определяются по формулам (1.114).

Таким образом, заданную на отрезке [0; l] функцию f (x), удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле, можно разложить в ряд Фурье, как по косинусам, так и по синусам.

ПРИМЕР 1.32. Требуется разложить функцию f (x)= x 2 на отрезке [0; π] в ряд по синусам. Продолжая эту функцию нечетным образом, получим

f (x)=

0 £ x £ p,

если

- p £ x £ 0.

- x

По формулам (1.111)

bk =

∫ f (x)× sin kx dx =

∫ x 2 sin kx dx =

p 0

cos kx

4 π

= -

× x 2

∫x × cos kx dx =

k p 0

2 p × (-1)k

1 π

= -

× sin kx

∫ sin kx dx

k p k

k 0

× (-1)k+1 +

× ((-1)k -1),

pk 3

∞

k +1

так что x

= ∑

(- 1)

× ((-

- 1)

× sin kx, x Î [0;p].

k =1

1.3.7. Ряд Фурье в комплексной форме

Функция f (x) периода T = 2π удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, тогда

f (x) =	a0	+ ∑∞	(an cos nx + bn sin nx).	(1.116)

2		n 1
		=

Найдем выражение для sin nx и cos nx через показательные функции.

Для этого напишем формулу Эйлера ei ϕ = cos j + i sin j, где i 2 = -1, заменяя в формуле Эйлера ϕ на nx , получим


ei n x = cos n x + i sin n x ,						(1.117)
также заменяя ϕ на − n x , имеем
e−i n x			= cos n x - i sin n x .			(1.118)
Из равенств (1.117), (1.118) находим
sin nx =	1	(ei n x - e−i n x ), cos nx =			1	(ei n x + e−i n x ).
sin nx =		(ei n x - e−i n x ), cos nx =				(ei n x + e−i n x ).
	2i			2
Подставляя			выражение для	sin nx, cos nx в формулу (1.116),

производим соответствующие преобразования:

f (x) =	a	0	∞			1	(einx + e	−inx )-
			+ ∑	an	×
	2					2
			n=1

	a	0	∞	1	× (an	- i bn )e	i nx
=			+ ∑					+
=	2		+ ∑	2				+
	2		n=1	2

		1
i bn	×		(einx - e	−inx )	=
i bn	×	2	(einx - e	−inx )	=
		2

1	× (an	+ i bn )e
			−i nx .
2			−i nx .
2

Введем обозначения:
	a0	= C	0	,	an − i bn	= Cn ,	an + i bn	= C−n .
2							2
				2

При этих обозначениях равенство (1.119) примет вид

(1.119)

(1.120)

f (x) = C0 + ∑∞ (Cn einx + C−n e−inx ).	(1.121)
n=1

Выразим коэффициенты Cn и C−n через интегралы. Пользуясь формулами для определения коэффициентов ряда Фурье, формулу для Cn можно выразить так:

Сn =

∫f (x)cos nx dx - i

∫ f (x)sin nx dx =

2p −π

−π

π∫f (x)× (cos nx - i sin nx)dx =

π∫f (x)× e−inx dx.

2p −π

Итак,

π∫f (x)e−inx dx .

2p −π

Аналогично C−n

π∫f (x)einx dx, C0

π∫f (x)dx.

2p −π

Выражения для Сn , C−n , C0 можно объединить в одну формулу

Сn

π∫f (x)e−inx dx,

(n = 0,±1,±2,K).

(1.122)

2π −π

Cn , C−n называются

комплексными коэффициентами Фурье для

функции

f (x). В этих обозначениях ряд Фурье (1.121) для функции f (x) примет вид

f (x)= C0 +

∞

∑ Cn einx + ∑ C−n e−inx =

∑Cn e+inx .

n=1

n =1

n =−∞

Итак, f (x)=

∑∞ Cn einx , которая называется комплексной формой ряда

Фурье.

n=−∞

f (x) периодическая с

Если

функция

периодом 2l , то комплексная

= ∑∞ Cn ×e

inπ

форма ряда Фурье имеет вид f (x)

, коэффициенты Cn этого

n=−∞

ряда выражаются формулами

× ∫l f (x)× e−

inπx

Cn =

dx .

−l

inπx

nπ

Выражение

e l

называется гармониками, числа an =

называются

волновыми числами. Совокупность волновых чисел называется спектром.

1.3.8. Интеграл Фурье

Функция f (x) определена на бесконечном интервале (− ∞; ∞)

∞∫ f (x) dx < ¥ ,

−∞

на любом конечном интервале (− l; l) разлагается ряд Фурье, тогда

f (x) =

∞

+ ∑

cos

x + b

sin

x ,

k 1

где

× ∫l

f (t)cos

kpt

dt, bk

× ∫l

f (t)sin

kpt

dt .

l −l

−l

(1.123)

(1.124)

(1.125)

Подставляя в ряд (1.124) выражения для коэффициентов a k , bk , получим

kpt

f (x) =

× ∫ f (t)dt +

∫ f (t)× cos

× cos

2l −l

l −l

f (t)× sin

kpt

kpx

(t)dt +

∫

dt × sin

∫

−l

∞

kpt

kpx

kpt

kpx

∑

∫ f (t) cos

× cos

+ sin

× sin

dt ,

l k =1

−l

применяя формулу косинуса разности двух аргументов, можно написать

∞

kp(t - x)

f (x) =

× ∫ f (t)dt +

× ∑

∫ f (t)cos

dt .

(1.126)

2l −l

l k =1

−l

Введем следующие обозначения:

a1 = π , a

2 =

2π

,K, ak =

k π

,K, Dak

= π .

Равенство

(1.126) при этих обозначениях примет вид

∞

f (x) =

∫ f (t)dt +

× ∑

∫ f (t)cos× ak

(t - x)dt

× Dak

. (1.127)

−l

k =1

−l

Дискретные значения α1 , α 2 ,K, α k ,K можно рассматривать как

значения переменной α , непрерывно меняющийся от 0 до				+ ∞ ; при этом
приращение Dak	= ak +1 - ak	= π	стремится к нулю при	l → +∞ . Тогда
		l

правая часть формулы (1.127) напоминает интегральную сумму для функции

	1	× ∞∫ f (t)× cos a (t - x)dt от переменной α в промежутке [0; ∞). Переходя к
	p
	p	−∞

пределу в (1.127) при l → +∞ , αk → 0 , вместо ряда получим интеграл, при этом первый член в правой части равенства (1.127) стремится к нулю, тогда

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx