Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
Формула ячеек легко переносится на большее число измерений для вычисления интегралов любой кратности. Например, для тройного интеграла получим
|
n |
m |
l |
f ( x, y, z)dxdydz hx hy hz f ( xi , y j , zk ) |
|||
D |
i 1 |
j 1 |
k 1 |
D
xi
a x b
: с y d ,
e z g
xi xi 1 , 2
h |
b a |
, h |
|
|
d c |
, h |
g e |
, |
||||||||
|
y |
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
n |
|
m |
|
|
z |
|
l |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
y j y j 1 |
, z |
|
|
zk zk 1 |
. |
|
|||||||
j |
|
k |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
141
141
21.01.2013
Метод последовательного
интегрирования
В отличие от метода ячеек метод последовательного
интегрирования применяется
когда область интегрирования D имеет сложную форму. Идея
вычисления заимствована из
классической математики.
142
142
21.01.2013
Пусть для двойного интеграла область интегрирования D ограничена непрерывными
кривыми y = φ(x), y = ψ(x), φ(x)≤ψ(x)
и двумя прямыми x = a , x = b:
I f ( x, y)dxdy
D
a x b
D : ( x) y ( x)
143
143
21.01.2013
y
y=ψ(x)
D
y=φ(x)
O a |
b x |
144
144
21.01.2013
В математике известно правило вычисления двойного интеграла:
|
b |
( x ) |
|
I |
f ( x, y)dxdy dx |
f ( x, y)dy. |
|
D |
a |
|
( x ) |
Обозначим ( x )
F ( x) f ( x, y)dy.
Тогда |
( x ) |
|
b |
|
|
|
|
|
|
I F ( x)dx. |
|
|
a |
145 |
|
|
145
21.01.2013
Внутренний и внешний интегралы
являются однократными и для их
вычисления можно применить соответствующие приближенные формулы (прямоугольников, трапеций или Симпсона).
146
146
21.01.2013
Проведем разбиение области интегрирования D по оси Ox с шагом hx. Каждая хорда (например, cd) есть проекция сечения искомого объема.
y |
|
d=ym |
|
|
|
ψ(x) |
|
|
|
|
yj |
|
hx |
hy |
|
|
φ(x)
c=y0
O a=x0 |
xi |
|
n |
b a |
|
|
|||
|
|
hx |
|||||
|
|
|
|
||||
D |
m |
d c |
|
||||
hy |
|||||||
|
|
|
|
||||
|
xi |
a i hx |
|||||
|
y j |
c j hy |
|||||
x
b=xn
147
147
21.01.2013
Для приближенного вычисления
внешнего интеграла применим
формулу трапеций
|
|
b |
|
|
I f ( x, y)dxdy F ( x)dx |
||||
D |
|
a |
|
|
|
F (a) F (b) |
n 1 |
||
hx |
F ( xi ) , (1) |
|||
2 |
||||
|
i 1 |
|
||
148
148
21.01.2013
где F(xi) есть площади сечений
исходной фигуры. Эти площади (значения внутреннего интеграла в
точках xi) приближенно вычислим
также используя формулу прямоугольных трапеций. Для
этого каждое сечение (в проекции
- хорду) разбиваем вдоль оси Oy с шагом hy.
149
149
21.01.2013
|
|
|
d ( xi ) |
|
|
|
|
|
|
F ( xi ) |
|
f ( xi y)dy |
|
|
|
||||
|
|
|
c ( xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
f ( x |
, c) |
f ( x |
, d ) |
m 1 |
|
|
||
hy |
f ( xi |
|
|||||||
|
|
i |
|
i |
|
, y j |
) , |
||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
||
i 0,1, , n. |
|
|
|
(2) |
|||||
150
150