Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
Обобщая эти результаты, заключаем:
1)неподвижна та граница, где знак функции f (х) совпадает со знаком второй производной f ′′(х);
2)последовательные приближения xi лежат по ту сторону корня ξ, где
функция f (х) имеет знак, противоположный знаку второй производной f ′′(х).
41
41
21.01.2013
Итерационный процесс данного метода продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что
│xi + 1 – xi│ < ε ,
где ε - заданная абсолютная погрешность
42
42
21.01.2013
Достоинство: Простой метод.
Недостаток: Быстрота
сходимости к решению сильно зависит от вида функции f(x).
43
43
21.01.2013
Пример. Уточнить корень уравнения
f (x) = x3 – 0,2 x2 – 0,2 х – 1,2 = 0,
лежащий на отрезке [1; 1,5] с точностью ε = 0,01.
Так как f ′′(x) = 6 x – 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0,
то x0 = 1 и |
x1 1 |
|
|
0,6 |
(1,5 1) |
1,15; |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
1,425 0,6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
│x1 – x0│ = 0,15 > ε , поэтому продолжаем |
||||||||||
x2 |
1,15 |
|
0,173 |
|
(1,5 |
1,15) 1,19 , |
│x2 – x1│ = 0,04; |
||||
|
|
|
|
||||||||
1,425 |
0,173 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x3 |
1,190 |
0,036 |
|
(1,5 |
1,190) 1,198 |
, │x3 – x2│ = 0,008. |
|||||
|
|
|
|||||||||
1,425 0,036 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
можно принять ξ = 1,198 с точностью ε = 0,01. |
||||||||||
44
44
21.01.2013
МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ
(МЕТОД НЬЮТОНА)
Отличие этого итерационного метода от предыдущего состоит в том, что вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой
y = f (x) и в качестве приближения к корню ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс.
45
45
21.01.2013
y
B0 
B1
|
a |
B2 |
|
|
|
o |
|
x2 |
b x0
x1 |
x |
A f(x)
Уравнение касательной, проведенной в точке x0:
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
46
46
21.01.2013
Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х0 выбирается тот конец интервала [а, b], где знак функции f (х) совпадает со знаком второй производной f ′′(х).
47
47
21.01.2013
Из уравнения касательной найдем следующее приближение корня x1 как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох
x |
x |
|
|
f ( x0 ) |
. |
|
|
||||
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
f ( x0 ) |
|
Аналогично могут быть найдены и последующие приближения. Формула для i+1 приближения имеет вид
x |
|
x |
|
|
f ( xi ) |
, i 0, 1, 2, ... . |
|
i 1 |
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
f ( xi |
) |
|
48
48
21.01.2013
Для окончания итерационного процесса может быть использовано условие │f (xi)│ < ε или условие близости двух последовательных приближений – xi│ < ε .
49
49
21.01.2013
Достоинство: Метод касательных имеет высокую скорость сходимости.
Недостатки: Функция f (x) должна быть дифференцируема, f ′(x) и f ′′(x) не должны менять знак на интервале уточнения корня. Плохо работает в тех областях,
где f ′(x) близка к нулю. Могут
возникнуть трудности с дифференцированием f(x).
50
50