Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

..pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
20.11.2023
Размер:
25.05 Mб
Скачать

Продифференцируем дважды (1.88) и подставим в (1.89). Тогда

FT= т(г — гф2) ,

(1.90»

т d

F* = 7 • * < " ♦ > ■

Выражая составляющие v и В в цилиндрической системе коор­ динат, получим следующие уравнения движения:

mz = — е(гВ$ — гфВг) ,

т(г — гф2) = — е (гфВ* — zB$),

(1.91)

т d

 

~‘~77(г2ф) = e(zBr гВг) .

гat

Восесимметричном поле Дь = 0, а составляющие Bz и Вг вы­ разим через векторный потенциал согласно ( 1.66) и подставим в (1.91):

 

 

 

.

дА$

 

 

mz — — егф -

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

. д(гА$)

 

т(г — гф2)'= — еф -

(1.92)

т

 

 

 

 

дг

. дА$

г

д(гА$)

 

е d

 

е ~ ,

* —

=

7 'W < rA' ) -

Третье уравнение

(1.91)

можно проинтегрировать по времени:

 

 

 

 

 

(1.93),

Постоянная интегрирования в (1.93) равна нулю, так как при Лф=0 (вне поля) в предположении, что электрон влетает в поле, не имея азимутальной составляющей скорости, ф = 0.

Если опять ограничиться приосевой областью поля, то в разло­ жении (1.74) можно отбросить члены с г в степени выше второй,

т. е. положить Л* = — B0(z)r.

В этом случае

 

1

е

(1.94)

ф = —

B0(z),

2 т

 

т. е. азимутальная скорость не зависит от начального положения электрона и однозначно определяется осевой составляющей магнит­ ной индукции.

Подставив значение ф из (1.94) во второе уравнение (1.92) и произведя преобразования, получим уравнение движения в виде

е2 г

тг — ------- Во г.

 

(1.95)

4т

 

 

d

dz

d

Применяя дважды дифференциальный оператор — =

и

dt

dt

dz

dz

замечая, что — — vz (для 'приосевой области)', где dt

(У0— значение потенциала на оси системы, получим уравнение траектории:

d2r е

=

< L 9 6 )

Уравнение (1.96) является уравнением траектории в проекции на меридиональную плоскость; но, поскольку в магнитном поле электрон приобретает также азимутальную скорость, для полного описания движения необходимо определить угол поворота траек­ тории, или угол поворота вокруг оси меридиональной плоскости, в которой лежит траектория, описываемая уравнением (1.96). Для этого преобразуем уравнение (1.94), применив снова дифференци­ альный оператор:

d\|з

1

di|)

V

е

(1.97)

dz

vz

dt

8rtiUo

 

Таким образом, движение электрона в осесимметричном маг­ нитном поле в приосевой области (при v<g.c) описывается систе­ мой уравнений:

d2/-

 

е

2„

----- =

— --------------DnГ,

dz2

 

8mUQ

(1.98)

 

 

 

dф _

i /

е

\

dz

1

8mD0

Анализ уравнений (1.98) показывает, во-первых, что в магнит­ ном поле траектории не остаются плоскими, а имеют вид прост­ ранственных спиралей с изменяющимся радиусом. Во-вторых, в уравнения входят е и т, т. е. частицы с разными зарядами и мас­ сами в магнитном поле описывают различные траектории. В-треть­ их, уравнения неоднородны относительно В0 и [/0, поэтому при мо­ делировании траекторий в магнитных полях необходимо при изме­ нении В0 в k раз изменять U0 в k2 раз. Наконец, следует отметить, что в магнитных полях траектории необратимы, так как угол пово­ рота зависит от направления движения частиц.

Входящую в уравнения (1.98) величину Uо следует рассматри­ вать как меру энергии электрона, а не как истинное значение элек­ трического потенциала на оси. Но, так как обычно до вступления в магнитное поле электрон разгоняется в электрическом поле, то

значение U0 численно равно

ускоряющей

разности потенциалов,

т. е. совпадает со значением

потенциала на оси (предполагается,

что электрон начинает движение без начальной скорости).

Поскольку первое уравнение

(1.98)

однородно относительно г,

произведя аналогичный анализ,

что и

для

электрического поля,

можно утверждать, что неоднородное осесимметричное магнитное поле в приосевой области является электронной линзой. Только в отличие от электростатического поля изображение, создаваемое магнитной линзой, будет повернуто на некоторый угол, определяе­

мый вторым уравнением (1.98).

для медленных электронов.

Уравнения (1.98) справедливы

В случае релятивистских скоростей

эти уравнения должны быть

изменены в соответствии с общим выражением для закона сохра­ нения энергии (1.4).

Если в некоторой области имеются электрическое и магнитное осесимметричные поля (случай «налагающихся» полей), то урав­ нения движения электронов могут быть получены сложением со­ ставляющих сил, действующих на электрон со стороны электриче­ ского и магнитною полей:

(1.99^

Возможность получения изображения в этом случае, конечно, сохраняется, но сохраняется также и угол поворота изображения, присущий магнитному полю.

Рассмотренные уравнения движения справедливы для узких приосевых пучков электронов (параксиальная оптика). Во многих типах электроннолучевых приборов используются именно узкие пучки, которые с достаточно хорошим приближением можно счи­ тать параксиальными. Однако в некоторых приборах, например в электронно-оптических преобразователях изображения и в телеви­ зионных передающих трубках с переносом изображения, приходит­ ся иметь дело с широкими пучками, которые, даже в самом гру­ бом приближении, нельзя считать параксиальными. В общем слу­ чае для нахождения траекторий электронов в широких пучках можно составить уравнения движения, аналогичные приведенным выше, но с использованием не одного или двух членов в разло­ жениях (1.53) и (1.74), а членов более высоких порядков. Есте­ ственно, что решение таких более сложных неоднородных уравне­ ний вызовет значительные затруднения, а полученные результаты

-будут ввиду своей громоздкости мало удобны для

практических

расчетов.

 

 

Возможен другой путь решения задачи о фокусировке широких

пучков. Предположим, что из некоторой точки

в

плоскости га

(рис. 1.18) вылетают электроны под различными

углами к этой

плоскости. К плоскости 20 непосредственно примыкает электриче­ ское или магнитное поле, симметричное, относительно оси 0Z. Рас­ смотрим траекторию электрона, вылетающего по нормали к пло­

тскости 2„. В иоле

электрон опишет

некоторую

кривую и попадет

 

 

в некоторую точку

плоско­

 

 

сти гь. Рассмотренную тра­

 

 

екторию электрона

назовем

 

 

основной, а траектории элек­

 

 

тронов, вылетевших

 

из

той

 

 

же точки

плоскости

za,

но

 

 

под углами, отличными

от

 

 

прямого, — смежными. Най­

 

 

дем условия, при

которых

Рис. 1.18. Основная

(а) и смежные (b)

смежные траектории

в пло­

траектории

скости гь

сойдутся

в

точке

 

 

пересечения этой плоскости

с основной траекторией. Таким образом, задача сводится к нахож­ дению смежных траекторий, которые при некоторых допущениях можно считать параксиальными относительно основной траекто­ рии, являющейся осью для семейства смежных траекторий. В об­ щем случае эта ось может быть криволинейной.

Если известна основная траектория, то положение смежной траектории для любого значения z может быть однозначно опре­ делено величиной и направлением отрезка, лежащего в плоскости, перпендикулярной к оси (при данном значении z), соединяющего основную траекторию со смежной. Этот отрезок можно предста­

вить как вектор [p(z)], выразив его в комплексной

форме через

переменные p{z)' и <p(z):

 

p(z) = р (z) е№)'

( 1.100)

Если смежные траектории являются параксиальными относи­ тельно основной, то они могут быть описаны известными уравне­ ниями параксиальной оптики:

d2p

U' dp

U"

е

dz2 '

2U dz т

V 4£/

SmU

j l . 101)

 

 

 

 

 

Л р _

т / g

 

 

 

dz

8mil

 

 

где U и В — значения электрического потенциала и магнитной ин­ дукции вдоль основной траектории.

Чтобы смежные траектории, вышедшие из одной точки в пло­ скости ze, собрались в точку в плоскости гь, необходимо существо­

вание решений уравнений ( 1.101) при граничных условиях p(za) = 0 и p(zb)= 0. В этом случае в плоскости zb получится изо­ бражение объекта (плоскости za), причем каждой точке объекта будет соответствовать точка изображения, определяемая основной траекторией, вышедшей из данной точки объекта. Однако о геомет­ рическом подобии изображения объекту на основании фокусиров­ ки в точку смежных траекторий говорить нельзя, так как это по­

добие определяется

основными

траекториями, которые в случае

широких

пучков могут не

в

удовлетворять

уравнениям

 

параксиальной

оптики.

 

Аналитический расчет ос­

 

новных

траекторий

часто

 

бывает

затруднителен, и их

 

приходится

оценивать при­

 

ближенно или строить с по­

 

мощью графо-аналитических

 

методов (см. § 1.7). Поэтому

 

задача

фокусировки

широ­

Рис. 1.19. Фокусировка широкого пучка

ких пучков

делится

на два

электронов однородным магнитным по­

этапа: 1) нахождение семей­

лем

ства основных

траекторий,

 

для которых соблюдается геометрическое подобие изображения и объекта; 2) нахождения условий, при которых смежные траекто­ рии пересекут основную в плоскости изображения, т. е. сфокуси­ руются в точку в плоскости zb.

Частным случаем рассматриваемой задачи является фокусиров­ ка широких пучков электронов продольным однородным магнит­ ным полем (рис. 1.19), используемая в некоторых электроннолуче­ вых приборах.

При 5 = £ z=const и U=const во всей области распространения пучка основные траектории совпадают с силовыми линиями маг­ нитного поля, а смежные траектории «накручиваются» на основ­ ные, образуя ряд узлов и пучностей. В проекции на плоскость, перпендикулярную к оси 0Z, электроны, движущиеся по смежным траекториям, описывают окружности, радиус которых определяет­ ся из (1.13):

mvr

R =

( 1.102)

Ж

'

где vr— нормальная к оси составляющая скорости.

Таким образом, смежные траектории представляются винтовы­ ми линиями, навитыми на цилиндры с радиусом, определяемым выражением ( 1.102), причем все цилиндры для данного семейства смежных траекторий имеют общую образующую — основную тра­ екторию. Нетрудно видеть, что в продольном однородном магнит­ ном поле возможна фокусировка и получение изображения. В са­

мом деле, период обращения электрона около основной траектории (время прохождения одного витка спирали)

R т

(1.103)

vr eBz

не зависит ни от составляющей скорости vr, ни от радиуса спирали и однозначно определяется величиной магнитной индукции, т. е. все электроны описывают один виток в одно и то же время. Если

составляющая скорости вдоль

оси 0Z у всех

электронов прибли­

зительно одинакова (что

часто

осуществляется на

практике уско­

рением электронов пучка до их вступления

в магнитное поле при

Сметные

 

 

помощи

продольного

элек­

 

 

трического поля), то за один

 

 

 

оборот по спирали все элек­

 

 

 

троны

пройдут

одинаковое

 

 

 

расстояние

вдоль оси

(z=

 

 

 

= vzT)

и снова сойдутся

к

 

 

 

основной траектории.

 

 

 

 

 

 

Помещая приемник элек­

 

 

 

тронов

на

расстоянии

vzT,

 

 

 

2vzT и т. д. от объекта, бу­

 

 

 

дем получать прямое (не по­

 

 

 

вернутое)

изображение объ­

 

 

 

екта,

не увеличенное

и

не

 

 

 

уменьшенное.

Таким

обра­

 

 

 

зом,

продольное однородное

Рис. 1.20. Фокусировка широкого пучка

магнитное поле «переносит»

электронов неоднородным

магнитным

изображение

из одной

пло­

полем

 

 

скости в другую в масштабе

 

 

 

1

1, т. е.,

строго

говоря

не

является в полном смысле электронной

линзой

(не обладает спо­

собностью собирать параллельный пучок в точку и создавать уве­ личенные или уменьшенные изображения).

Если использовать убывающее вдоль оси (неоднородное) маг­ нитное поле, то основные траектории будут близки к расходя­ щимся силовым линиям (рис. 1.20), т. е. для основных траекторий такое поле будет рассеивающей линзой. В то же время смежные траектории «закручиваясь», вокруг основных, могут сфокусиро­ ваться в точку в плоскости гь. В этом случае получится увеличен­ ное изображение объекта, так как из-за расхождения основных траекторий масштаб изображения будет больше единицы.

Рассмотренная система фокусировки, применяемая в телевизи­ онных передающих трубках с переносом изображения, не имеет аналога в световой оптике, так как в последней рассеивающие линзы принципиально не могут создавать действительное изобра­ жение.

Рассмотренные в предыдущем параграфе уравнения движения электронов в электрических полях лишь в редких случаях могут быть решены аналитически. Поэтому практически для нахождения траекторий электронов, движущихся в электрических полях, прихо­ дится использовать либо приближенные методы решения основных уравнений, либо строить траектории графо-аналитически.

Если распределение потенциала вдоль оси осесимметричного электрического поля задано в аналитической форме или если экс­ периментальную кривую распределения осевого потенциала можно достаточно точно аппроксимировать подходящей аналитической функцией, то решение основного уравнения параксиальной оптики (1.82) можно найти методом последовательных приближений.

Предположим, что в некоторой плоскости, перпендикулярной к оси, пересекающей ось в точке га, заданы начальные условия — удаление траектории от оси г(га) = г а и наклон касательной к тра­ ектории (dr/dz)Za = ra' Используем основное уравнение вида (1.81):

Л . ( п Г — ) = —

dz '

dz

4 ~\/UQ

Проинтегрируем это уравнение в пределах от za до некоторого значения z:

Уи0 г' (Z) -

 

Уиаг'а =

- — f — ==■г (Z) dz,

 

 

 

 

 

 

4 ; у и 0

 

где Ua= U 0(za),

 

 

 

 

 

 

 

 

и решим полученное уравнение относительно r'(z):

 

r'(z) =

УUа

— L \ ^ L r {Z)dZ.

 

утг0

 

 

 

4yU0 J у и 0

 

 

Второе интегрирование этого

уравнения

дает выражение для

искомой функции r(z):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dz

 

 

 

r ( z ) = Га + У Ua r'a \I

 

 

 

f U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

Г c

Uo

 

1

(1.104)

4.

 

\ —j^= r ( z ) dz

dz.

 

 

yU0 \J yU 0

 

 

 

В уравнении (1.104)

искомая

функция r(z) входит

и в левую

и в правую части. В теории дифференциальных уравнений доказы­ вается, что при подстановке в правую часть уравнения (в нашем

случае уравнения (1.104)] некоторого приближенного значени г0(г) решение этого уравнения ri(z) дает лучшее приближение

истинному значению г (г).

 

 

 

 

 

и вы

Подставив г\(г) снова в правую часть уравнения (1.104)

полнив интегрирование, получим второе приближение

r2(z),

кото

 

рое будет еще ближе к и<

 

тинному

значению

 

r(z

 

Выполняя указанный при

 

ем несколько

раз, можн

 

получить

 

 

зависимост

 

rn(z),

с

 

большой

 

сте

 

пенью точности аппрокси

 

мирующую

точное

реше

 

ние

уравнения

(1.82)

 

В этом

и

состоит

суш

 

ность

метода

последова

 

тельных

 

приближении

Рис. 1.21. Построение траектории электро­

При удачном

выборе

ну

нов методом последовательных приближе­

левого приближения r0(z

ний

достаточно

провести

ин

чтобы получить уравнение траектории

тегрирование

3—4

раза

с приемлемой для практи

ческих целей точностью. Хорошие результаты получаются, если i качестве нулевого приближения взять два первых члена уравнени:

(1.104), т. е. представить r0(z)

в виде

 

r0(z) = re +

y t / « r ; f - S -

(1.105

 

; ус/о

 

На рис. 1.21 показаны траектории электронов в электрическое поле, образованном двумя соосными цилиндрами одинакового ра

диуса с

разными потен­

ипЧ)

циалами,

вычисленные

методом

последователь­

Un

\ n "

ных приближений.

 

Как видно из рисунка,

 

 

 

 

1

1/

1

 

 

 

 

1

1

1

третье

r3(z)

и четвертое

 

 

V

j /

1

jl

1

г4(z) приближения прак­

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

1

1

1

тически

совпадают,

и

и .

“ ТГ

i

1

1

1

 

 

 

 

 

1

1

1

1

дальнейшее

вычисление

 

1

1

1

1

1

"ГГ

1

1

1

1

не требуется.

 

1

 

1

В

тех

случаях, когда

1

 

 

 

1

1

- 1

осевое

распределение

по­

h

 

l Z

Z )

 

 

I n l

тенциала,

найденное

экс­

Рис. 1.22.

 

Построение

траектории

электро­

периментально или

рас­

нов методом линейных отрезков

считанное

 

приближенно,

 

 

 

 

 

 

 

не поддается аппроксимации аналитической функцией, может быт использован метод приближенного решения основного уравнение получивший название метода многоугольников или метода лине!

ных отрезков осевого потенциала. При использовании этого метода область осесимметричного электрического поля, в которой необхо­ димо найти траекторию параксиального электрона, разбивается на ряд участков, внутри каждого из которых осевое распределение потенциала представляется линейной функцией z, т. е. напряжен­ ность поля является постоянной внутри каждого участка и меняет­ ся скачком при переходе к следующему участку. Иными словами, плавная кривая распределения осевого потенциала заменяется ло­ маной, состоящей из отрезков прямых (рис. 1.22).

При таком представлении внутри каждого участка Uo(z)=kz, Uo (z) = const, U0"(z )—0. На границах участков Uo"(z) обращает­ ся в бесконечность.

Обозначим, координаты границ участков через zu z2, z3, ...,zn, значения осевого потенциала на границах участков через U\, U2, £/3, Un, значения первых производных dUo/dz внутри участков через U\, U2, Uz,...,Un' и удаление траекторий от оси на грани­ цах участков через г\, г2.....гп. Поскольку внутри каждого участка

U0" = 0, уравнение (1.82). для

областей,

заключенных

между пло­

скостями с координатами (zi,

z2), (z2, z3) .....(z„_i, z„),

принима­

ет вид

 

 

 

l_U*_

0,

 

2

Uo r' =

(1.106)

 

 

 

где штрихи обозначают дифференцирование по г. Перепишем урав­ нение (1.106) в виде

г"

1

и'б

г' ~

2

(1.107)

U0

и проинтегрируем по z внутри участка от Z\ до некоторого значе­ ния z, лежащего между Z\ и z2:

(1.108)

Нетрудно видеть, что подынтегральные функции удобно пред­

ставить логарифмами, т. е. преобразовать (1.108)

в уравнение

1

1

*

(1.109)

J d ( l n r ' ) = - T

$ d (ln f/0),

Zi

 

Z|

 

которое после интегрирования записывается как

( 1.110)

где rt = {dr/dz)Ix (справа от плоскости с координатой Z i ) .

Из (1.110) непосредственно следует, что внутри рассматривав* мого участка

г'

с1

( 1.111)

Щ (г )

Здесь С\ = Г\ YUi const — постоянная, определяемая начальными

условиями — наклоном

касательной к траектории и значением

по­

тенциала в точке 2ь

 

в пределах участка (от

2i

Интегрирование уравнения (1.111)

до г) приводит к выражению для г (г)

внутри рассматриваемой

участка:

 

 

 

 

r(z) =

2ci (]/Uo(z) — ~IUi)

( 1.112)

п

 

 

V

 

 

 

Uo(z) Ui

где

Z — 2i

На правой границе участка (при z= z2)

Гг =

2r'lSUl(yU2- y U i) (22-

2I)

rt

(1.113)

 

U2- U i

 

(Индекс «л» указывает на угол наклона траектории слева от гра­ ницы раздела первого и второго участков).

Выражения (1.113) позволяют построить отрезок траекторий параксиального электрона внутри участка, ограниченного плоско стями, перпендикулярными к оси, в пределах от 2i до г2.

Значение г2, вычисленное в конце первого участка, использует ся как начальное при расчете траектории во втором участке. Од нако значение г'2л, вычисленное в конце первого участка, нельз? считать начальным для расчета траектории во втором участке, та! как при переходе через границу участков Uo' претерпевает разрьп и траектория имеет излом, т. е. г'гофг'гп (индекс «п» указывав' на угол наклона траектории справа от границы раздела участков)

Для вычисления угла наклона траектории

в

начале

второй

участка г'2п воспользуемся тем, что в окрестности

точки

г2 значе

ния Uo(z) и U0'(z) остаются конечны, а значение

U0"

обращаете:

в бесконечность. На основании этого вблизи

границ

участков :

уравнении (1.82) можно пренебречь величиной (Uo'l2U0)r' по срав

нению с ( Uo"/4Uo)r, т. е. представить

(1.82) в виде

 

1

Uo

(1.114

4 ’

и0

 

Можно также положить, что

в рассматриваемой

облает

U0(z) — и0(гг) = const. Тогда интегрирование уравнения

(1.114)

Соседние файлы в папке книги