Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД
Рассмотренные методы хорд и касательных можно объединить в один комбинированный метод. Геометрически такое объединение сводится к тому, что приближение к истинному значению корня уравнения f(x) = 0 на каждой итерации происходит одновременно с двух сторон интервала [a, b]. При этом, для приближения к корню с одной стороны строится хорда, а с
другой – касательная.
51
51
21.01.2013
Пусть для определенности f ′(x) > 0 и f ′′(x) > 0 при а ≤ х ≤ b. Тогда для приближения к корню со стороны границы a используем построение хорды, а со стороны границы b – касательной.
52
52
21.01.2013
y |
|
На первой |
|
B0 |
итерации строим |
||
|
|||
|
|
хорду A0B0 и |
|
|
|
проводим |
|
|
|
касательную в |
|
|
|
|
B1 |
|
точке B0. |
|
|
|
|
|
|
Левую границу a |
a |
a1 |
a2 |
|
|
b |
переносим в |
|
|
точку a1 , правую |
||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
x |
- в точку b . |
||
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
A1 |
|
|
|
|
Аналогично |
A0 |
|
f(x) |
|
|
проводим вторую |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
итерацию. |
53
53
21.01.2013
На каждой итерации для вычисления новых границ интервала используются формулы хорд и касательных:
ai 1 |
ai |
|
|
f (ai ) |
|
bi ai , |
|
f (bi |
) f (ai |
) |
|||||
|
|
|
|
bi 1 bi f (bi ) , i 0, 1, 2, ... .
f (b )
i
54
54
21.01.2013
Сужение интервала изоляции корня проводят до тех пор, пока он не станет меньше заданной погрешности ε
│bi + 1 – ai + 1│ < ε .
За значение корня можно принять среднее арифметическое полученных границ интервала.
55
55
21.01.2013
|
начало |
|
ввод |
|
a,b, |
a a |
f (a) (b a) |
|
f (b) f (a) |
b b f (b) |
|
|
f (b) |
нет |
|
|b – a|< |
|
|
да |
x (a b) |
|
|
2 |
|
x |
|
конец |
Алгоритм комбинированного метода
56
56
21.01.2013
Достоинство: Комбинированный метод работает быстрее, чем методы хорд и касательных.
Недостатки: Функция f (x) должна быть дифференцируема, f ′(x) и f ′′(x) не должны менять знак на интервале уточнения корня. Могут возникнуть трудности с
дифференцированием f(x).
57
57
21.01.2013
МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение
f (х) = 0
заменяется равносильным уравнением
x = g (х) |
(1) |
Это уравнение можно представить в виде системы
|
у x |
(2) |
|
|
|
y g( x) |
|
|
58
58
21.01.2013
Пусть известно начальное приближение корня x = х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения (1), получим новое приближение x1 = g (х0).
Далее, подставляя каждый раз новое приближение корня в правую часть (1), получаем последовательность значений
xi+1 = g (хi), (i=0, 1, …).
59
59
21.01.2013
Итерационный процесс сходится к истинному значению корня, если с увеличением числа итераций значения xi + 1 и xi сближаются. Процесс продолжают до тех пор, пока не будет обнаружено, что
│xi + 1 – xi│ < ε ,
где ε - заданная абсолютная погрешность
60
60