Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
где все bj(x) - многочлены степени n, коэффициенты которых можно найти с помощью n+1 уравнений
Pn(xi) = yi, i = 0,1, . . . n.
В результате получим систему уравнений
y0 b0 ( x0 ) y1 b1( x0 ) ... yn bn ( x0 ) y0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
y0 b0 ( xn ) y1 b1( xn ) ... yn bn ( xn ) yn
161
161
21.01.2013
Если значения bj(xi) выбраны так,
что |
|
|
i j, |
1, |
|
bj ( xi ) |
i j. |
0, |
то выписанные выше уравнения будут удовлетворены.
Следовательно, в общем случае многочлен bj(x) имеет вид
162
162
21.01.2013
bj ( x) C j ( x x0 )(x x1 )...
( x x j 1 )(x x j 1 )...(x xn ).
Так как bj(xj) = 1, то коэффициент Cj определяется выражением
C j |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x |
j |
x )(x |
j |
x )...(x |
j |
x |
j 1 |
)(x |
j |
x |
j 1 |
)...(x |
j |
x |
n |
) |
||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В результате для интерполяционного многочлена
получаем
163
163
21.01.2013
n |
|
(x x0 )(x x1)...(x xj 1)(x xj 1)...(x xn ) |
|
||||||||||
Pn (x) y j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(x |
x )(x |
x )...(x |
|
x |
|
)(x |
x |
|
)...(x |
|
x ) |
||
j 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
j 0 |
j 1 |
j |
|
|
j |
|
j |
n |
|
|||
|
|
j 1 |
|
j 1 |
|
|
|||||||
Введя обозначения
Lj (x) (x x0 )(x x1)...(x xj 1)(x xj 1)...(x xn )
можем записать полученный
многочлен в более компактном виде
n |
Lj ( x) |
|
|
Pn ( x) y j |
|
. |
|
Lj ( x j ) |
|||
j 0 |
|
164
164
21.01.2013
Метод разделенных разностей
Среди разностных методов интерполяции наиболее распространен метод Ньютона для интерполирования вперед. Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид
Pn ( x) c0 c1 ( x x0 ) c2 ( x x0 ) ( x x1 ) ...
... cn ( x x0 ) ( x x1 )...(x xn 1 )
165
165
21.01.2013
Коэффициенты cj находятся из уравнений
Pn(xi) = yi, i = 0,1, . . . n.
позволяющих записать систему
с0 y0
с0 с1 ( x1 x0 ) y1
с0 с1 ( x2 x0 ) c2 ( x2 x0 ) ( x2 x1 ) y2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
с0 ... сn ( xn x0 ) ( xn x1 )...(xn xn 1 ) yn
166
166
21.01.2013
Из этой системы уравнений определяем cj, используя правые
конечные разности. Если значения
х заданы через равные
промежутки |
xi 1 xi h, |
то система |
||||||
примет вид |
|
|
||||||
y0 |
c0 |
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
с0 |
c1h |
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
c c (2h) c |
(2h2 ) |
|
|
|||
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
||||||||
y |
i |
c |
c ih c |
(ih) (i 1)h ... c |
(i!)hi |
|||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
i |
|
|
167
167
21.01.2013
откуда для коэффициентов получаем
с0 |
y0 |
|
|
|
|
|
c |
y1 |
c0 |
|
y1 y0 |
y0 |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
h |
|
h |
h |
|
|
|
|
|||
Здесь |
y0 |
называется первой |
||||
правой разностью. Продолжая вычисления находим
168
168
21.01.2013
c |
|
|
1 |
|
( y |
|
c 2hc ) |
|||
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
2h2 |
|
|
0 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
( y |
|
y ) ( y y ) |
||||||
|
|
2 |
||||||||
2h2 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
( y0 ) |
2 y |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h2 |
|
|
|
|
|
|
2h2 |
|
||
где 2y0 - вторая правая разность, представляющая собой разность
разностей. Коэффициент cj можно
представить в виде
169
169
21.01.2013
c j |
j y |
|
0 |
||
|
||
|
( j!)h j |
В общем случае разности более высоких порядков определяются
выражением
j y |
j1 y |
j1 y , |
i 0,1, ...,n j |
i |
i 1 |
i |
|
170
170