книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

Аналитический расчет положения кардинальных точек электрон­ ных линз в общем случае оказывается затруднительным, и часто приходится использовать приближенные методы либо находить по­ ложение главных фокусов и главных плоскостей графическим по­ строением траекторий электронов. Однако задача значительно упрощается, если электронную линзу считать тонкой. В световой оптике линзу называют тонкой в том случае, когда толщина линзы мала по сравнению с ее фокусным расстоянием. Аналогично в элек­ тронной оптике к тонким следует относить такие электронные лин­ зы, толщина которых, т. е. протяженность поля вдоль оси, мала по

сравнению с фокусным расстоянием. Конечно, разделение электронных линз на толстые и тон­ кие несколько условно, так как поле в силу не­ прерывности потенциаль­ ной функции в простран-' стве, свободном от заря­ дов, убывает постепенно и даже на значительном

расстоянии от средней плоскости линзы не равно нулю. Условились считать собственно линзой только ту область поля, которая суще­ ственно влияет на траектории электронов. Пользуясь этим крите­ рием, можно значительное число практически используемых элек­ тронных линз отнести к тонким. Характерной особенностью тонкой линзы является очень малые расстояния между обеими главными плоскостями и между каждой главной плоскостью и средней пло­ скостью линзы. Поэтому при рассмотрении тонких линз вполне допустимо считать обе главные плоскости совпадающими со сред­ ней плоскостью линзы и отсчитывать фокусные расстояния, а так­ же расстояния до объекта и изображения от средней плоскости линзы.

В случае тонкой линзы можно не рассматривать ход электрон­ ных лучей внутри самой линзы, а считать, что Направление траек­ тории электрона внезапно изменяется при прохождении области линзы. Точно так же приближенно можно считать, что расстояние

где r0 — постоянное удаление траектории электрона от оси в обла­ сти линзы.

Предположим теперь, что электронные лучи падают на линзу со стороны объекта параллельным оси пучком (ze-»-oo). В этом случае точка пересечения с осью сходящегося пучка траекторий справа от линзы будет главным фокусом пространства изображе­ ний, а расстояние от средней плоскости до фокуса — фокусным рас­ стоянием fi. Из рис. 1.40 видно, что

Таким образом, для фокусного расстояния тонкой электроста­ тической линзы получается выражение

делы интегрирования перенесены в бесконечность, поскольку вели­

Полученные выражения являются исходными при расчете опти­ ческих параметров тонких электростатических линз. Следует отме­

(расстояния от объекта и изображения до средней плоскости), по­ лучим уравнение Ньютона (1.142).

При использовании уравнений (1.156) и (1.157) необходимо вычислять значения второй производной осевого потенциала Uo"(z), что иногда вызывает затруднения. Поэтому выражения для оптической силы (1//) тонкой линзы можно преобразовать, восполь­ зовавшись известным приемом интегрирования по частям. Поло­ жим MUo{z)=u и Uo"(z)dz=dv и произведем интегрирование (1.156) по частям:

Поскольку вдали от линзы потенциалы постоянны, входящая в первое слагаемое производная IV (г) вне линзы равна нулю и

± = _ 4 ? J ^ ) L d2.

(1.159)

h 8|iUb^ [U0(z)\^

Используя подстановку

r{Z) = \ [U0(z)]'l<

можно получить выражение, удобное для расчета фокусного рас­ стояния тонкой электростатической линзы.

Такая подстановка приводит основное уравнение (1.81) к виду

Полагая по-прежнему R неизменным внутри линзы и равным Ro, проинтегрируем уравнение (1.160):

—QO ^ '

При 2„—>-оо (параллельный пучок со стороны объекта) уравне­ ние (1.161) позволяет определить фокусное расстояние в простран­ стве изображений:

\_ _3

(1.162)

h 16

Аналогично определяется фокусное расстояние в пространстве объектов.

Уравнения (1.159) и (1.162) показывают, что электростатиче­ ские электронные линзы, к которым с обеих сторон примыкают области постоянного потенциала, всегда являются собирающими. В самом деле, значения потенциала в этих уравнениях не могут быть отрицательными, так как при С/0< 0 линза превращается в зеркало (см. стр. 87), а единственная величина, которая может быть отри­ цательной (LV)> входит в квадрате. Таким образом, 1//> 0 , опти­ ческая сила положительна, линза собирающая. Иными словами, невозможно создать рассеивающую электронную линзу, по обе сто­ роны которой лежат области постоянного потенциала. Если же объект или изображение или оба они находятся в поле линзы {иа'ф 0 или Оь'ф0), то линза может быть рассеивающей и выра­ жения (1.159) и (1.162) оказываются недействительными.

Рассмотрим конкретные типы электростатических электронных линз. В соответствии с характером распределения потенциала вдоль

оси системы различают три типа электростатических линз: 1) лин­ зу-диафрагму; 2) иммерсионную линзу; 3) одиночную линзу.

С обеих сторон к диску примыкают области постоянной, но раз­

отверстия диафрагмы меняется

незначительно, можно в первом приближении вынести VU Q в вы­ ражении (1.156) из-под знака интеграла. В этом случае для опти­ ческой силы линзы-диафрагмы получаем приближенную расчет­ ную формулу:

где U\ и U2 — градиенты потенциала слева и справа от диа­ фрагмы.

Учитывая, что U'=dU/dz=— Ez, формулу (1.163) удобно пере­ писать в виде

где Е1 и Е2— напряженности электрического поля по обе стороны диафрагмы.

В зависимости от соотношения абсолютных величин напряжен­ ностей поля линза-диафрагма может быть собирающей (положи­ тельной) или рассеивающей (отрицательной). При этом, когда электрон переходит из области с меньшей напряженностью в об­ ласть с большей напряженностью поля, линза будет собирающей. Направление силы, действующей на электрон в области, линзы, определяется знаком второй производной U0"(z) (см. § 1.6). На рис. 1.41 показаны графики U0(z), U0'(z) и U0"(z) для случая

U 2' > U i ' .

Как видно из рисунка при |£2|>|£I |, Uo"> 0 — линза собираю­ щая; при |£I |>|£2|, UO" < 0 — линза рассеивающая.

Распределение потенциала вдоль оси линзы-диафрагмы доста­ точно точно описывается выражением

Случай Е\ — Е2 не представляет интереса, так как при этом оп­ тическая сила линзы обращается в нуль — линзы не будет, а будет просто область однородного электрического поля, не обладающего свойствами линзы. Поскольку с обеих сторон к диафрагме примы­ кают поля с отличной от нуля напряженностью, положения фоку­ сов, рассчитанные по формуле (1.164), не будут соответствовать точкам пересечения с осью траекторий электронов, падающих на линзу параллельно оси. Это объясняется тем, что в однородном поле электроны, пересекающие эквипотенциальные поверхности под некоторым углом, будут испытывать отклоняющую силу, вследст­ вие чего траектории вне линзы будут не прямыми, а отрезками парабол (см. § 1.2). Только при равенстве нулю напряженности поля по одну сторону линзы положение фокуса, определенное по формуле (1.164), совпадает с точкой пересечения траекторий элек­ тронного пучка, параллельного оси по другую сторону линзы. В общем же случае положения фокусов, рассчитанные по формуле (1.164), совпадают с точками пересечения оси касательными к траекториям электронов на выходе из области линзы.

Линза-диафрагма имеет ограниченное применение как самосто­ ятельное фокусирующее устройство, но сравнительно часто исполь­ зуется как составной элемент более сложных электронно-оптиче­ ских систем.

И м м е р с и о н н а я л и н з а образуется обычно двумя соосны­ ми диафрагмами, диафрагмой и цилиндром или двумя соосными цилиндрами с различными потенциалами (рис. 1.42), причем по обе стороны линзы потенциалы постоянны и равны потенциалам электродов, образующих линзу {U\ф У 2\ U\ и U2 = const).

Графики изменения потенциалов, а также их первых и вторых производных показаны на рис. 1.43.

При прохождении иммерсионной линзы скорость электронов из­ меняется: при U2>Ui линза будет ускоряющей, при j> t/2 — тормозящей.

Поскольку в рассматриваемой линзе поле довольно глубоко проникает внутрь цилиндров, считать линзу тонкой не всегда воз­ можно. Поэтому целесообразно отсчитывать фокусные расстояния не от средней плоскости линзы, а от главных плоскостей, положе­ ние которых можно рассчитать таким образом:

Выражения (1.169) показывают, что в иммерсионной линзе глав­ ные плоскости перекрещены и лежат по одну сторону от средней плоскости линзы.

Иммерсионную линзу, образованную двумя диафрагмами с от­ верстием радиуса R, расположенными на расстоянии d и имеющи­ ми потенциалы U\ и U2 (рис. 1.44), в первом приближении можно рассматривать как комбинацию двух линз-диафрагм.

В этом случае распределение потенциала в пространстве между диафрагмами можно считать линейным:

Тогда углы наклона траекторий к оси будут равны на входе в пер­ вую переходную область (вблизи первой диафрагмы) гц', на вы­ ходе из первой.переходной области г]2' и на входе и выходе из вто­ рой переходной области (вблизи второй диафрагмы) г2/ и г22- Поскольку в переходных областях Uo(z) считается постоянным, основное уравнение (1.82) для этих областей принимает вид

к выражению для удаления траектории электрона от оси по выхо­ де из линзы:

Фокусное расстояние для пространства изображений теперь можно считать равным /2= /"2/tgY2=^2/^22'» а для пространства объектов fi= — ri/tgyi=ri/rii'.

Определяя Гг, Ггг'из (1.180) и (1.174), с учетом (1.181) получим окончательно выражение для оптической силы иммерсионной лин­ зы, образованной двумя диафрагмами:

Полученные простые выражения оптических параметров иммер­ сионной линзы дают удовлетворительную для практических целей точность в тех случаях, когда между диафрагмами имеется хотя бы небольшая область однородного поля. Это условие выполняется тем лучше, чем больше расстояние между диафрагмами. Практи­ чески формулами (1.182), (1.183) можно пользоваться при d^2R.

Для слабой иммерсионной линзы формулы (1.182) можно еще упростить. Поскольку оптическая сила иммерсионной линзы зави­ сит в основном от отношения потенциалов электродов U2IU1, оче­ видно, для слабой линзы это отношение близко к единице, или ( U2 — U\)/U1*^1. В этом случае правую часть уравнений (1.182) можно разложить в ряд по степеням отношения (t/г — U\)IU\ и пренебречь членами, содержащими это отношение в степенях выше