Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
S |
0, |
S |
0, |
, |
S |
0. |
|||
a |
0 |
a |
a |
k |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Эта система называется системой нормальных уравнений для определения параметров a0, a1, …, ak. Следует иметь в виду, что метод наименьших квадратов сам по себе не может дать ответ на вопрос о наилучшем виде аппроксимирующей функции.
181
181
21.01.2013
Вид аппроксимирующей функции часто выбирается на основе графического изображения данных эксперимента. Метод наименьших квадратов позволяет лишь выбрать, какая из простых функций (кривых) является лучшей для аппроксимации исходной табличной функции.
182
182
21.01.2013
В качестве примера рассмотрим
важный частный случай, когда аппроксимирующая функция является линейной.
y f ( x, a0 , a1 ) a0 a1 x
183
183
21.01.2013
Запишем критерий
аппроксимации для линейной функции
S(a0 , a1 )
n |
2 |
|
|
|
|
a0 a1 xi yi |
|
min |
i 1 |
|
|
184
184
21.01.2013
Условие минимума критерия
S(a0, a1) определяет систему двух линейных уравнений для нахождения параметров a0, a1.
S |
n |
|
a1 xi |
yi |
|
0; |
|||
|
|
|
|||||||
a0 |
2 a0 |
|
|
||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
n |
|
a1 xi |
yi |
|
xi |
0. |
||
|
|
|
|||||||
a1 |
2 a0 |
|
|||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
185
185
21.01.2013
Раскрывая знак суммы,
приведем систему к виду
n |
|
n |
|
|
na0 a1 xi yi |
0; |
|
||
i 1 |
|
i 1 |
|
|
n |
n |
|
n |
|
a0 xi a1 |
xi2 xi yi |
0. |
||
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
186
186
21.01.2013
Обозначим
n |
n |
A xi |
B yi |
i 1 |
i 1 |
n |
n |
C xi2 , |
D xi yi . |
i 1 |
i 1 |
187
187
21.01.2013
Получим систему двух линейных
уравнений с двумя неизвестными
na0 Aa1 B; Aa0 Ca1 D.
188
188
21.01.2013
Решая ее по правилу Крамера с использованием определителей системы, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
A |
|
|
|
|
|
BC AD |
|
|||
a |
0 |
|
|
|
|
|
D |
C |
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
A |
|
|
|
|
|
|
nC A2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
B |
|
|
|
|
|
|
nD AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
|
A |
D |
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
A |
|
|
|
|
|
nC A2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
189
189
21.01.2013
Полученные численные значения
параметров a0, a1 обеспечивают прохождение прямой y = a0 + a1x
максимально близко к
табличным точкам.
190
190