книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdfоткуда
R |
mv |
(1.13) |
|
|
7 в ' |
Определим угол отклонения траектории электрона в попереч ном магнитном поле (рис. 1.3):
sina = ^-. |
(1.14); |
Подставляя значение R из (1.13) и полагая для малых углов sin a « tg а, получим
eBz
tga = - ^ - . (1.15) mv
Таким образом, для нахождения траектории электронов, дви жущихся в электрических и магнитных полях, необходимо решить системы дифференциальных уравнений (1.7) и (1.10). Решение системы (1.7) возможно, если напряженность электрического поля или потенциала заданы в виде функций координат:
U = U (x,y,z), Ех = |
dU |
Еу |
|
dU |
„ |
dU |
— • |
а Г ’ |
|
-ч |
1 Е.г |
— |
|||
|
|
|
ду |
|
дг |
|
|
В пространстве, свободном от заряда, электрический потенциал |
|||||||
удовлетворяет уравнению Лапласа: |
|
|
|
|
|
||
dzU |
д2U |
d2U |
= |
AU = |
0. |
|
(1.16) |
Их2 |
ду2 |
dz2 |
|
Решение уравнения Лапласа с заданными граничными усло виями позволяет найти потенциал U как функцию координат, а сле довательно, и составляющие напряженности поля. Точное аналити ческое решение уравнения Лапласа возможно лишь в некоторых простейших случаях, поэтому при решении электронно-оптических задач широко используются приближенные и экспериментальные методы нахождения распределения потенциала (см. § 1.4).
Для решения системы (1.10) необходимо знать распределение магнитной индукции В=В(х, у, z). Индукция магнитного поля определяется векторным потенциалом А согласно соотношению
В = rot А. |
(1.17) |
Векторный потенциал в ряде случаев может быть рассчитан (см. § 1.4), но при использовании несимметричных магнитных полей или при наличии в поле ферромагнетиков аналитический расчет становится затруднительным и приходится прибегать к эксперимен тальным методам исследования магнитных полей.
§ 1.3. ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ. ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Первые работы по электронной оптике относятся к 20-м годам нашего столетия, однако предпосылки для ее создания имелись уже в середине XIX в. Более ста лет назад английским ученым Гамильтоном была подмечена аналогия между распространением света и движением материальных частиц в силовом поле. Эта ана
логия настолько значительна, что при рассмотрении движения элект ронов в электрическом поле в ряде случаев оказалось удобным исполь зовать уравнения, определяющие прохождение света сквозь среды с различными оптическими характе ристиками. Так, например, оптиче ский закон преломления
- ^ |
= — , |
(1Л8) |
Sin Р |
tli |
|
где а и р — углы, образуемые пада ющим и преломленным лучами с нормалью к границе раздела двух сред, имеющих показатели прелом ления 11\ И «2,
справедлив также для электронного луча, проходящего из области потенциала Ui в область потенциала U2.
В самом деле, если рассмотреть движение электрона вблизи границы двух сред с .различными потенциалами (рис. 1.4), то не трудно видеть, что составляющая скорости, параллельная поверх ности раздела сред, остается без изменения, а составляющая, пер пендикулярная к этой поверхности, изменяется по величине (уве
личивается при U2>Ui). |
записать |
Равенство составляющих скоростей vlx и v2x можно |
|
в виде |
|
Oisina = y2sinp. |
(1.19) |
Если электрон влетает в область У[ с нулевой начальной ско
ростью, то согласно (1.3): |
|
|
i » i = l /— Uu |
1'2 = У — Uг. |
(1.20) |
' т |
’ т |
|
Подставляя эти значения скоростей в (1.19) |
и сокращая заряд |
|
и массу, получим электронно-оптический закон преломления: |
||
sin a__ |
yU2 |
|
sinp |
yUt |
|
Выражение (1.21) совпадает с (1.18), если предположить, что
в электронной оптике роль показателя преломления играет У U. Точно так же из механического принципа наименьшего дей
ствия
<3 |
(1.22) |
$ 2W mBdt = extr, |
ti
принимая во внимание, что 2Wmmdt = mvds — y2emU ds, можно
получить выражение, аналогичное оптическому принципу Ферма:
ь |
ь |
|
§nds = |
J уи ds = extr, |
(1-23) |
aa
т.e. движение электрона в электрическом поле с некоторым рас пределением потенциала U(x, у, z) аналогично распространению
светового луча в среде с показателем преломления п= YU. Разли
чие размерностей п иY U несущественно, так как при решении опти ческих задач в уравнения всегда входят относительные показатели преломления, являющиеся безразмерными величинами.
Выполнение принципа Ферма в электронной оптике показывает, что заряженные частицы в электрических полях движутся по тра екториям, для которых время, затрачиваемое на перемещение ча стицы между двумя точками, является наименьшим (или наиболь шим), т. е. в электронной оптике из всех возможных траекторий практически осуществляются такие, для которых величина «опти ческого пути» (§tids) оказывается экстремальной.
Таким образом, рассматривая поверхности равного потенциала как преломляющие поверхности оптической среды (поверхности, разделяющие среды с различными показателями преломления), можно, используя законы световой оптики, найти траектории элек тронов в электрических полях.
В магнитном поле сила, действующая на электрический заряд, зависит от величины и направления скорости движения заряжен ной частицы. Поэтому в случае магнитного поля столь далеко идущей аналогии с оптикой не наблюдается. Можно сказать, что магнитное поле с оптической точки зрения является анизотропной средой в отличие от изотропной среды — электрического поля.
Роль показателя преломления в магнитном поле играет вели
чина |
|
п = — (As), |
(1.24) |
т |
|
где А — векторный потенциал, s — единичный вектор касательной к траектории.
Хотя аналогия между световой и электронной оптикой доста точно глубока, необходимо отметить и некоторые существенные
различия, имеющиеся между распространением света и движением заряженных частиц.
Во-первых, энергия электронов, движущихся в электрическом поле, непрерывно меняется, что эквивалентно изменению частоты светового луча по мере его распространения, тогда как энергия фотонов луча света в прозрачной среде (а значит, и частоте коле баний в соответствии с законом W=hv) не меняется.
Во-вторых, показатель преломления в световой оптике меняет ся скачком на границе двух сред с различными показателями пре ломления, в то время как в электронной оптике потенциал, а сле довательно, и показатель преломления, меняется непрерывно от точки к точке. В связи с этим путь светового луча обычно является ломаной, состоящей из отрезков прямых, а траектория электрона представляется плавной кривой.
Уравнение Лапласа (1.16) показывает, что, задавая значения потенциала в некоторых точках пространства, тем самым можно однозначно определить форму эквипотенциальных поверхностей. Из этого вытекает третье отличие между световой и электронной опти кой: в световой оптике форма преломляющих поверхностей и пока затель преломления не связаны между собой; в электронной оптике показатель преломления {Y u ) и форма преломляющих (эквипо
тенциальных) певерхностей в большинстве случаев не могут быть изменены независимо.
Наконец, следует иметь в виду, что показатель преломления в электронной оптике можно изменить в десятки и сотни раз про стым изменением потенциала электродов; в световой оптике пока затель преломления данного оптического элемента постоянен и диапазон возможных значений п невелик (примерно от 1 до 3).
Оптико-механическая аналогия оказала значительное влияние на развитие электронной оптики, так как знание свето-оптических законов позволило наметить пути, по которым следует идти при разработке электронно-оптических систем. Однако указанные выше различия в поведении световых и электронных лучей требуют про явления осторожности в применении этой аналогии.
§1.4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ИЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ
ИМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Как было указано, аналитический расчет электрического поля (решение уравнения Лапласа) может быть выполнен лишь в ряде простейших случаев. Но даже тогда, когда удается получить ана литическое решение, конечные выражения часто оказываются слиш ком громоздкими и мало удобными для практического использо вания.
В качестве примера приведем решение уравнения Лапласа для осесимметричного поля, создаваемого двумя цилиндрами радиуса R с зазором между ними с потенциалами Ut и 1)2 (рис. 1.5).
Уравнение Лапласа в этом случае удобнее решать в цилиндри ческой системе координат, используя метод разделения перемен ных. Выражая U(z, г) как произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:
|
|
|
U(z,r) = |
N(z)M(r), |
|
|
|
(1.25) |
||
получим два уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
d2N |
k2N = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
dz2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.26) |
||
|
|
d2M |
_L |
dM |
|
|
|
|
||
|
|
k2M = 0. |
|
|
|
|||||
|
|
|
dr2 |
|
|
|
||||
|
|
|
r |
dr |
|
|
|
|
|
|
Запишем решения этих уравнений |
|
|
|
|
||||||
|
|
Nh(z) = |
AhS'mkz-}-Bh.coskz, |
1 |
|
|
(1.27) |
|||
|
|
Mh(r) = |
Chlo(kz) + |
DhKo(kr), |
' |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
где / о — модифицированная функ |
|
и\\ |
’ |
|
!J? |
|||||
ция Бесселя первого |
рода нуле |
|
f |
|||||||
|
|
|
||||||||
вого |
порядка; |
Ко— модифициро |
|
|
|
|
|
|||
ванная функция Бесселя |
второго |
|
|
|
|
|
||||
рода |
нулевого |
порядка; |
Ah, Bh, |
|
|
0 |
|
z |
||
Ck, Dk— постоянные |
коэффици |
|
|
1 |
|
|
||||
енты. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
Выражение |
для |
потенциала |
|
|
|
|
||||
найдем интегрированием произве |
Рис. 1.5. К расчету поля двух |
|||||||||
дения |
полученных |
решений |
по |
соосных цилиндров |
||||||
всей области изменения k: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
U(г, г) = |
|j [Ак (k) sin kz + Bh(k) cos kz] X |
|
|
||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X [Cft (k) Iо (kr) + Dh (k) Ко(kz) ] dk. |
|
|
(1.28) |
|||||
Так как функция Ko(kr) обращается в бесконечность |
при г= 0 |
(на оси), а потенциал не может иметь сколь угодно большую ве личину, члены с Ko(kr) следует отбросить. Значения Ah(k), Bh(k), Ch(k) определяются из граничных условий. Окончательно для рас пределения потенциала получается выражение
Ui + Uz |
Uz — Ui °с sin kzlo (kr) |
(1.29). |
|
U(z,r) = |
------------ \ ---------------------uk |
||
2 |
Я |
" klo(kr) |
|
Иногда достаточно знать только распределение потенциала вдоль оси (при г= 0 ). При этом, приняв за независимую перемен-
ную безразмерную величину |=z/R, можно получить более простое выражение:
U i+U 2 , и2- и Г с sinAi |
1 |
■dk. |
(1.30) |
|||
и & ) = |
Я |
I |
/ . ( 4 ) |
|||
|
|
|||||
Второе слагаемое |
в выражении |
(1.30) достаточно хорошо ап |
проксимируется гиперболическим тангенсом. Поэтому для расчетов можно применять приближенное уравнение:
Ut + U2 , |
U2 — U1 |
,(1.31) |
141) |
th(l,315g). |
|
|
л |
|
Приведенный пример показывает, что даже в сравнительно про стом случае аналитическое решение получается довольно громозд ким, поэтому при решении
|
электронно-оптических за |
||||||
|
дач широко используются |
||||||
|
приближенные методы ра |
||||||
|
счета |
и |
эксперименталь |
||||
|
ного |
исследования |
элек |
||||
|
трических полей. |
|
|||||
|
|
Рассмотрим |
метод ко |
||||
|
нечных разностей, в осно |
||||||
|
ве |
которого |
лежит |
заме |
|||
|
на призводных в исход- |
||||||
|
лом уравнении небольши |
||||||
|
ми |
разностями. |
Предпо |
||||
|
ложим, |
что |
необходимо |
||||
|
найти |
распределение по |
|||||
|
тенциала |
в |
пространстве |
||||
|
между |
двумя |
непарал |
||||
Рис. 1.6. Расчет поля методом последо |
лельными пластинами от |
||||||
вательных приближений |
клоняющей системы элек |
||||||
|
троннолучевой |
|
трубки |
||||
|
(рис. |
1.6). |
|
|
|
Разобьем все пространство между пластинами на клетки с рав ными сторонами б. Нетрудно показать, что значение потенциала Ux в точке ху равноотстоящей от точек а, 6, с> d с известными зна чениями потенциалов Uay Иы Uc и Ud, может быть определено как
|
Ua-1- Ub |
|
Uc -\- Ud |
.(1-32) |
|
и х = |
|
|
|
Составим разности: |
|
|
|
|
Ua- U x |
Ux - U b |
Uc — Ux |
Ux - U i |
|
6 |
6 |
* |
6 |
|
При достаточно малых значениях б можно положить, что эти разности приблизительно равны
dU |
dlTi |
dU I |
dU_\ |
И х Iaxt |
дх I хЪ* |
дУ I СXt |
ду I |
X d •
Применяя повторно такую же операцию, получим
( Л , - и , и , - и ь |
iPU \ |
--- 8-------- Г - |
| |
U c - U x Ux - U d |
(1.33) |
&и \ |
бб ду2
Складывая уравнения (1.33), получим в правой части уравне ние Лапласа:
/ |
д2и |
д2и \ |
Ua + Ub + Uc+ Ud — AUX= б2( |
“^ Г |
+ _^ г ) = 0 - (1-34> |
Из (1.34) непосредственно следует (1.32). Решение конечно разностного уравнения может быть выполнено методом последова тельных приближений (методом иттерации).
Задавая граничные значения потенциала на электродах, можно, ориентировочно (на глаз) нанести величины U в точках аи а2, ...>
...,61, &2>.-.,Сь с2, ...,di, d2, ... и подсчитать по (1.32) значения по тенциала в точках хи *2-... Затем, приняв найденные величины Ux за исходные, следует пересчитать значения потенциалов в точках а, Ь, с, d, снова уточнить величину Ux и т. д. Повторяя такой прием несколько раз, можно постепенно приблизиться к точным значе-< ниям потенциала во всей области. Часто 4— 5-е приближение мало отличается от предыдущего, и дальнейшего уточнения не требует ся. Однако иногда может потребоваться более десяти прибли жений.
Указанный метод может быть использован для расчета не толь ко плоских, но и осесимметричных полей (см. § 1.5). В случае осе симметричного поля значение потенциала в точках плоскости, про ходящей через ось системы («меридиональной плоскости»), опре деляется выражением
V. + U b + U . ( l - ± ) + U t( l + ^ )
их = ---------------------------------------- '------------------------ , (1.35)
где R — расстояние точки х от оси системы.
Определив путем последовательных приближений значения по тенциала во всех точках исследуемого поля и соединив точки с одинаковыми потенциалами непрерывными кривыми, получим кар тину эквипотенциальных линий, достаточно полно характеризую щую электронно-оптическую систему. Метод последовательных
приближений, хотя и позволяет сравнительно просто получить кар тину эквипотенциальных линий, однако, особенно при необходи мости изменить форму электродов, их расположение или потенци алы на этих электродах, становится очень трудоемким, так как все расчеты приходится проводить заново. Поэтому при конструи ровании электронно-оптических систем широко используется экспе риментальный метод нахождения картины поля на моделях систе мы в электролитической ванне.
Метод электролитической ванны основан на аналогии между электростатическим полем в вакууме и полем токов в однороднопроводящей жидкости. Электростатическое поле в вакууме описы
вается уравнением Лапласа (1.16) |
с |
граничными условиями |
U= |
|
= Uь Uz |
Un на электродах. Если модель электронно-оптической |
|||
системы |
с теми же потенциалами |
Uь |
02, .... Un на электродах |
по |
грузить в однородную проводящую жидкость с удельной проводи мостью X, не зависящей от координат, то в жидкости начнет про ходить ток, плотность которого
j = ХЕ = — Xgrad U. |
(1.36) |
Если в жидкости в междуэлектродном пространстве нет источ ников или стоков тока, то, очевидно, div j = 0, или
X div grad U = ХД£/ = 0. |
(1-37) |
Иными словами, поле токов в электролите описывается тем же уравнением A i/= 0 (уравнение Лапласа), с теми же граничными условиями, что и электрическое поле в вакууме. Следовательно, распределение потенциала во всех точках электролита в точности совпадает с распределением потенциала в вакууме. Распределение потенциала в электролите можно легко измерить при помощи зон да, погруженного в электролит и соединенного с измерительным прибором. Следует применять измерительный прибор (ламповый вольтметр или осциллограф), не потребляющий тока, так как в противном случае измерительная цепь может изменить распреде ление потенциала в ванне. Необходимым условием является посто янство проводимости электролита. Очевидно, это условие не мо жет быть выполнено при использовании для питания ванны посто янного напряжения из-за неизбежной поляризации электролита, приводящей к изменению концентрации ионов, а следовательно, и проводимости. Поэтому для питания ванны используется перемен ное напряжение. Частота питающего напряжения допускается в пределах 10— 1000 гц\ нижний предел частоты определяется под вижностью ионов электролита: при слишком низкой частоте за полупериод ионы могут заметно сместиться, что приводит к мест ным неоднородностям проводимости; при слишком высокой часто те начинают протекать заметные емкостные токи, которые могут исказить поле в ванне. Для удобства можно питать ванну напря жением промышленной частоты 50 гц. Распространено также пи тание ванны напряжением частоты 400— 800 гц от специального генератора.
Схема установки с электролитической ванной приведена на рис. 1.7.
Индикатором в цепи зонда может служить осциллограф или другой достаточно чувствительный прибор переменного тока. Элек троды обычно изготовляются из железа (технической стали), так как окисление поверхности железа не нарушает нормальной рабо-
ного напряжения
Рис. 1.7. Схема установки с электролитической ванной
ты ванны ввиду высокой проводимости гидроокиси железа, тогда как при использовании, например, алюминия непроводящая пленка окиси может существенно изменить распределение потен циала в ванне.
Поскольку уравнение (1.16) является однородным относительно потенциалов, напряжения, подводимые к электродам модели, по груженной в ванну, можно пропорционально уменьшить (или уве личить) по сравнению с потенциалами электродов моделируемой системы.
Обычно напряжение питания ванны выбирается невысоким (1— 30 в) из соображений техники безопасности и отсутствия замет ного нагрева электролита, так как местный значительный перегрев может привести к изменению проводимости. В качестве электро лита можно использовать обычную водопроводную воду, так как
ее удельная проводимость (~ 1 0 -2 сим/м) достаточно мала по сравнению с удельной проводимостью электродов (7• 106 сим/м).
Особенно удобно моделировать в электролитической ванне пло ские и осесимметричные поля, т. е. поля, в которых потенциал за висит только от двух координат: U=U(x, у) для плоского поля и U=U(z, г) для осесимметричного поля. В таких полях имеются плоскости симметрии: 2=const в плоском поле и -ф = const в осе симметричном поле (меридиональная плоскость, см. § 1.5). Нор мальная составляющая напряженности электрического поля в
Рис. 1.8. Моделирование осесиммет- |
Рис. 1.9. Поле двух соосных цилинд- |
ричного поля в наклонной электро- |
ров |
литической ванне |
|
любой точке указанных плоскостей равна нулю. Следовательно, если рассечь систему электродов плоскостью симметрии и отбро сить часть, лежащую по одну сторону этой плоскости, то поле оставшейся части системы не изхменится. Из условия равенства нулю перпендикулярной к плоскости симметрии составляющей на пряженности электрического поля непосредственно следует, что при погружении модели системы электродов, имеющей указанную плоскость симметрии, в проводящую жидкость ток через эту плос кость протекать не будет. Поэтому при моделировании можно ог раничиться изготовлением лишь части модели, лежащей по одну сторону плоскости симметрии, и при погружении модели в элек тролит совместить плоскость симметрии с поверхностью жидкости. Тогда отсутствующая симметричная часть системы электродов как бы отразится в поверхности раздела электролит — воздух и поле погруженной части электродов будет в точности соответствовать полю, имевшемуся в полной системе.
Такой «метод сечения» при моделировании осесимметричных си стем позволяет ограничиться тонким слоем электролита клиновид ной формы, заключенным между наклонным непроводящим дном мелкой ванны и поверхностью электролита (рис. 1.8).
Возможность замены осесимметричной системы «клином» не посредственно следует из того, что в осесимметричной системе лю бая плоскость, проходящая через ось (меридиональная плоскость), является плоскостью симметрии и при моделировании любая ме ридиональная плоскость может быть заменена плоскостью из ди электрика. В то же время изготовление небольшой части модели