Информатика_Методы
.pdf
НАЧАЛО
ВВОД
n, ε
S1 = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 = S |
|
|
S = |
|
|
||
n = 2∙n |
|
|
integral(n) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да
|S1 - S|>ε
нет
S, n
Aлгоритм вычисления
КОНЕЦ
интеграла с желаемой погрешностью ε
21.01.2013
Обращение к алгоритму вычисления интеграла по приближенной формуле , например, Симпсона
131
131
21.01.2013
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Проблема вычисления кратных интегралов заключается в более сложной области интегрирования. В частности, для двойного интеграла эта область геометрически представляет собой произвольную плоскую фигуру, а значение интеграла - есть объем трехмерной фигуры.
132
132
21.01.2013
z f (x, y)
Геометрический смысл двойного интеграла
I f ( x, y)dxdy |
|
V = I |
|
D |
|
||
|
|
|
|
D – область |
|
|
|
интегрирования. |
O |
||
|
|||
y |
|
D |
x |
|
|
||
|
|
|
|
133
133
21.01.2013
Метод (формула) ячеек
Данный метод применяется для вычисления двойного интеграла, когда область интегрирования D представляет собой прямоугольник:
I f ( x, y)dxdy, |
a x b |
D : |
|
D |
c y d |
134
134
z
Геометрически задача сводится к вычислению объема
криволинейного
параллелепипеда
O
c
d
y
21.01.2013
f (x, y)
V = I
a b
x
D
135
135
21.01.2013
Идея вычисления состоит в следующем. Поскольку в геометрии нет готовой формулы для вычисления объема произвольного криволинейного параллелепипеда, то эту фигуру нужно приближенно заменить на прямоугольный параллелепипед, объем которого легко вычисляется. Для снижения погрешности исходную фигуру сначала разбивают на множество более мелких, вычисляют каждый элементарный объем и складывают.
136
136
21.01.2013
Область интегрирования D разбивают на ячейки. Соответственно, исходный объем разбивается на n×m элементарных объемов.
y |
|
|
|
|
h |
|
b a |
d=ym |
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
||
yj |
|
|
|
|
h |
y |
d c |
|
|
|
|
|
m |
||
h |
Sяч |
|
D |
|
|
||
yj-1 |
|
S яч hx hy |
|||||
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c=y0 |
|
|
|
|
xi |
a i hx |
|
|
hx |
|
|
y j c j hy |
|||
|
|
|
|
||||
O |
a=x0 |
xi-1 |
xi |
b=xn |
x |
|
|
137
137
21.01.2013
Для вычисления каждого элементарного объема площадь ячейки Sяч умножают на значение подинтегральной функции в центре каждой ячейки f ( xi , y j ) .
y
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
xi |
xi 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
yj |
|
|
|
|
|
y j |
|
|
y j |
y j 1 |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
yj-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i 1, , n; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1, , m. |
|
||||||
|
|
|
|
xi-1 xi |
xi |
|
|||||||||
|
|
O |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138 |
138
21.01.2013
Суммируя элементарные объемы получают приближенное значение двойного интеграла.
Формула ячеек
f ( x, y)dxdy V
D
S яч f ( x1 , y1 ) S яч f ( xn , ym )
nm
hx hy f ( xi , y j )
i1 j 1
139
139
21.01.2013
начало |
|
|
|
|||
|
|
|
|
i=1, n, 1 |
||
|
|
ввод |
|
|
|
|
a, b, c, d, |
|
|
|
|||
|
|
n, m |
|
|
|
|
|
|
|
xi = a + i∙hx |
|||
h |
|
b a |
|
|
|
|
x |
n |
|
|
xi 1 xi |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
xi |
|||
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
||
h |
y |
d c |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
j=1, m, 1 |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
V = 0 |
|
|
V = V hxhy |
|
|
|
x0 = a |
yj = c + j∙hy |
|||
|
|
y0 = c |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y j |
|
y j 1 y j |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
||
Схема алгоритма |
|
|
конец |
|||
V V f ( xi , y j ) |
||||||
метода ячеек |
||||||
|
|
|
|
|
140 |
|
140