Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
Пример. Методом исключения Гаусса решить систему уравнений
|
x1 x2 x3 x4 |
2, |
||||||
|
x1 x2 |
x3 x4 |
0, |
|||||
|
||||||||
|
|
|
x3 2x4 |
|
||||
2x1 x2 |
9, |
|||||||
3x x |
2 |
2x |
3 |
x |
4 |
7. |
||
|
1 |
|
|
|
||||
Делим первое уравнение на a11 = 1 и с его помощью исключаем x1 из 2, 3 и 4 уравнений (умножаем первое уравнение на соответствующий коэффициент при x1 и вычитаем из ниже стоящих уравнений).
|
x1 x2 x3 x4 2, |
|
|
2x2 2x3 2x4 2, |
|
|
||
|
x2 3x3 4x4 |
5, |
|
||
|
2x2 x3 2x4 |
1. |
|
||
81
81
21.01.2013
Далее делим второе уравнение на a22 = -2 и исключаем x2 из 3 и 4 уравнений
|
x1 x2 x3 x4 2, |
|
|
x2 x3 x4 1, |
|
|
||
|
2x3 3x4 6, |
|
|
||
|
x3 |
3. |
|
||
Делим третье уравнение на a33 = -2 и исключаем x3 из 4 уравнения. В результате прямого хода получим
|
x1 x2 x3 x4 2, |
|||||
|
x2 x3 |
|
x4 |
1, |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
x3 |
3 |
x4 |
3, |
||
|
|
|||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4. |
||
|
|
|
x |
4 |
||
|
|
|
|
|
||
82
82
21.01.2013
Далее выполняем обратный ход. Значение x4= 4 подставляем в третье уравнение системы и находим x3. Во второе уравнение подставляем x4, x3 и находим x2, а в первое подставляем x4, x3 , x2 и находим x1.
Решением системы будут значения:
x1 =1, x2 =2, x3 =3, x4 =4.
83
83
21.01.2013
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
84
84
21.01.2013
В отличие от систем линейных уравнений для нелинейных систем не известны прямые методы решения. Поэтому применяют итерационные методы, в частности, метод
простой итерации.
85
85
21.01.2013
В наиболее общем случае систему нелинейных уравнений можно представить в виде
f |
|
( x , |
x |
|
, |
..., |
x |
|
) 0; |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
f |
2 ( x1 , |
x2 , |
..., |
xn ) 0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
n |
( x , |
x |
2 |
, |
..., |
x |
n |
) 0, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
т.е. как n функций fi от n неизвестных
xi , i = 1, 2, …, n.
86
86
21.01.2013
Метод простой итерации для решения системы нелинейных уравнений, по существу является развитием этого же метода для одного уравнения. Он основан на допущении, что систему уравнений можно привести к виду
x1x2
xn
g1 ( x1 , x2 , ..., xn );
g2 ( x1 , x2 , ..., xn );
gn ( x1 , x2 , ..., xn ).
87
87
21.01.2013
Расчет ведут следующим образом. Задают исходные приближения xi . Подставляют их в функции gi и последовательно вычисляют новые
значения
x*1x*2
xn*
xi* по схеме
g1 ( x1 , x2 , ..., xn );
g2 ( x1* , x2 , ..., xn );
gn ( x1* , x2* , ..., xn* 1 , xn ).
88
88
21.01.2013
Значения xi* сравнивают с xi и выясняют, достаточно ли мало различие между ними.
89
89
21.01.2013
Если каждая переменная изменилась лишь на достаточно малую величину, т.е.
| x |
i |
x* |
| , |
i 1,..., n |
|
i |
|
|
то расчет прекращают.
Если же это изменение больше заданной величины погрешности ε, процесс повторяют, причем значения xi* , используют в качестве новых исходных значений неизвестных.
90
90