Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
Находим интеграл, как сумму площадей прямоугольных трапеций.
Формула трапеций:
b |
y1 |
|
y1 y2 |
|
yn 1 yn |
|
|
f ( x)dx h |
y0 |
h |
... h |
|
|||
|
|
|
|
||||
a |
2 |
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
y |
y |
|
n 1 |
|
h |
0 |
|
n |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
f (a) f (b) |
n 1 |
|
|
||||
yi |
h |
|
||
2 |
||||
|
|
i 1 |
f ( xi ) .
121
121
21.01.2013
Погрешность вычисления в методе трапеций меньше, чем по формулам прямоугольников. Погрешность можно оценить, используя значение второй производной подинтегральной функции f (x):
(b a2)3 M2 , 12n
где M2 - максимум модуля второй производной f (x) на отрезке [a, b].
122
122
21.01.2013
Метод параболических трапеций
(метод Симпсона)
Для вычисления интеграла
площадь исходной фигуры приближенно заменяется на
сумму площадей параболических
трапеций (сверху ограничены параболами). Поскольку для
построения квадратичной
параболы требуются три точки, то трапеции строятся на двух
смежных отрезках разбиения.
123
123
21.01.2013
Число отрезков разбиения в методе |
|||||||
Симпсона равно 2n. |
|
|
|
|
|
||
h = (b - a)/(2n) , xi = a + ih , i = 0, 1, …, 2n. |
|
||||||
|
|
|
y |
y2n-2 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
y2n-1 |
|
|
y |
|
y2 |
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
y0 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
S2 |
|
|
Sn |
|
|
|
h |
h |
|
|
|
|
|
0 |
a x1 |
x2 |
xi |
x2n-2 x2n-1 |
b |
x |
|
|
x0 |
|
|
|
|
x2n |
124 |
124
21.01.2013
Последовательно вычисляем площади параболических трапеций:
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
f ( x)dx S1 |
h |
|
( y0 4 y1 y2 ); |
||
3 |
||||||
x0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
4 |
f ( x)dx S2 |
h |
|
( y2 4 y3 y4 ); |
||
3 |
|
|||||
x2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
2 n f ( x)dx Sn |
|
h |
|
( y2n 2 4 y2n 1 y2n ); |
||
|
3 |
|
||||
x2 n 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
125
125
21.01.2013
Значение интеграла на отрезке [a, b] вычислим как сумму площадей Si:
b
f ( x)dx S1 S2 ... Sn
a
или
b |
|
h |
y0 y2n 2( y2 y4 |
|
|
|
|
|
|
||||
f ( x)dx |
... y2n 2 ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
... y2n 1 ) |
h |
|
|
|
2n 2 |
|
2n 1 |
|
|
|||
4( y1 y3 |
|
y0 |
y2n 2 |
yi |
4 |
yi |
|
||||||
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 2,4,... |
|
i 1,3,... |
|
|
||
|
h |
2n 2 |
||
|
|
f (a) f (b) 2 |
|
|
3 |
||||
|
|
i 2,4,... |
||
|
2n 1 |
f ( xi ) 4 |
f |
|
i 1,3,... |
( xi ) .
126
126
21.01.2013
Погрешность вычисления в методе Симпсона меньше, чем по формулам прямоугольников и трапеций. Погрешность можно оценить, по значению четвертой производной подинтегральной функции f (x):
(b a)5 M4 , 180n4
где M4 - максимум модуля четвертой производной f (x) на отрезке [a, b].
127
127
21.01.2013
начало |
|
i=1,2n-1 |
|
|
|
|
|
ввод |
|
|
|
a, b, n |
|
x = a + i∙h |
|
|
|
|
|
h b a |
|
|
|
2n |
да |
i-четное |
нет |
|
|
|
|
s = f(a) + f(b) |
s = s + 2∙f(x) |
|
s = s + 4∙f(x) |
|
|
||
|
|
s s h |
|
|
|
3 |
|
Схема алгоритма |
|
s |
|
|
|
|
|
метода параболических |
|
|
|
трапеций (Симпсона) |
|
конец |
|
|
|
128 |
|
|
|
|
128
21.01.2013
Погрешность вычисления интеграла во всех рассмотренных методах зависит от выбранного шага или числа разбиений. Можно предложить алгоритм, позволяющий автоматически достигать желаемой погрешности. Последовательно выполняются несколько расчетов значения интеграла, начиная с небольшого начального числа разбиений, и с каждым последующим расчетом число разбиений
увеличивается, например, в два раза.
129
129
21.01.2013
Условие достижения заданной погрешности будет следующим.
|In – I2n| ≤ ε ,
где: In - значение интеграла при числе разбиений n;
I2n - значение интеграла при числе разбиений 2n;
ε - заданная (желаемая) погрешность.
130
130