Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
Пример. Пусть имеется следующая таблица данных (таблица значений функции у = sin х):
|
xi, град |
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
0,17365 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
0,34202 |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
0,64279 |
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
0,76604 |
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
0,86603 |
|
|
|
|
|
|
Найдем у при х = 23° |
двумя методами. |
|||
171
171
21.01.2013
Для расчета по формуле Лагранжа используем первые четыре строки таблицы
y 0,17365 (23 20)(23 30)(23 40) (10 20)(10 30)(10 40)
0,34202 (23 10)(23 30)(23 40)
(20 10)(20 30)(20 40)
0,50000 (23 10)(23 20)(23 40)
(30 10)(30 20)(30 40)
0,64279 (23 10)(23 20)(23 30) 0,39072 (40 10)(40 20)(40 30)
172
172
21.01.2013
Теперь вычислим у методом разделенных разностей. С помощью исходных данных составим таблицу правых разностей.
x , град |
y |
y |
2y |
i |
3y |
4y |
5y |
i |
i |
i |
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0,17365 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,16837 |
|
|
|
|
|
20 |
0,34202 |
|
-0,01039 |
|
|
|
|
|
|
0,15798 |
|
|
-0,48000 |
|
|
30 |
0,50000 |
|
-0,01519 |
|
0,00045 |
|
|
|
|
0,14279 |
|
|
-0,00435 |
|
0,00018 |
40 |
0,64279 |
|
-0,01954 |
|
0,00063 |
|
|
|
|
0,12325 |
|
|
-0,00372 |
|
|
50 |
0,76604 |
|
-0,02326 |
|
|
|
|
|
|
0,09999 |
|
|
|
|
|
60 |
0,86603 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
173
173
21.01.2013
За х0 можно принять любое xi, например, х = 20°. Необходимые разности стоят на диагонали, идущей от х0 вниз. Чем больше число используемых разностей высших порядков, тем выше точность вычисления.
В данном примере h=10°. Используя только первую разность, найдем
y(23) y y0 (23 x0 ) h
0,34202 0,15798 3 0,38941 10
Введя дополнительно вторую разность, получим
y(23) 0,38941 2 y0 (23 x0 )(23 x1 ) 0,39100 2h2
174
174
21.01.2013
Наконец, с помощью третьей разности найдем
y(23) 0,39100 3 y0 (23 x0 )(23 x1 )(23 x2 ) 0,39074 6h3
Полученные обоими методами значения у очень близки к точному, равному sin 23° = 0,39073.
175
175
21.01.2013
При другом подходе табличные данные аппроксимируют достаточно простой функцией, применимой во всем диапазоне табличных данных, но не обязательно проходящей через все точки. Такой подход называют
подгонкой кривой, которую стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных точек были минимальными.
176
176
21.01.2013
Обычно стремятся свести к минимуму сумму квадратов разностей между значениями, вычисляемыми по выбранной кривой (формуле) и таблицей.
y |
y |
yi |
выбранная кривая y f ( x) |
|
2 |
|
|
y |
y2 |
yi |
yn |
1 |
yn |
||
y1 |
|
|
|
|
|
|
0 x1 x2 |
xi |
xn |
x |
177 |
177
21.01.2013
Метод наименьших квадратов
Решается задача построения аналитической зависимости или
формулы y = f (x, a0, a1, …,ak) на
основе табличной зависимости, полученной, например, в
результате лабораторного или
натурного эксперимента.
178
178
21.01.2013
Требуется так подобрать параметры функции a0, a1, …,ak,
чтобы разности yi f ( xi , a0 , a1 , , ak )
и yi были наименьшими. Так как
разности могут быть как
положительными, так и отрицательными, то за критерий
качества аппроксимации S(a0,…,ak)
принимают наименьшую сумму квадратов разностей
179
179
21.01.2013
S(a0 , a1 , , ak )
n |
2 |
|
|
|
|
f ( xi , a0 , a1 , , ak ) yi |
|
min |
i 1 |
|
|
Как известно из теории функции многих переменных, необходимым условием минимума функции S(a0,…,ak) является равенство нулю всех ее первых производных.
180
180