Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

..pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
20.11.2023
Размер:
25.05 Mб
Скачать

та будет устойчивой, т. е. при небольших отклонениях электрона от траектории, описываемой уравнением (2.114), будет возникать сила, возвращающая электрон обратно на равновесную орбиту. Если электрон сместился в радиальном направлении от равновес­ ной орбиты на небольшую величину Дг, то, очевидно, возникнет радиальная сила, действующая на электрон, равная

йгг

т — ——mrco2 — еЕг, (2.115) at2

где со и Ег— круговая частота и радиальная составляющая напря­ женности поля на неравновесной орбите г=г0+Аг.

Для малых значений Дг можем приближенно положить

Ег ж Ет0— =

Его

-

«

Его ( 1 — — )

(2.116)

Используя известный из механики закон сохранения углового

момента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mr2(o =

mrl wo,

 

 

(2.117)

представим со

как г02(оо/(г0+Д г)2. Подставим полученное выраже­

ние со, Ег из

(2.116)

и г= г0 + Аг в (2.115). Поскольку

Дг — малая

величина, членами второго порядка

относительно

Дг

можно пре­

небречь.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда уравнение (2.115) преобразуется к виду

 

 

d!2

о

2

 

&

в

Дг

(2.118)

(Дг) =

г0(о0 — 3©о Д г --------Его ------- Его— .

at2

 

 

 

m

m

r0

 

Если теперь выразить Ег0 из

(2.114)

и подставить в (2.118), то

последнее уравнение будет упрощено:

 

 

 

 

 

 

d2

 

2

 

0.

 

(2.119)

 

 

^ ( Д г ) +

2(ооДг =

 

Решение этого уравнения с граничными условиями t= t0 Дг=0

имеет вид

 

 

A sin['|/2'(Oo(/ — /0)].

 

 

 

 

Дг =

 

(2.120)

Следовательно, электрон, сместившийся с равновесной орбиты, будет совершать колебания_около этой круговой траектории, пере­ секая ее через каждые я /] /2 радиан — 127°

Устойчивость движения электронов в цилиндрическом конден­ саторе вытекает также из следующих рассуждений. Поскольку в цилиндрическом конденсаторе распределение потенциала описыва­ ется логарифмическим законом,

e(Ul - U 2) 1_

£1

Го

Го

Последний член уравнения (2.114) можно представить в виде

2

 

tnR*

Сг

 

тсоо

г0

— —

г3’

(2.122]j

 

 

г3»

о

 

где А|, = r0v$ — .момент вращения.

С учетом (2.121) и (2.122) уравнение (2.114) можно записать таким образом:

£i ___ £2

(2.123)

го ~ г3о *

При смещении электрона от равновесной орбиты в сторону оси равенство (2.123) нарушается, причем правая его часть становит­ ся больше левой. Это означает, что электрическая (фокусирую­ щая) сила оказывается недостаточной для того, чтобы удержать

Рис. 2.32. Пучок, сформированный системой цент­ робежно-электростатической фокусировки

электрон на орбите с радиусом г<г0, т. е. электрон будет смещать­ ся от оси в сторону равновесной орбиты. Наоборот, при смещении электрона с равновесной орбиты в сторону от оси (г>г0) левая часть равенства (2.123) становится больше правой, т. е. возникает избыточная электрическая сила, направленная в сторону оси, за счет которой электрон будет смещаться опять к равновесной ор­ бите.

Таким образом, в поле цилиндрического конденсатора может существовать устойчивый электронный поток в виде соосного с электродами цилиндра. Если электроны, вводимые в поле цилинд­ рического конденсатора, кроме азимутальной скорости Оф, имеют отличную от нуля осевую скорость ог, то, очевидно, составляющая и, останется неизменной, поскольку между обкладками конденса­ тора Ег—0, и траектории электронов будут иметь вид спиралей, накручивающихся на цилиндр с радиусом г0, а сам пучок будет иметь вид тонкостенной трубы (рис. 2.32).

При рассмотрении центробежной фокусировки мы не учитывали действие пространственного заряда. При не очень малых первеан-

сах наличие пространственного заряда приводит к изменению рас­ пределения потенциала между электродами цилиндрического кон­ денсатора. До некоторых значений первеанса действие пространст­ венного заряда удается скомпенсировать увеличением |радиальной составляющей напряженности электрического поля. При увеличе­ нии первеанса жесткость центробежно-электростатической фоку­ сировки оказывается недостаточной, пучок становится неустойчи­ вым, токопрохождение нарушается. Анализ устойчивости центро­ бежно-сфокусированного трубчатого пучка показывает, что максимальное значение первеанса, при котором возможно сущест­ вование стабильного электронного потока в поле цилиндрического конденсатора,

Рт^ = ^ Гг=33-10~ва ~ ,

(2.124)

г

г

 

где — ускоряющее напряжение, определяющее осевую скорость электронов; AU=UI— U2\

1

(га и гь — радиусы внутренней и внешней границ пучка). Приведенные примеры фокусировки интенсивных электронных

пучков показывают, что при помощи электростатических полей можно сформировать электронные потоки практически любых кон­ фигураций. Однако для каждой конфигурации пучка существует предельное значение коэффициента пространственного заряда Ртах, превышение которого приводит к нарушению стабильности электронного потока.

§ 2.5. МАГНИТНАЯ ФОКУСИРОВКА ИНТЕНСИВНЫХ ПУЧКОВ

Как было указано, расталкивающее действие пространственного заряда интенсивного электронного пучка может быть скомпенсиро­ вано действием внешнего магнитного поля. Очевидно, если на гра­ нице пучка магнитная сила Лоренца равна по величине и противо­ положна по направлению электрической силе кулоновского рас­ талкивания, то пучок будет сохранять заданную форму. Иными словами, внешнее магнитное поле может быть использовано для поддержания стабильного электронного потока в пространстве, ограниченном поверхностью, в любой точке которой выполняется указанное граничное условие.

Сила Лоренца пропорциональна скорости электрона [см. (1.6)]. Поэтому при использовании магнитной фокусировки электроны

пучка до входа в магнитное поле должны иметь необходимую ско­ рость, т. е. должны быть предварительно ускорены электрическим полем. Можно сказать, что магнитное поле во многих практичес­ ких случаях используется для ограничения расширения пучка, предварительно сформированного электростатической системой. Ввиду этой особенности формирования пучков магнитными поля­ ми часто наряду с общим термином «магнитная фокусировка» пользуются более конкретным понятием — «ограничение» пучка магнитным полем.

Из (1.6) следует также, что в системах магнитной фокусировки электроны пучка должны иметь составляющие скорости, перпен­ дикулярные к направлению магнитной индукции, так как при v||B фокусирующая сила равна нулю. Магнитные поля могут слу­ жить для формирования (ограничения) электронных потоков прак­ тически любых конфигураций.

Рассмотрим осесимметричный электронный пучок. Как было показано в § 2.1, наличие пространственного заряда приводит к появлению силы, действующей на электроны в радиальном (от оси) направлении [ем. (2.8)]. Для компенсации этой расфокусирующей силы необходима радиальная, направленная к оси, магнитная фо­ кусирующая сила. В случае использования для фокусировки (огра­ ничения) пучка продольного магнитного поля радиальная фокуси­ рующая сила будет лишь при наличии у электронов пучка азиму­

тальной скорости

1^ =гф [это

непосредственно следует

из опреде­

ления силы Лоренца, см. (1.6)].

было

показано

в

Азимутальное

движение

электронов, как

§ 1.6, описывается третьим уравнением системы

(1.92):

 

 

 

 

 

 

(2.125)

Проинтегрируем это уравнение с учетом

начальных условий:

при t= t0 r= rQф = фо, А$= А^:

 

 

 

 

 

т

 

(2.126)

 

 

 

 

 

Для осесимметричного магнитного поля А =А <«, (Л2= Л г= 0)

и

векторный потенциал может быть выражен через магнитный поток lF, пронизывающий часть плоскости, перпендикулярной к оси сим­ метрии (0Z), ограниченной окружностью радиуса г:

(2.127)

2яг

г

о

(2.129)

Это соотношение, называемое те о р е м ой Бу ша, показыва­ ет, что угловой момент, приобретаемый электроном при смещении с орбиты радиуса г0 на круговую траекторию радиуса г, пропор­ ционален разности магнитных потоков через соответствующие по­ перечные сечения, ограниченные окружностями радиусов г0 и г. Теорема Буша широко используется при расчетах магнитных сис­ тем, формирующих осесимметричные электронные пучки.

В некоторых случаях выражение (2.129) может быть упрощено. Так, например, если рассматривать траекторию электрона, выхо­ дящую с края круглого катода (г0= гк— радиус катода), прони­ зываемого потоком магнитной индукции Ч-,,. то при пренебрежении

начальными скоростями электронов (фк= 0 ) теорема Буша прини­ мает вид

е

Г2!]) = 2пт ( Ч - Ч „ ) .

(2.130)

Для параксиальной

области

можно приближенно положить

В(г, г) « В(2, 0) = Во(

2). Тогда

 

 

Чг„ = ягк5„,

Ч = яг2В0(г)‘,

(2.131)

где Вк— величина магнитной индукции на оси в плоскости катода. Подставив выражение магнитных потоков из (2.131) в (2.130),

получим теорему Буша для параксиальной области:

(2.132)

Если весь электронный поток, выходящий с катода, и сам катод находятся в однородном продольном магнитном поле

B0(z) =B K= const, то

Ч’ = 2^

в " [ 1- ( т

)1

(2' Ш )

т. е. азимутальная скорость

электронов

определяется

величиной

магнитной индукции и отношением rjr. Для траекторий электро­ нов, удаленных от оси на расстояние, равное радиусу катода

(г = гк) , азимутальная скорость

обращается в нуль, траектории на

цилиндрической поверхности с

радиусом гк не

«закручиваются».

Если же в

плоскости катода магнитная индукция равна

нулю

(£ к = 0), т. е.

катод полностью экранирован от магнитного

поля

или является

точечным источником электронов

(гк= 0), то

все

электроны потока будут иметь одинаковую азимутальную ско­

рость, однозначно определяемую величиной магнитной индукции [ср. с (1.94)]:

Ф = 2 ^ 5o(Z)-

(2133а)

Составим уравнение движения в радиальном направлении крайнего электрона осесимметричного пучка в параксиальной об­ ласти. Предположим, что электронный поток распространяется в эквипотенциальном пространстве. Действие пространственного за­ ряда, как было показано в § 2.1, приводит к появлению радиально направленной расфокусирующей силы — силы кулоновского рас­ талкивания [см. (2.8)]:

el

Fn =

2яео

U а Г

Эта сила должна быть добавлена в правую часть второго урав­ нения системы (1.91), описывающего радиальное движение элек­ трона в параксиальной области осесимметричного магнитного по­ ля. Таким образом, уравнение движения электрона в радиальном направлении с учетом действий пространственного заряда при­ нимает вид

т(г — гф2) — — еЩВ0 (z) -f-

el

(2.134)

Л 2е 2зтео у Uo г

’ т

Подставив в это уравнение ф из (2.132), после несложных пре­ образований получим

е2

2

 

тг -\------- В

о [

(2.135)

4 т

Контур пучка определяется траекторией крайнего электрона. Уравнение траектории можно получить при переходе в (2.135) от дифференцирования по t к дифференцированию по z; при этом сле­ дует пользоваться соотношением (ем. § 1.6)

d2r е d2r dt2 т 0 dz2

Таким образом, уравнение (2.135) преобразуется к виду

d2r 4 z2

 

= 0.

(2.136)

-\l2e_ W>r

 

4яео

т

 

Уравнение (2.136) является

уравнением траектории

крайнего

электрона интенсивного осесимметричного пучка в параксиальной области осесимметричного магнитного поля в проекции на меридио­ нальную плоскость, поворачивающуюся вокруг оси с азимуталь­ ной скоростью, определяемой теоремой Буша (2.132).

В общем случае решение уравнения (2.136) представляет зна­ чительные трудности. Если предположить, что в области распро­ странения электронного потока магнитное поле однородно, то, не решая уравнения, можно сделать важный вывод о возможности существования равновесного радиуса пучка, при котором суммар­ ная радиальная сила на границе пучка будет равна нулю. В самом деле, при определенных величинах магнитной индукции и первеанса пучка можно найти такое значение г = г0, при котором второй и третий члены уравнения (2.136) станут равными по абсолютной величине. Очевидно, в этом случае d2r/dz2 = 0 и, следовательно, d2r/dt2 = 0, т. е. на границе пучка электроны не испытывают ради­ альное ускорение. Таким образом, в продольном однородном маг­ нитном поле возможно существование стабильного интенсивного осесимметричного пучка с постоянным радиусом г0, т. е. пучка ци­ линдрической формы. Из (2.136) также следует, что величина маг­ нитной индукции, обеспечивающей существование стабильного пучка, будет минимальной в случае Вк = 0, т. е. при полностью эк­

ранированном от магнитного поля катоде.

представляет особый

ин­

Последний случай

(£ к = 0, B0=const)

терес и называется

б р и л л ю э н о в с к о й

ф о к у с и р о в к о й ,

а

стабильный

пучок

в

однородном

продольном

магнитном поле —

п о т о к о м

Б р и л л ю э н а . Рассмотрим

этот

случай

более под­

робно.

 

 

описывается

уравнением

(2.136)

при Вк 0,

Поток Бриллюэна

5o = const:

 

е

_ 22

/

 

 

 

 

 

 

= 0 ,

 

(2.137)

 

 

В0 г0----------------------

 

тт /

яео V Uо

' т

где го — равновесный радиус пучка.

Кроме того, согласно (1.94) азимутальная скорость электронов не зависит от г, т. е. весь поток вращается вокруг оси как единое целое с азимутальной скоростью, определяемой уравнением (1.94).

В уравнении (2.136) величина U0, определяющая продольную скорость электронов, отождествляется с постоянным потенциалом пространства, в котором распространяется электронный поток. Такая замена возможна лишь при малых первеансах, поскольку, как было показано в § 2.1 [см. (2.57)], в интенсивном пучке дейст­ вие пространственного заряда приводит к снижению потенциала в пучке, т. е. имеет место радиальное распределение потен­ циала. Изменение потенциала по радиусу пучка можно рассчи­

тать, представив последний член уравнения (2.136) «ак — — - £ г =

2UQ

1

dV

[см. (2.7)]. Тогда

при

Вк= 0, B0=const

уравнение

2ТГ0 '

dr

 

 

 

 

 

принимает вид

dU

е

г

 

 

 

 

 

(2.138)

 

 

dr

= - — В0 г.

 

 

Am

 

 

Интегрирование этого уравнения

с граничным

условием

и\т=0= и 0 (потенциал на оси)

приводит к следующему выражению

для радиального распределения потенциала:

 

 

 

U(г) =

Ua +

г—

Вог2.

(2.139)

Таким образом, потенциал имеет на оси минимум (U=U0) и возрастает при удалении от оси по квадратичному закону. Пока­ жем теперь, что в бриллюэновском потоке продольная составляю­ щая скорости всех электронов одинакова и определяется величи­ ной потенциала на оси. Для любого электрона пучка согласно за­ кону сохранения энергии полная скорость однозначно определяется потенциалом точки пространства, в которой находится электрон:

 

 

 

^полн

У

U.

(2.140)

Подставив (в (2.1140) -ф из (1.94) и \U из (2.139), получим про­ дольную составляющую скорости

V z

У пг

(2.141)

Физически этот результат показывает, что часть энергии про­ дольного движения электронов преобразуется в энергию вращения вокруг оси, причем величина этой энергии такова, что продольная составляющая скорости электронов оказывается не зависящей от удаления электрона от оси.

В бриллюэновском потоке постоянна также плотность про­ странственного заряда. Подставим в уравнение Пуассона (2.55) выражение распределения потенциала (2Л39):

дЮ

1

dU

_Р_

(2.142)

~дг*

г

дг

ео

 

откуда плотность пространственного заряда

р = — е0 Во,

(2.143)

т. е. она постоянна и однозначно определяется величиной магнит­ ной индукции.

Постоянство продольной составляющей скорости и плотности пространственного заряда приводит к постоянству плотности тока:

'■= - ро* = -^5

( — )

кв? £/'/,.

(2.144)

~\/2

' т '

0

 

Определим теперь величину равновесного (бриллюэновского) радиуса /о. Согласно (2.137) бриллюэновский радиус однозначно определяется тремя величинами — током пучка, осевым потенциа­ лом и магнитной индукцией:

(2.145)

яео' е

Аналогично для величин тока и магнитной индукции получим выражения

j __ яео |Г в

VA

а

 

г

2

(2.146)

,

-

 

В0 иЧо =

1,45 -10 -2Во

V'hr\,

'

m

 

 

0

 

о

 

Во =

Г

(

)

_

= 6 9 __

 

(2.147)

 

яео

'

е >

yt/0r2

 

 

 

В формулах (2.145) — (2.147) величины имеют следующие раз­ мерности: /[a], t/0[e], Въ[гс], г0[м].

Выражение (2.139) показывает, что потенциал на границе бриллюэновского потока должен быть выше осевого потенциала:

U

■Го

Uo

е DV

(2.148)

£>0Го.

Определим ток пучка

через

потенциал на границе

пучка

U\r=r =Ua>совпадающий с

потенциалом проводящей трубки, за-

полненной пучком:

j __ пео

Г

(2.149)

8т

------Во го

 

и найдем максимально возможное значение тока. Дифференцируя (2.149) по В и приравнивая производную нулю, получим условие максимального тока

д 2 2 16

т

(2.150)

в 0 Го—-•—

3

е

 

Подставив полученное выражение в (2.149), получим макси­ мальное значение тока:

 

 

 

16

/ е

\

 

(2.151)

 

/max = -----zzJiZo I —

|

а

 

 

Зуб

' т •

 

или максимальный первеанс:

 

 

 

 

 

Ртах =

=

- Д = яе0 ( — ) Ы= 2 5,4 -1 0 -®а/в3/,. (2.152)

 

Г/*/*

3V6з у б

 

" Vт '

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

Оптимальная величина магнитной индукции, при которой обес­

печивается максимальный ток пучка

 

 

 

 

 

 

 

V .

 

 

 

Во

= - 4

( - У

=

5,5-10-:

(2.153)

 

УЗ

' е

'

г0

 

Го

 

(здесь величины имеют такие размерности: В[гс\ £/а[в], го[м]).

Интересно

отметить,

что

в

режиме

максимального

первеанса

потенциал на оси пучка существенно

отличается от

потенциала

£/а проводящей трубки, заполненной пучком. Подставив в (2.139)

значение В02г02, соответствующее максимальному току, из

(2.150),

получим

 

</о = >о а ,

(2.154)

т. е. потенциал на оси, определяющий продольную составляющую скорости электронов, в три раза ниже потенциала на границе пуч* ка. Этот результат показывает, что пренебрежение радиальным падением потенциала возможно лишь при небольших значениях микропервеанса (р<1 мка/в*/*). В общем же случае в расчетные формулы для бриллюэновского потока следует подставлять осевое значение потенциала <70, определяемое формулой (2.139).

В бриллюэновском осесимметричном потоке сила кулоновского расталкивания полностью скомпенсирована радиально направлен* ной силой Лоренца. Как было указано, для возникновения рад1ь альной силы в продольном магнитном поле необходимо наличие азимутальной скорости электронов. Физически появление азиму* тальной скорости у электронов пучка, вводимого в однородное

Соседние файлы в папке книги