Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

..pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
20.11.2023
Размер:
25.05 Mб
Скачать

где /а и га — длина и радиус анода; р2 = / ( — ) — табулированная

\ гк'

функция Ленгмюра, известная из теории электронных ламп (г„ — радиус катода).

Ленточный сходящийся пучок получится при гк> г а, т. е. когда цилиндрический анод помещен внутри цилиндрического катода. Для такого «обращенного» цилиндрического диода выражение (2.88)

остается в силе при р2 = / / — ) .Предположим, что угол сходимо- \ Га '

сти пучка ф = 20 (рис. 2.20).

Тогда ток на единицу ширины пучка

/л (линейная плотность тока)

согласно (2.88) будет равен

 

/л = а

R&

(2.89)

 

Г„р2(/?а)

где а = 14,68-10-9 а/в5/а и Ra — г„/га.

Так как линии тока направлены по радиусам, полный ток /, а следовательно, и плотность тока /л будут одинаковы в любой ци­ линдрической поверхности, соосной катоду и аноду, расположен­ ной между ними. Поэтому для тока в сечении клиновидного пучка с углом сходимости 20, любой соосной катоду и аноду цилиндри­

ческой поверхностью, расположенной

между

ними (га< г < г к),

можно написать

 

 

где R = г„/г.

(2.89)

и (2.90), найдем

Составляя отношение из выражений

распределение потенциала вдоль радиуса (вдоль границы пучка):

ЯаР2(Я )

(2.91)

Яр2(Да)

Уравнение (2.91) является первым граничным условием для внешней задачи. Второе граничное условие по-прежнему вытекает из равенства нулю нормальной к границе пучка составляю­ щей поля:

dU

(2.92)

= 0,

Ф- l в I

где ф — азимутальный угол.

Таким образом, задача сводится к нахождению решения урав­ нения Лапласа для области ф ^ 0 с граничными условиями (2.91), (2.92). В общем виде эта задача не имеет аналитического реше­ ния. Приближенные расчеты и моделирование в электролитической ванне показывают, что для формирования сходящегося ленточного пучка к катоду, являющемуся цилиндрической поверхностью, с обе­

их сторон должны примыкать катодные электроды, образующие с границей пучка углы 67,5° Анодный электрод может быть выпол­ нен в виде части цилиндра с радиусом, меньшим га, со щелью, равной раствору пучка. На рис. 2.21 показано семейство эквипо­ тенциальных линий поля, формирующего клиновидный пучок с уг­ лом сходимости 0 = 20°

Осесимметричный сходящийся (конический) пучок получается при вырезании конической поверхностью части электронного пото­ ка, заполняющего пространство между двумя концентрическими сферами. Распределение потенциала вдоль границы конического

Рис. 2.21. Распределение

потенциала

Рис. 2.22. Граф ик функции ( — а ) 2

вблизи клиновидного

пучка

 

пучка (вдоль радиуса сфер) может быть получено из закона сте­ пени 3/2 для сферического диода:

 

/а = 29,35 •IQr' — '— irh,

(2.93)

 

 

(—а )2

 

где (— а )2 = / ( —

) — функция

отношения радиусов

катодной и

Га

анодной

сферы.

 

График этой функции представлен на рис. 2.22.

Ток части анода, вырезанной конусом с углом при вершине (углом сходимости) 20, будет во столько раз меньше полного тока всего сферического анода, во сколько раз площадь вырезанной части анода меньше площади анодной сферы:

,

/ 1 — cos0\

1

/ 1 — cos 0 \

/;■-

( — 2— ) = 2 а Т - а Щ

(2.94)

\ - Т - ) ^

где а =

14,6810~e a /e%,

R& = rK/r&.

 

Поскольку линии тока совпадают с радиусами сфер, ток будет одинаковым в сечении конического пучка любой сферической по­

верхностью, концентрической с

анодной

сферой, расположенной

между катодом и анодом. Поэтому для тока в любом

сечении пуч­

ка сферической поверхностью с

радиусом

г(га< г < г к) можно на­

писать

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

2а-

 

_ ( 1 _ M S 0 ) [ U { r ) y i t t

( 2 9 5 )

 

 

 

 

[-a (R )Y

 

 

 

 

где

R =

г„/г .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.95), определим

Составляя отношение из выражений (2.94) и

распределение потенциала

вдоль

радиуса

(вдоль

границы пучка):

 

 

 

 

 

 

U(г) =

Г

— а (А)

Т/з

 

(2.96)

 

 

 

 

 

 

 

 

I- — а(Я.)

•*

 

 

т- о. первое граничное условие.

 

 

 

 

Вторым граничным условием будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.97)

где ф — полярный угол сферической системы координат.

Уравнение Лапласа, описы­

 

 

 

 

вающее

распределение

потен­

 

 

 

 

циала

вне конического

пучка,

 

 

 

 

с

граничными

 

условиями

 

 

 

 

(2.96), (2.97), может быть при­

 

 

 

 

ближенно

решено

аналитиче­

 

 

 

 

ски;

система эквипотенциаль­

 

 

 

 

ных линий поля, формирующе­

 

 

 

 

го конический

пучок,

может

 

 

 

 

быть

экспериментально

полу­

 

 

 

 

чена

 

моделированием в

элек­

 

 

 

 

тролитической

ванне.

 

На

 

 

 

 

рис.

2.23

показано

семейство

 

 

 

 

эквипотенциальных

линий

по­

 

 

 

 

лей, формирующих конические

 

 

 

 

ручки

 

с

углами сходимости

 

 

 

 

0=10°

и 20°.

 

 

 

 

Рис. 2.23. Распределение потенцна-

Как виднр из рисунка, элек­

ла вблизи конических пучков

трическое поле

для

формиро­

 

 

 

пучка может

вания

осесимметричного

сходящегося (конического)

быть создано двумя электродами — один из которых, катодный, с потенциалом, равным нулю, имеет форму чаши и образует с гра­ ницей пучка угол 67,5° Форма анодного электрода определяется Любой эквипотенциальной поверхностью. Анодный электрод под­ ходит к границе пучка по нормали к ней и имеет отверстие с ради­ усом, равным радиусу пучка.

Рассмотренные системы, формирующие интенсивные пучки, на­ зывают с и с т е м а м и П и р с а по имени американского физика Дж. Пирса, предложившего использование для формирования пуч­ ков части электронных потоков, заполняющих пространство между катодом и анодом в диодах простой геометрической формы.

Системы Пирса обеспечивают существование пучков заданной формы — осесимметричных (цилиндрических и конических) и лен­ точных (неизменного сечения или сходящихся) в пространстве меж­ ду катодом и анодным электродом. В приведенных выше рассуж­ дениях предполагалось, что анодная эквипотенциальная поверх­ ность в пространстве, занятом пучком, совпадает с исходным ано­ дом, т. е. является либо плоскостью, либо цилиндрической или

Рис. 2.24. «Провисание» поля в анодное отверстие:

а — поперечное сечение; б —продольное сечение

сферической поверхностью. В реальных системах, формирующих интенсивные пучки, в анодном электроде обязательно имеется от­ верстие для выхода сформированного пучка в заанодное (пролет­ ное) пространство. Наличие анодного отверстия приводит к иска­ жению поля вблизи анода. Если за анодом поле отсутствует, т. е. пучок вводится в эквипотенциальное пространство, то поле из про­ странства между катодом и анодом (пространства формирования пучка) «провисает» в анодное отверстие (рис. 2.24).

Это «провисание» поля приводит к созданию в области анод­ ного отверстия электронной линзы — осесимметричной в случае осесимметричных (круглое анодное отверстие) пучков или цилинд­ рической в случае ленточных (отверстие в аноде в виде щели) пучков.

Образующаяся линза всегда будет рассеивающей, так как экви­ потенциальные поверхности «провисающего» в анодное отверстие поля имеют выпуклую форму в сторону заанодного пространства. Следовательно, это поле имеет составляющую £ г, направленную в сторону оси (средней плоскости) пучка; за счет этой составляющей

на электрон действует сила, направленная от оси (от средней пло­ скости) (рис. 2.25).

Таким образом, сила, действующая на электрон, является рас­ фокусирующей, а анодная линза — рассеивающей. Фокусное рас­ стояние этой линзы в первом приближении можно оценить по фор­

муле для оптической силы тонкой линзы-диафрагмы

[см. (1.164)}:

41/.

(2.98)

fОС —

Рис. 2.25. Расфокусировка пучка

Рис. 2.26. К расчету анодной линзы

ванодном отверстии

вслучае осесимметричного пучка;

. _

2С/.

 

:(2 щ

Ы\b\-\Ei\

вслучае ленточного пучка [см. (1.225)].

Вформулах (2.98) и (2.99) Е\— напряженность поля вблизи

анодного отверстия

со

стороны

катода, Е2— напряженность поля

в заанодном пространстве. Если

пучок вводится в эквипотенциаль­

ное пространство,

то

Е2 = 0.

Напряженность Ег определяется

дифференцирование функции распределения потенциала на оси или в средней плоскости пучка по длине пучка. Поскольку в рас­ смотренных системах распределение потенциала на оси осесиммет­ ричных пучков и в средней плоскости ленточного пучка совпадает с распределением потенциала на границе пучка, для нахождения значения Е\ используются выражения для граничного потенциала.

Для осесимметричных цилиндрических пучков и ленточных пуч­ ков неизменного сечения потенциал на границе, а следовательно, на оси или в средней плоскости пропорционален г*1*. В этих случа­ ях значение £| получается дифференцированием по z выражения (2.82) при подстановке U=Ua и z=d (расстоянию между катодом

и анодом):

 

1

5

 

dU(z)

 

(2. 100)

£ i =

z=d

3

 

dz

 

d

 

U-U*

 

 

 

Тогда для фокусных расстояний осесимметричной и цилиндри­ ческой линз-диафрагм получаются выражения

foc = — 3d и f4 = - i - r f .

(2.101)

Знак «минус» указывает на рассеивающий тип линзы, причем щелевая линза, дефокусирующая ленточный пучок, вдвое сильнее осесимметричной линзы. Наличие анодной линзы приводит к рас­ ширению пучка в заанодном пространстве: пучок, оформленный в пространстве между катодом и анодом в виде цилиндра или па­ раллелепипеда с границами, параллельными оси 0Z, по выходе из анодного отверстия становится расходящимся. Определим угол уа> который образуют с осью (средней плоскостью) граничные траек­ тории пучков в заанодном пространстве (рис. 2.26).

Поскольку анодная линза является рассеивающей, ее фокус (мнимый) расположен левее плоскости анодного отверстия. Со­ гласно геометрическим построениям на рис. 2.26 величина выход­ ного угла определяется выражениями:

для осесимметричного пучка

 

 

 

 

Го

 

1

Го

(2.102)

tg Y a = '

3

 

1foe 1

d

для ленточного пучка

 

2

уо

 

Уо

 

(2.103)

tgYa =

~

3

d

\к\

где г0 и уо— радиус осесимметричного пучка и полутолщина лен­ точного пучка.

Выражения (2.102) и (2.103) показывают, что выходной угол однозначно определяется геометрическими соотношениями форми­ рующей системы — расстоянием между катодом и анодом и вели­ чиной анодного отверстия. Однако нетрудно убедиться, что увеличе­ ние первеанса приводит к росту выходного угла. Подставим в (2.81) z=d, U=Ua и определим первеанс при сечении пучка яг02:

I

2 .

2

пг0]

Го

Р

 

(2.104)

а

Выразим d из (2.104) и подставим в (2.102). Тогда для выход­ ного угла получается выражение

tgYa = 4 - У

— = 1,26-10*ур,

(2.105)

6 1

ап

 

т. е. угол расхождения цилиндрического пучка по выходе из анода пропорционален первеансу в степени 1/2.

В эквипотенциальном заанодном пространстве пучок будет рас­ ширяться за счет действия пространственного заряда; контур пуч­

ка может быть рассчитан по формулам (2.24) и (2.40), причем действие рассеивающей анодной линзы следует учитывать, подстав­ ляя в эти выражения начальный угол наклона, определяемый фор­ мулами (2.103) и (2.102), т. е. r0'=tgY a и </o,==tgYaПоскольку расширение пучка за счет пространственного заряда определяется величиной первеанса, увеличение угла расхождения осесимметрич­ ного пучка приближенно можно оценить добавочным членом в уравнении (2.102), зависящим от первеанса. Формула, учитываю­ щая добавочный угол расхождения за счет пространственного за­ ряда, имеет вид

t g Y a « 4 - £r ( 1 + 2’5 - 1°2l//))-

(2-106)

о а

 

Граница

В системах, формирующих сходящиеся пучки — конические и клиновидные,— действие линзы в области анодного отверстия при­ водит к уменьшению сходимости пучка, а при достаточно большой абсолютной величине оптической силы рассеивающей линзы край­ ние траектории выходят из анодного отверстия параллельно оси (средней плоскости), т. е. пучок из сходящегося осесимметричного или клиновидного превращается в цилиндрический или ленточный.

Рассмотрим действие анодной линзы на выходящий из анодно­ го отверстия осесимметричный сходящийся (конический) пучок с углом сходимости 20. Очевидно, за счет анодной линзы в заанодном пространстве угол сходимости изменится (уменьшится) и ста­ нет равным уа. Это изменение угла сходимости можно оценить ко­ эффициентом преломления крайней траектории пучка в анодном отверстии:

sin уа

(2.107)

sin ©

Приближенно можно считать анодную линзу тонкой и использо­ вать соотношение геометрической оптики (1.142), связывающее

расстояние от линзы до объекта (а) и изображения (&) с фокус­ ным расстоянием (рис. 2.27):

1_

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

(2.108)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из геометрических построений рис. 2.27 следует: ro/& =tg0, Го/а =

= tgya, где

г0 — радиус

анодного

отверстия.

В

параксиальном

приближении

(для малых

значений 0

и

уа)

можно

положить

t g 0 « s in 0 и tgYa^sinya. Тогда

с

учетом

(2.108) коэффициент

преломления

Sin Y a

 

ь

 

Ь

 

 

 

 

 

 

=

 

«

 

Га

 

(2.Ю9),

 

- . '

— =

1 — —

1 — — .

 

s i n ©

 

a

 

f

 

 

I

 

 

Фокусное

расстояние

анодной

линзы

определяется

формулой

L(2.98) три Ei = 0. Величина Et рассчитывается как

d\J

1

——

диф­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аг

.1 r=ra

ференцированием уравнения (2.96). Подставляя найденное значе­ ние в (2.109), окончательно получим выражение для коэффициен­ та преломления:

п

Sin Ya

 

Яа

=

 

 

( 2. 110)

 

sin 0

 

R=R,а

где

D

Гк

D

Гк

да =

и R =

 

 

Га

 

Г

Выражение (2.110) показывает, что коэффициент преломления определяется геометрическими соотношениями системы электро­ дов, а именно отношением радиусов катодцой и анодной сфер на­ чального сферического диода. В то же время, поскольку первеанс пучка определяется величиной [—а(/?а)]2 и углом сходимости 0 [см. (2.95)], коэффициент преломления должен зависеть от величи­

ны Р. Выражая P=I/Ulf2 из формулы (2.95) при /? = /?а и заменяя

0

(1 — cos0 ) на 2 sin2 — , получим

 

 

. о ©

 

sin2 —

 

Р = 2а-

2

( 2. 111)

 

[-< * (/? .)]*

 

В параксиальном приближении

можно положить sin—- я » __

и sinya^YaТогда с учетам уа =

2

2

п& формула (2.111)'преобразу­

ется к виду

 

 

(# » )][« (# « ) ]УЯ = 3,69 •!()*[-

т. е. уменьшение угла сходимости коническогопучка (так же как и цилиндрического пучка) пропорционально VР-

На рис. 2.28 показана зависимость коэффициента преломления п от отношения радиусов катодной и анодной сфер /?а.

Из рисунка видно, что при /?а«1,46 величина п обращается в нуль, т. е. по выходе из анодного отверстия осесимметричный схо­ дящийся пучок становится цилиндрическим.

/.* 1.6 1.8 2.0

2.2 2.6 2.6 2.8 3.0

 

 

 

Рис. 2.28. Зависимость коэффициента

Рис. 2.29. Зависимость

коэффициента

преломления от

отношения радиусов

преломления

от отношения радиусов

кривизны катода и анода

катодного

и анодного

цилиндров

В случае ленточного сходящегося (клиновидного) пучка анало­ гичный расчет действия анодной (щелевой) линзы приводит к сле­ дующему выражению для коэффициента преломления:

 

п =

Sin Ya

R&

(2.113)

 

sin 0

3p2(tfa) ' dR ' R=R;

 

 

n

Гк

и

D

r*

 

 

где Ra —

R =

— .

 

 

 

Га

 

 

Г

 

 

Уменьшение

угла сходимости

клиновидного пучка также про­

порционально У Р

График функции я (# а) приведен на рис. 2.29.

Из

рисунка

видно,

что при /?0«1 ,9 величина п обращается в

нуль, т. е. клиновидный пучок, пройдя анодное отверстие, стано­ вится ленточным пучком с границами, параллельными оси 0Z.

Расчет контуров осесимметричных и ленточных сходящихся пучков в заанодном пространстве с учетом действия пространст­

венного заряда может быть произведен по

формулам (2.24) и

(2.40) при

подстановке r</=tgYa

и i/o'=tg уа,

где уа определяется

формулами

(2.102) и (2.103) для

осесимметричного и ленточного

пучков соответственно.

При помощи электрического поля можно сформировать осесим­ метричный полый (трубчатый) пучок. Очевидно, условия на внеш-. ней и внутренней границах трубчатого пучка не отличаются от

граничных условий для сплошного цилиндрического пучка. Поэто­ му система Пирса, состоящая из катодного электрода, наклонен­ ного к образующей пучка вблизи его границы под углом 67,5°, и анода с отверстием по диаметру пучка, искривленного по форме одной из эквипотенциальных поверхностей рис. 2.19, обеспечивает существование внешнего контура пучка.

Для выполнения граничных условий вдоль внутренней образую­ щей полого цилиндра в трубчатый пучок необходимо ввести, кро­ ме катодного электрода, еще несколько электродов с постепенно

Рис. 2.30. Распределение

потенциала

Рис. 2.31. Центробежно-электростати-

внутри трубчатого

пучка

ческая фокусировка

(пропорционально z4/e) повышающимся потенциалом. Форма элек­ тродов может быть найдена расчетом или смоделирована в элек­ тролитической ванне. На рис. 2.30 показано семейство эквипотен­ циальных линий в меридиональной плоскости внутри трубчатого пучка.

Как видно из рисунка, нулевая (катодная) эквипотенциальная линия наклонена к оси вблизи границы пучка под углом 67,5° Все остальные эквипотенциальные поверхности (t/> 0 ) образуют с границей пучка прямой угол.

Осесимметричный трубчатый пучок может быть также сформи­ рован системой центробежно-электростатической фокусировки. Рассмотрим движение электрона в поле цилиндрического конден­ сатора. Предположим, что в пространстве между двумя соосными

цилиндрами с радиусами гх и г2

(рис. 2.31) и потенциалами U\ и

0 2 (U\>U2) вводится электрон с

азимутальной скоростью v^Q на

расстоянии г0 от оси. Если радиальная составляющая напряжен­

ности электрического поля

£ ,0 на расстоянии

г0 от оси удовлетво­

ряет уравнению

 

 

еЕго=

mV- °- = тсооГо,

(2.114)

 

го

 

где о)о — круговая частота, то электрон будет двигаться по равно­ весной круговой траектории с радиусом г0. Покажем, что эта орби­

Соседние файлы в папке книги