книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdfгде /а и га — длина и радиус анода; р2 = / ( — ) — табулированная
\ гк'
функция Ленгмюра, известная из теории электронных ламп (г„ — радиус катода).
Ленточный сходящийся пучок получится при гк> г а, т. е. когда цилиндрический анод помещен внутри цилиндрического катода. Для такого «обращенного» цилиндрического диода выражение (2.88)
остается в силе при р2 = / / — ) .Предположим, что угол сходимо- \ Га '
сти пучка ф = 20 (рис. 2.20). |
Тогда ток на единицу ширины пучка |
|
/л (линейная плотность тока) |
согласно (2.88) будет равен |
|
/л = а |
R& |
(2.89) |
|
Г„р2(/?а)
где а = 14,68-10-9 а/в5/а и Ra — г„/га.
Так как линии тока направлены по радиусам, полный ток /, а следовательно, и плотность тока /л будут одинаковы в любой ци линдрической поверхности, соосной катоду и аноду, расположен ной между ними. Поэтому для тока в сечении клиновидного пучка с углом сходимости 20, любой соосной катоду и аноду цилиндри
ческой поверхностью, расположенной |
между |
ними (га< г < г к), |
можно написать |
|
|
где R = г„/г. |
(2.89) |
и (2.90), найдем |
Составляя отношение из выражений |
распределение потенциала вдоль радиуса (вдоль границы пучка):
ЯаР2(Я )
(2.91)
Яр2(Да)
Уравнение (2.91) является первым граничным условием для внешней задачи. Второе граничное условие по-прежнему вытекает из равенства нулю нормальной к границе пучка составляю щей поля:
dU |
(2.92) |
= 0, |
Ф- l в I
где ф — азимутальный угол.
Таким образом, задача сводится к нахождению решения урав нения Лапласа для области ф ^ 0 с граничными условиями (2.91), (2.92). В общем виде эта задача не имеет аналитического реше ния. Приближенные расчеты и моделирование в электролитической ванне показывают, что для формирования сходящегося ленточного пучка к катоду, являющемуся цилиндрической поверхностью, с обе
их сторон должны примыкать катодные электроды, образующие с границей пучка углы 67,5° Анодный электрод может быть выпол нен в виде части цилиндра с радиусом, меньшим га, со щелью, равной раствору пучка. На рис. 2.21 показано семейство эквипо тенциальных линий поля, формирующего клиновидный пучок с уг лом сходимости 0 = 20°
Осесимметричный сходящийся (конический) пучок получается при вырезании конической поверхностью части электронного пото ка, заполняющего пространство между двумя концентрическими сферами. Распределение потенциала вдоль границы конического
Рис. 2.21. Распределение |
потенциала |
Рис. 2.22. Граф ик функции ( — а ) 2 |
вблизи клиновидного |
пучка |
|
пучка (вдоль радиуса сфер) может быть получено из закона сте пени 3/2 для сферического диода:
|
/а = 29,35 •IQr' — '— irh, |
(2.93) |
|
|
|
(—а )2 |
|
где (— а )2 = / ( — |
) — функция |
отношения радиусов |
катодной и |
Га |
анодной |
сферы. |
|
График этой функции представлен на рис. 2.22.
Ток 1а части анода, вырезанной конусом с углом при вершине (углом сходимости) 20, будет во столько раз меньше полного тока всего сферического анода, во сколько раз площадь вырезанной части анода меньше площади анодной сферы:
, |
/ 1 — cos0\ |
1 |
/ 1 — cos 0 \ |
/;■- |
( — 2— ) = 2 а Т - а Щ ]Г |
(2.94) |
|
\ - Т - ) ^ |
|||
где а = |
14,6810~e a /e%, |
R& = rK/r&. |
|
Поскольку линии тока совпадают с радиусами сфер, ток будет одинаковым в сечении конического пучка любой сферической по
верхностью, концентрической с |
анодной |
сферой, расположенной |
||||||||||
между катодом и анодом. Поэтому для тока в любом |
сечении пуч |
|||||||||||
ка сферической поверхностью с |
радиусом |
г(га< г < г к) можно на |
||||||||||
писать |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
V = |
2а- |
|
_ ( 1 _ M S 0 ) [ U { r ) y i t t |
( 2 9 5 ) |
||||
|
|
|
|
[-a (R )Y |
|
|
|
|
||||
где |
R = |
г„/г . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(2.95), определим |
||||||
Составляя отношение из выражений (2.94) и |
||||||||||||
распределение потенциала |
вдоль |
радиуса |
(вдоль |
границы пучка): |
||||||||
|
|
|
|
|
|
U(г) = |
UаГ |
— а (А) |
Т/з |
|
(2.96) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I- — а(Я.) |
•* |
|
|
|
т- о. первое граничное условие. |
|
|
|
|
||||||||
Вторым граничным условием будет |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.97) |
где ф — полярный угол сферической системы координат. |
||||||||||||
Уравнение Лапласа, описы |
|
|
|
|
||||||||
вающее |
распределение |
потен |
|
|
|
|
||||||
циала |
вне конического |
пучка, |
|
|
|
|
||||||
с |
граничными |
|
условиями |
|
|
|
|
|||||
(2.96), (2.97), может быть при |
|
|
|
|
||||||||
ближенно |
решено |
аналитиче |
|
|
|
|
||||||
ски; |
система эквипотенциаль |
|
|
|
|
|||||||
ных линий поля, формирующе |
|
|
|
|
||||||||
го конический |
пучок, |
может |
|
|
|
|
||||||
быть |
экспериментально |
полу |
|
|
|
|
||||||
чена |
|
моделированием в |
элек |
|
|
|
|
|||||
тролитической |
ванне. |
|
На |
|
|
|
|
|||||
рис. |
2.23 |
показано |
семейство |
|
|
|
|
|||||
эквипотенциальных |
линий |
по |
|
|
|
|
||||||
лей, формирующих конические |
|
|
|
|
||||||||
ручки |
|
с |
углами сходимости |
|
|
|
|
|||||
0=10° |
и 20°. |
|
|
|
|
Рис. 2.23. Распределение потенцна- |
||||||
Как виднр из рисунка, элек |
ла вблизи конических пучков |
|||||||||||
трическое поле |
для |
формиро |
|
|
|
пучка может |
||||||
вания |
осесимметричного |
сходящегося (конического) |
быть создано двумя электродами — один из которых, катодный, с потенциалом, равным нулю, имеет форму чаши и образует с гра ницей пучка угол 67,5° Форма анодного электрода определяется Любой эквипотенциальной поверхностью. Анодный электрод под ходит к границе пучка по нормали к ней и имеет отверстие с ради усом, равным радиусу пучка.
Рассмотренные системы, формирующие интенсивные пучки, на зывают с и с т е м а м и П и р с а по имени американского физика Дж. Пирса, предложившего использование для формирования пуч ков части электронных потоков, заполняющих пространство между катодом и анодом в диодах простой геометрической формы.
Системы Пирса обеспечивают существование пучков заданной формы — осесимметричных (цилиндрических и конических) и лен точных (неизменного сечения или сходящихся) в пространстве меж ду катодом и анодным электродом. В приведенных выше рассуж дениях предполагалось, что анодная эквипотенциальная поверх ность в пространстве, занятом пучком, совпадает с исходным ано дом, т. е. является либо плоскостью, либо цилиндрической или
Рис. 2.24. «Провисание» поля в анодное отверстие:
а — поперечное сечение; б —продольное сечение
сферической поверхностью. В реальных системах, формирующих интенсивные пучки, в анодном электроде обязательно имеется от верстие для выхода сформированного пучка в заанодное (пролет ное) пространство. Наличие анодного отверстия приводит к иска жению поля вблизи анода. Если за анодом поле отсутствует, т. е. пучок вводится в эквипотенциальное пространство, то поле из про странства между катодом и анодом (пространства формирования пучка) «провисает» в анодное отверстие (рис. 2.24).
Это «провисание» поля приводит к созданию в области анод ного отверстия электронной линзы — осесимметричной в случае осесимметричных (круглое анодное отверстие) пучков или цилинд рической в случае ленточных (отверстие в аноде в виде щели) пучков.
Образующаяся линза всегда будет рассеивающей, так как экви потенциальные поверхности «провисающего» в анодное отверстие поля имеют выпуклую форму в сторону заанодного пространства. Следовательно, это поле имеет составляющую £ г, направленную в сторону оси (средней плоскости) пучка; за счет этой составляющей
на электрон действует сила, направленная от оси (от средней пло скости) (рис. 2.25).
Таким образом, сила, действующая на электрон, является рас фокусирующей, а анодная линза — рассеивающей. Фокусное рас стояние этой линзы в первом приближении можно оценить по фор
муле для оптической силы тонкой линзы-диафрагмы |
[см. (1.164)}: |
41/. |
(2.98) |
fОС — |
Рис. 2.25. Расфокусировка пучка |
Рис. 2.26. К расчету анодной линзы |
ванодном отверстии
вслучае осесимметричного пучка;
. _ |
2С/. |
|
:(2 щ |
Ы\b\-\Ei\
вслучае ленточного пучка [см. (1.225)].
Вформулах (2.98) и (2.99) Е\— напряженность поля вблизи
анодного отверстия |
со |
стороны |
катода, Е2— напряженность поля |
в заанодном пространстве. Если |
пучок вводится в эквипотенциаль |
||
ное пространство, |
то |
Е2 = 0. |
Напряженность Ег определяется |
дифференцирование функции распределения потенциала на оси или в средней плоскости пучка по длине пучка. Поскольку в рас смотренных системах распределение потенциала на оси осесиммет ричных пучков и в средней плоскости ленточного пучка совпадает с распределением потенциала на границе пучка, для нахождения значения Е\ используются выражения для граничного потенциала.
Для осесимметричных цилиндрических пучков и ленточных пуч ков неизменного сечения потенциал на границе, а следовательно, на оси или в средней плоскости пропорционален г*1*. В этих случа ях значение £| получается дифференцированием по z выражения (2.82) при подстановке U=Ua и z=d (расстоянию между катодом
и анодом): |
|
1 |
5 |
|
dU(z) |
|
(2. 100) |
||
£ i = |
z=d |
3 |
|
|
dz |
|
d |
||
|
U-U* |
|
|
|
Тогда для фокусных расстояний осесимметричной и цилиндри ческой линз-диафрагм получаются выражения
foc = — 3d и f4 = - i - r f . |
(2.101) |
Знак «минус» указывает на рассеивающий тип линзы, причем щелевая линза, дефокусирующая ленточный пучок, вдвое сильнее осесимметричной линзы. Наличие анодной линзы приводит к рас ширению пучка в заанодном пространстве: пучок, оформленный в пространстве между катодом и анодом в виде цилиндра или па раллелепипеда с границами, параллельными оси 0Z, по выходе из анодного отверстия становится расходящимся. Определим угол уа> который образуют с осью (средней плоскостью) граничные траек тории пучков в заанодном пространстве (рис. 2.26).
Поскольку анодная линза является рассеивающей, ее фокус (мнимый) расположен левее плоскости анодного отверстия. Со гласно геометрическим построениям на рис. 2.26 величина выход ного угла определяется выражениями:
для осесимметричного пучка |
|
|
|
|
Го |
|
1 |
Го |
(2.102) |
tg Y a = ' |
— |
3 |
|
|
1foe 1 |
d ’ |
|||
для ленточного пучка |
|
2 |
уо |
|
Уо |
|
(2.103) |
||
tgYa = |
~ |
3 |
d |
|
\к\ |
’ |
где г0 и уо— радиус осесимметричного пучка и полутолщина лен точного пучка.
Выражения (2.102) и (2.103) показывают, что выходной угол однозначно определяется геометрическими соотношениями форми рующей системы — расстоянием между катодом и анодом и вели чиной анодного отверстия. Однако нетрудно убедиться, что увеличе ние первеанса приводит к росту выходного угла. Подставим в (2.81) z=d, U=Ua и определим первеанс при сечении пучка яг02:
I |
2 . |
2 |
пг0] |
Го |
|
Р |
|
(2.104) |
а
Выразим d из (2.104) и подставим в (2.102). Тогда для выход ного угла получается выражение
tgYa = 4 - У |
— = 1,26-10*ур, |
(2.105) |
6 1 |
ап |
|
т. е. угол расхождения цилиндрического пучка по выходе из анода пропорционален первеансу в степени 1/2.
В эквипотенциальном заанодном пространстве пучок будет рас ширяться за счет действия пространственного заряда; контур пуч
ка может быть рассчитан по формулам (2.24) и (2.40), причем действие рассеивающей анодной линзы следует учитывать, подстав ляя в эти выражения начальный угол наклона, определяемый фор мулами (2.103) и (2.102), т. е. r0'=tgY a и </o,==tgYaПоскольку расширение пучка за счет пространственного заряда определяется величиной первеанса, увеличение угла расхождения осесимметрич ного пучка приближенно можно оценить добавочным членом в уравнении (2.102), зависящим от первеанса. Формула, учитываю щая добавочный угол расхождения за счет пространственного за ряда, имеет вид
t g Y a « 4 - £r ( 1 + 2’5 - 1°2l//))- |
(2-106) |
о а |
|
Граница
В системах, формирующих сходящиеся пучки — конические и клиновидные,— действие линзы в области анодного отверстия при водит к уменьшению сходимости пучка, а при достаточно большой абсолютной величине оптической силы рассеивающей линзы край ние траектории выходят из анодного отверстия параллельно оси (средней плоскости), т. е. пучок из сходящегося осесимметричного или клиновидного превращается в цилиндрический или ленточный.
Рассмотрим действие анодной линзы на выходящий из анодно го отверстия осесимметричный сходящийся (конический) пучок с углом сходимости 20. Очевидно, за счет анодной линзы в заанодном пространстве угол сходимости изменится (уменьшится) и ста нет равным уа. Это изменение угла сходимости можно оценить ко эффициентом преломления крайней траектории пучка в анодном отверстии:
sin уа
(2.107)
sin ©
Приближенно можно считать анодную линзу тонкой и использо вать соотношение геометрической оптики (1.142), связывающее
расстояние от линзы до объекта (а) и изображения (&) с фокус ным расстоянием (рис. 2.27):
1_
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
(2.108) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из геометрических построений рис. 2.27 следует: ro/& =tg0, Го/а = |
||||||||||
= tgya, где |
г0 — радиус |
анодного |
отверстия. |
В |
параксиальном |
|||||
приближении |
(для малых |
значений 0 |
и |
уа) |
можно |
положить |
||||
t g 0 « s in 0 и tgYa^sinya. Тогда |
с |
учетом |
(2.108) коэффициент |
|||||||
преломления |
Sin Y a |
|
ь |
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
= |
|
« |
|
Га |
|
(2.Ю9), |
|||
|
- . ' |
— = |
1 — — |
1 — — . |
||||||
|
s i n © |
|
a |
|
f |
|
|
I |
|
|
Фокусное |
расстояние |
анодной |
линзы |
определяется |
формулой |
|||||
L(2.98) три Ei = 0. Величина Et рассчитывается как |
d\J |
1 |
||||||||
—— |
диф |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аг |
.1 r=ra |
ференцированием уравнения (2.96). Подставляя найденное значе ние в (2.109), окончательно получим выражение для коэффициен та преломления:
п |
Sin Ya |
|
Яа |
|
= |
|
|
( 2. 110) |
|
|
sin 0 |
|
R=R,а |
|
где |
D |
Гк |
D |
Гк |
да = |
— |
и R = |
— |
|
|
|
Га |
|
Г |
Выражение (2.110) показывает, что коэффициент преломления определяется геометрическими соотношениями системы электро дов, а именно отношением радиусов катодцой и анодной сфер на чального сферического диода. В то же время, поскольку первеанс пучка определяется величиной [—а(/?а)]2 и углом сходимости 0 [см. (2.95)], коэффициент преломления должен зависеть от величи
ны Р. Выражая P=I/Ulf2 из формулы (2.95) при /? = /?а и заменяя
0
(1 — cos0 ) на 2 sin2 — , получим |
|
|
. о © |
|
|
sin2 — |
|
|
Р = 2а- |
2 |
( 2. 111) |
|
||
[-< * (/? .)]* |
|
|
В параксиальном приближении |
можно положить sin—- я » __ |
|
и sinya^YaТогда с учетам уа = |
2 |
2 |
п& формула (2.111)'преобразу |
||
ется к виду |
|
|
(# » )][« (# « ) ]УЯ = 3,69 •!()*[-
т. е. уменьшение угла сходимости коническогопучка (так же как и цилиндрического пучка) пропорционально VР-
На рис. 2.28 показана зависимость коэффициента преломления п от отношения радиусов катодной и анодной сфер /?а.
Из рисунка видно, что при /?а«1,46 величина п обращается в нуль, т. е. по выходе из анодного отверстия осесимметричный схо дящийся пучок становится цилиндрическим.
/.* 1.6 1.8 2.0 |
2.2 2.6 2.6 2.8 3.0 |
|
|
|
Рис. 2.28. Зависимость коэффициента |
Рис. 2.29. Зависимость |
коэффициента |
||
преломления от |
отношения радиусов |
преломления |
от отношения радиусов |
|
кривизны катода и анода |
катодного |
и анодного |
цилиндров |
В случае ленточного сходящегося (клиновидного) пучка анало гичный расчет действия анодной (щелевой) линзы приводит к сле дующему выражению для коэффициента преломления:
|
п = |
Sin Ya |
R& |
(2.113) |
||
|
sin 0 |
3p2(tfa) ' dR ' R=R; |
||||
|
|
|||||
n |
Гк |
и |
D |
r* |
|
|
где Ra — — |
R = |
— . |
|
|
||
|
Га |
|
|
Г |
|
|
Уменьшение |
угла сходимости |
клиновидного пучка также про |
||||
порционально У Р |
График функции я (# а) приведен на рис. 2.29. |
|||||
Из |
рисунка |
видно, |
что при /?0«1 ,9 величина п обращается в |
нуль, т. е. клиновидный пучок, пройдя анодное отверстие, стано вится ленточным пучком с границами, параллельными оси 0Z.
Расчет контуров осесимметричных и ленточных сходящихся пучков в заанодном пространстве с учетом действия пространст
венного заряда может быть произведен по |
формулам (2.24) и |
||
(2.40) при |
подстановке r</=tgYa |
и i/o'=tg уа, |
где уа определяется |
формулами |
(2.102) и (2.103) для |
осесимметричного и ленточного |
пучков соответственно.
При помощи электрического поля можно сформировать осесим метричный полый (трубчатый) пучок. Очевидно, условия на внеш-. ней и внутренней границах трубчатого пучка не отличаются от
граничных условий для сплошного цилиндрического пучка. Поэто му система Пирса, состоящая из катодного электрода, наклонен ного к образующей пучка вблизи его границы под углом 67,5°, и анода с отверстием по диаметру пучка, искривленного по форме одной из эквипотенциальных поверхностей рис. 2.19, обеспечивает существование внешнего контура пучка.
Для выполнения граничных условий вдоль внутренней образую щей полого цилиндра в трубчатый пучок необходимо ввести, кро ме катодного электрода, еще несколько электродов с постепенно
Рис. 2.30. Распределение |
потенциала |
Рис. 2.31. Центробежно-электростати- |
внутри трубчатого |
пучка |
ческая фокусировка |
(пропорционально z4/e) повышающимся потенциалом. Форма элек тродов может быть найдена расчетом или смоделирована в элек тролитической ванне. На рис. 2.30 показано семейство эквипотен циальных линий в меридиональной плоскости внутри трубчатого пучка.
Как видно из рисунка, нулевая (катодная) эквипотенциальная линия наклонена к оси вблизи границы пучка под углом 67,5° Все остальные эквипотенциальные поверхности (t/> 0 ) образуют с границей пучка прямой угол.
Осесимметричный трубчатый пучок может быть также сформи рован системой центробежно-электростатической фокусировки. Рассмотрим движение электрона в поле цилиндрического конден сатора. Предположим, что в пространстве между двумя соосными
цилиндрами с радиусами гх и г2 |
(рис. 2.31) и потенциалами U\ и |
0 2 (U\>U2) вводится электрон с |
азимутальной скоростью v^Q на |
расстоянии г0 от оси. Если радиальная составляющая напряжен
ности электрического поля |
£ ,0 на расстоянии |
г0 от оси удовлетво |
ряет уравнению |
|
|
еЕго= |
mV- °- = тсооГо, |
(2.114) |
|
го |
|
где о)о — круговая частота, то электрон будет двигаться по равно весной круговой траектории с радиусом г0. Покажем, что эта орби