Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
|
|
начало |
|
|
|
|
||||||
|
|
ввод |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n, |
|
|
|
|
|
||
|
|
ввод |
|
|
|
|
||||||
|
|
xi , i=1,…n |
|
|
|
|||||||
x* |
g ( x , x |
, |
..., |
x |
) |
|
|
|||||
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
x* |
g |
( x* , x |
|
, |
..., |
x |
) |
|
|
|||
2 |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x* |
g |
( x* |
, x* , |
..., x* |
|
, x |
) |
|||||
n |
n |
1 |
|
|
2 |
|
n 1 |
n |
|
|||
|
|
| xi |
|
|
|
|
* |
| , |
|
да |
||
|
|
xi |
|
|
|
|||||||
|
|
i 1,..., n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нет |
|
|
|
|
|
|
x |
i |
x* , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i 1, ..., n |
|
|
|
|
||||||
xi , i=1,…, n
конец
Алгоритм метода простых итераций
91
91
21.01.2013
Если исходные значения переменных слишком сильно отличаются от истинного решения, то процесс не сойдется. Область, в которой заданные исходные значения сходятся к решению, называют областью сходимости. Если исходные значения лежат за пределами этой области, то решение получить не удастся.
92
92
21.01.2013
Условия, при которых метод итерации сходится к решению, математически задаются системой неравенств
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
1 |
|
|
|
|
g |
1 |
|
|
|
|
g |
1 |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x1 |
|
x2 |
xn |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
n |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
gn |
|
|
|
|
gn |
|
|
|
|
gn |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
93
93
21.01.2013
С увеличением числа уравнений и, следовательно, числа переменных в нелинейной системе область сходимости уменьшается и в случае больших систем сходимость обеспечивается лишь при условии, что исходные значения переменных очень близки к истинному решению.
94
94
21.01.2013
Пример. Методом итераций приближенно (ε = 0,001) найти решение системы уравнений
3x1 cos( x2 ) 0,9;sin(x1 0,6) x2 1,6.
Перепишем данную систему в виде
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos( x2 ) 0,3 ; |
|||
x1 |
||||
|
sin(x1 0,6) 1,6. |
|||
x2 |
||||
Графическим способом определим начальные значения переменных x1 и x2 .
95
95
21.01.2013
x2 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
x |
|
cos( x |
2 |
) 0,3 |
|
|
|
|
|||||
1 |
3 |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
- |
2 |
-1 |
|
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1
D
-2 |
x2 |
sin( x1 0,6 ) 1,6 |
|
Из графика видим, что система имеет одно решение, заключенное в области D: 0 < x1 < 0,3; -2,2 < x2 < -1,8.
96
96
21.01.2013
Проверка условий сходимости метода: Для системы
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
g1 ( x1 , x2 ) |
3 cos( x2 ) 0,3; |
|||
x1 |
||||
|
g2 ( x1 , x2 ) sin(x1 0,6) 1,6. |
|||
x2 |
||||
вычислим первые производные от правых частей уравнений
g1 |
0, |
g1 |
|
1 |
sin(x |
|
), |
|
|
|
|
2 |
|||||
x1 |
x2 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
g 2 |
cos( x |
0,6), |
g 2 |
0, |
|
|
|||
x1 |
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
97
97
21.01.2013
в области D имеем:
g1 |
|
|
|
g |
1 |
|
|
|
|
1 |
sin(x |
|
) |
|
|
|
|
1 |
sin( 1,8) |
|
0,3246 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
x1 |
x2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
g 2 |
|
|
|
g 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
cos( x 0,6) |
|
cos(0,3 0,6) |
0,9553 1. |
|||
|
|
||||||||||
x1 |
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, условия сходимости в области D выполняются. За начальные приближения
принимаем x(0) = 0,3 |
x(0) = -1,8. |
1 |
2 |
98
98
21.01.2013
x(k )
1 После первой итерации получим значения
x1(1) 13 cos( 1,8) 0,3 0,2243 ;
x2(1) sin(0,2243 0,6) 1,6 -1,967.
Аналогично находим дальнейшие приближения
k |
x1( k ) |
x2( k ) |
0 |
0,3 |
-1,8 |
1 |
0,2243 |
-1,9670 |
2 |
0,1714 |
-2,0156 |
3 |
0,1566 |
-2,0290 |
4 |
0,1525 |
-2,0327 |
5 |
0,1515 |
-2,0337 |
Останавливаясь на пятом приближении, будем
иметь: |
x(5) |
= 0,1515 |
x(5) |
= -2,0337. |
|
1 |
|
2 |
|
99
99
21.01.2013
Метод Ньютона отличается от метода простой итерации лучшей сходимостью. Он основан на разложении нелинейных функций в сходящийся ряд и использовании линейной части разложения для получения решения. Предположим для системы
f |
|
( x , |
x |
|
, |
..., |
x |
|
) 0; |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
f |
2 ( x1 , |
x2 , |
..., |
xn ) 0; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
n |
( x , |
x |
2 |
, |
..., |
x |
n |
) 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
100 |
|||
100