Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

..pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
20.11.2023
Размер:
25.05 Mб
Скачать

Дальнейшее увеличение первеанса невозможно — пучок становится неустойчивым, потенциал на оси спадает до нуля, образуется вир­ туальный катод.

Если осесимметричный пучок не полностью заполняет проводя­ щую трубку (г0< га, где га— внутренний радиус трубки), то потен­ циал на границе пучка оказывается ниже потенциала трубки, т. е. часть падения потенциала приходится на зазор между пучком и внутренней стенкой трубки. Считая, что иоле в зазоре описывается формулой (2.7), оценим величину падения потенциала A U в прост­ ранстве между пучком и трубкой:

ГГ

CL

CL

 

j

1

 

AU = - f Erd r =

f

-------------

.

(2.59)

J

J

1/ 2e

„ r

 

Го

Го

2яео

1/ —

U

 

 

 

 

' m

 

 

Величина U-,/s в формуле (2.7) считалась постоянной (равной

Uo' " ) , так как при выводе этой формулы не учитывалось падение потенциала в пучке. В общем случае U = U(r) и при вычислении ин-, теграла (2.59), строго говоря, эту зависимость необходимо учиты­ вать. Однако расчеты показывают, что потенциал на границе пучка при небольших зазорах [(га— Го)<^г0] сравнительно мало отличает­ ся от потенциала проводящей трубки и в первом приближении в (2.59) можно положить U=Ua. Тогда для падения потенциала в зазоре получается простое выражение:

Д 11 =

-------- 4 = — f — =

-----------1

In — . (2.60)

 

2 я в Л 2 л е , У | — Uа Г>

 

1 т

f *m

 

Разделив почленно (2.60) на Ua, получим относительное изме­ нение потенциала в зазоре:

AU

1

In — =

3,04 •102р In — . (2.61)

 

~Ua

2е W*

го

го

а

 

 

2яео

У т

 

 

Поскольку радиус проводящей трубки большинства реальных приборов СВЧ-диапазона превышает средний радиус пучка в 1,5—

2 раза, In— < 1 и относительное «провисание» потенциала в зазо-

Го

ре при микропервеансах в несколько единиц мка1вг1‘ составляет всего несколько процентов от Ua, т. е. приближенно можно считать потенциал на границе пучка, равным потенциалу проводящей трубки.

Рассмотрим теперь пучок прямоугольного значения, заполняю­ щий проводящую трубку в виде параллелепипеда (рис. 2.12) шири­ ной 2хо и толщиной 2у0.

Допустим, что пучок ленточный (хо^уо) и длинный {z^>yo)- При этом падением потенциала вдоль осей ОХ и 0Z можно пренеб­ речь в сравнении с изменением потенциала по толщине пучка

Рис. 2.12. Ленточный пучок

(вдоль оси 0Y). Распределение потенциала по толщине пучка опи­ сывается одномерным уравнением Пуассона:

d2U р

(2.62)

dy2 е0

Предполагая плотность тока одинаковой в любом поперечном сечении пучка и считая скорости всех электронов параллельными оси 0Z (расширения пучка нет), выразим р через / и U(у) п под­ ставим в (2.62):

d2U

(2.63)

где а =

1

/л — линейная плотность тока.

Двукратное интегрирование уравнения (2.63) в пределах U (U<>— потенциал в средней плоскости) и у |g приводит к выра­ жению

- С/'*) **(£/*/» + 2£/'£)•= ± 2 У о/л у,

(2.64)

позволяющему рассчитать значение потенциала в любой плоскости, перпендикулярной к оси 0Y. Для определения относительного «про­ висания» потенциала воспользуемся граничным условием и\у= Уо=

= Ua, где — потенциал проводящего

параллелепипеда.

После

подстановки U= Ua и у = уо и возведения

уравнения (2.64)

в квад­

рат получим

 

 

 

 

(2.65)

а

Выразим в (2.65) через полный ток / и ширину пучка 0: = //2*о. Тогда

(2.66)

ео I/ —

u

' т

 

и0/иа

а )

6)

Рис. 2.13. Зависимость потенциала от микропервеанса:

а —в средней плоскости пучка, заполняющего проводящий канал; б —на гра­ нице пучка, не заполняющего проводящий канал

Из выражения (2.66) следует, что относительное падение потен­ циала в пучке зависит от первеанса и отношения толщины (2у0) к ширине (2*о) пучка. Чем выше первеанс и чем больше отношение Уо/хо, тем больше относительное падение потенциала в пучке. За­

висимость и0/иа от Р ( — ) «приведена на рис. 2.13, а. Как видно из

рисунка, с ростом первеанса потенциал в средней плоскости падает

и по достижении Р I — \ значения 18,64 •10-6 а/в’ *потенциал UQ

\ Х о /

скачком спадает до нуля — пучок обрывается.

Если ленточный пучок не полностью заполняет проводящий ка­ нал (tjo<ya, где 2уа— толщина канала), то часть падения потен­ циала ложится на зазор между пучком и стенкой канала. На рис.

2.13, б показана зависимость отношения потенциала

на границе

пучка

UUo к потенциалу проводящего канала Ua от

первеанса

Р |

j при различных величинах заполнения канала Уо/Уа•Из ри­

сунка видно, что при неслишком больших первеансах, отношении х0/уо не меньше 10 (ленточный пучок) и заполнении Уо1Уа>0$ по­ тенциал границы пучка отличается от потенциала проводящего ка­ нала не более чем на несколько процентов. Приведенная оценка показывает, что и в случае ленточного пучка, не полностью запол­ няющего проводящий канал, падение потенциала в зазоре невели­ ко, и во многих практических случаях им можно пренебречь.

Аналитическое и экспериментальное исследования интенсивных электронных потоков различных конфигураций показывают, что в любом случае пучок в пространстве, свободном от внешних полей, неограниченно расширяется. Ограничение расплывания внешними полями снижает потенциал в самом пучке и при достаточно боль­ ших первеансах пучок становится неустойчивым, образуется вир­ туальный катод, токопрохождение нарушается. Для любого интен­ сивного пучка существует предельное значение коэффициента про­ странственного заряда, превышение которого приводит к обрыву пучка.

§2.2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

ИПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

Аналитическое решение'задач о распределении потенциала, нахож­ дении формы электронных траекторий в интенсивных пучках с уче­ том пространственного заряда выполнимо далеко не во всех практи­ ческих важных случаях и то лишь при введении ряда упрощающих допущений (см. § 2.1). Поэтому при исследовании электроста­ тических полей с учетом пространственного заряда широко приме­ няются методы моделирования таких полей в электролитической ванне и графо-аналитические методы построения траекторий.

Наибольшее распространение получил предложенный В. С. Лукошковым метод моделирования электростатического поля с уче­ том пространственного заряда при помощи электролитической ван­ ны с токовводящими элементами. Рассмотрим этот метод на при­ мере двумерной (плоской) задачи. Распределение потенциала в плоском поле при наличии пространственного заряда описывается уравнением Пуассона:

dW

dW _

р(х,у)

дхг

дуг

(2.67)

во

где р(х, у) — плотность пространственного заряда.

Сущность метода В. С. Лукошкова состоит в имитации распре­ деленного в объеме пространственного заряда токами, вводимыми в электролит при помощи придонных токовводящих элементов (рис. 2.14).

Выделим в тонком поверхностном слое электролита небольшую ^Ощадку As и предположим, что в нее извне вводится ток / = ^ ( х , у)As. Используя известные выражения для тока

/ = jds

а

и Плотности тока

! = оЕ,

a — проводимость электролита,

<§>oEndl^=j (х, y)'&s. (2.68)

Здесь Еп— нормальная к пло­ щадке As составляющая напря­ женности поля, и интегрирование ведется по замкнутому контуру, ограничивающему площадку As.

Для плоской задачи

можно составить уравнение

1т , 3,1

ШИJJJJ ШИП

Рис. 2.14. Придонные токовводяшие элементы

oE„dl

lim

------ = div (*£).

(2.69)

AS1-*-О

 

 

Из (2.68) и (2.69) получаем

div(oE) = j(x, у).

Представим Е как — grad U. Тогда

div (a grad U ) = — j (x, у) .

(2.70)

При постоянстве проводимости электролита а=Оо (const) урав­ нение (2.70) принимает вид

d*U

&U _

j(x,y)

дх2

ду2

(2.71)

ао

т. е. совпадает с уравнением Пуассона (2.67) в случае

i (x , y ) Р (Х, у )

Со £о

Таким образом, показана принципиальная возможность моде­ лирования распределенного объемного заряда током, вводимым в

электролит. Однако, строго говоря, непрерывное распределение плотности объемного заряда возможно смоделировать лишь непре­ рывно распределенными источниками тока, что приводит к необ­ ходимости использовать для ввода тока в электролит бесконечное множество бесконечно малых токовводящих элементов. Конечно, такое решение практически неосуществимо. При конечном числе тонких (игольчатых) токовводящих элементов, доходящих до по­

верхности электролита, вблизи каждого токовводящего элемента создается резкий подъем потенциала, соответствующий логарифми­ ческой бесконечности потенциала в центре бесконечно тонкой игол­ ки, т. е. полученное распределение потенциала будет весьма дале­ ким от истинного, имеющегося при непрерывно распределенной плотности объемного заряда.

Это затруднение можно преодолеть, как это теоретически пока­ зал и экспериментально подтвердил В. С. Лукошков, с помощью ко­ ротких придонных токовводящих элементов, под которыми имеется еще достаточно толстый слой электролита. При введении тока у дна ванны он «растекается» в толще электролита во все стороны, создавая на поверхности электролита «облако» непрерывно распре­ деленных источников. В этом случае с достаточной для большин­ ства практических задач степенью точности удается смоделировать на поверхности электролита непрерывное распределение источни­ ков, составленное из «облаков», создаваемых отдельными токовво­ дящими элементами. Конечно, небольшая «зарифленность» потен­ циала на поверхности электролита, вызванная дискретностью то­ ковводящих элементов, остается, однако погрешность при этом не превышает общую погрешность метода электролитической ванны.

При практическом использовании метода придонных токовводя­ щих элементов необходимо установить соответствие между плот­ ностью пространственного заряда в исследуемом электронном пото­ ке и величинами токов, вводимых в электролит через токовводящие элементы. Обозначим объем электролита в ванне, обслуживае­ мый током AZ-го токовводящего элемента, через vn. Так как токо­ вводящие элементы обычно располагаются в углах квадратной сет­ ки, ип является объемом прямой или наклонной (при моделирова­ нии осесимметричных полей) призмы с квадратным основанием. Аналогичный объем с распределенной плотностью объемного заря­ да р„ моделируемого электронного потока обозначим Уп. Тогда, очевидно, в объеме Vn будет содержаться заряд gn=pnVn. Выра­ зим плотность объемного заряда через плотность тока и скорость электронов в соответствующей точке электронного потока:

(2.72)

где Un— потенциал в точке электронного потока, соответствую­ щий в модели n-му токовводящему элементу.

Введем понятие «трубка тока» в электронном потоке. Предпо­ лагая поток ламинарным, выделим в нем канал, ограниченный тра­ екториями электронов, выходящих с контура площадки SK на ка­ тоде. Этот канал и будем называть трубкой тока. Очевидно, в лю­ бом поперечном сечении трубки полный ток неизменен:

(2.73)

где /к — плотность тока на катоде; Sn— площадь поперечного се­ чения трубки тока.

Для дальнейших расчетов

введем безразмерный

потенциал

Фn = UnlUa, где — опорное

напряжение, в качестве

которого в

большинстве случаев удобно выбрать наибольшую разность потен­ циалов между электродами моделируемой системы (обычно анод­ ное напряжение). Безразмерный потенциал одинаков в соответст­ венных точках оригинала и модели.

При моделировании электронно-оптических систем в электроли­ тической ванне, как было указано в § 1.4, целесообразно использо­ вать увеличенную модель электродов и пропорционально изменен­ ные (обычно уменьшенные) по отношению к напряжениям оригина­ лов напряжения электродов модели. Введем масштабные множители

линейных

размеров

kt и напряжений kv. Тогда линейные разме­

ры исследуемой (реальной) системы L будут связаны с линейными

размерами

модели

I соотношением L— kil, а площади и объемы

оригинала и модели соотношениями S= k?s, V—k?v. Электрическое поле Е оригинала будет связано с полем £ м в соответствующей точке модели выражением Е= (ku/ki)EM.

И, наконец, введем размерный коэффициент соответствия, свя­ зывающий ток 1(a), вводимый в электролит, с зарядом в междуэлектродном пространстве исследуемой системы согласно уравне­ нию (2.72). Используя известные выражения для тока в электроли­

те через площадку As: A/=<JMAS и д л я заряда в

вакууме Aq=

= eo£AS, определим коэффициент соответствия

 

__А / ___a0EMAs

 

Aq

BQEAS

 

или, учитывая масштабные множители для Е и AS,

 

k =

op

(2.74)

 

80kjjki

 

Тогда ток 1п, вводимый через п-й придонный токовводящий элемент, моделирующий объемный заряд qn, сосредоточенный в объеме Vn оригинала, получится умножением выражения (2.73) на коэффициент соответствия (2.74). Используя соотношение (2.74) и безразмерный потенциал Ф, окончательно получим

 

Оо/к&г

/ SK

Vn \ __

I п

k(]n

* s ,

1/ фТ /

 

п/ 2eku

\ sn

y a v

 

ео |/ --------

 

 

 

т

 

 

 

= (To«a(l,91-105- ^ - ) ( —

- ^ т )

(2.75)

V

а

' \ sn

У Ф „'

 

 

 

4

 

где ua = UJku— опорное напряжение в электролитической ванне.

В уравнении (2.75) множитель ооиа является постоянным при решении всей задачи (при условии постоянства электропроводно­ сти ао), второй множитель (выражение, стоящее в скобках) пос­ тоянен для данной трубки тока в данном приближении, третий

множитель (sKvn/snУФ„) вычисляется для каждого (я-го токо­

вводящего элемента.

Практическое решение задач о распределении потенциала при наличии пространственного заряда ведется методом последова­ тельных приближений. Необходимость использования метода по­ следовательных приближений определяется тем, что вначале не из­ вестно ни распределение потенциала, ни распределение пространст­ венного заряда, ни ход электронных траекторий, ограничивающих трубки тока. Поэтому в качестве нулевого приближения обычным методом находят распределение потенциала без пространственного заряда. Затем одним из графо-аналитических методов или при по­ мощи траектографа строят траектории электронов и весь электрон­ ный поток разделяют на трубки тока. После этого рассчитывают плотность тока на катоде.

Наиболее просто расчет можно выполнить по известному зако­ ну степени 3/г для отдельных участков катода, считая пространст­ во между выбранным участком катода и ближайшей к катоду най­ денной, примерно параллельной поверхности катода, эквипотенци­ альной поверхностью междуэлектродным пространством плоского диода. С учетом найденной величины /„ и определенного графиче­ ски расширения трубки тока sn/sKпо формуле (2.75) рассчитывают значение токов токовводящих элементов, обслуживающих выбран­ ную трубку тока. Аналогично находят токи /„ токовводящих эле­ ментов, обслуживающих все трубки тока, на которые разбит элект­ ронный поток. Рассчитанные токи /„ вводят в соответствующие токовводящие элементы, снова снимают эквипотенциальные линии и строят электронные траектории. Таким образом, получается пер­ вое приближение.

По данным первого приближения с учетом изменения распре­ деления потенциала и траекторий электронов (а следовательно, и трубок тока) пересчитывают токи токовводящих элементов, уста­ навливают согласно расчету токи / п, находят эквипотенциали и траектории электронов второго приближения и т. д. Процесс про­ должается до тех пор, пока распределение потенциала, полученное в я-м приближении, будет отличаться от полученного в (п— 1)-м приближении не более чем на величину, соответствующую прису­ щей методу электролитической ванны общей погрешности. В боль­ шинстве случаев бывает достаточно 4—5 приближений.

Наиболее трудоемкими этапами решения является расчет то­ ков токовводящих элементов и графо-аналитическое построение траекторий. Поэтому при использовании метода последовательных приближений весьма целесообразным является автоматическое построение траекторий с помощью траектографов. Схема электро­

не

литической ванны с токовводящими элементами приведена на 1>ис. 2.15.

Для установки заданных величин токов токовводящих элемен­ тов последовательно с каждым из них включена цепочка из трех

резисторов, причем два

переменных

резистора

(Ri

и R2) служат

для регулирования величины тока

токовводящего

элемента, а

третье, калиброванное

сопротивление

(о ) — для

измерения тока

/ п по величине падения

напряжения на этом резисторе, поскольку

измерение малых переменных напряжений может быть выполнено достаточно точно, например, при помощи лампового вольтметра.

Электролитическая ванна с придонными токовводящими элемен­ тами может быть использована и при моделировании осесимметрич-

Рис. 2.15. Схема электролитической ванны с токовводящими элементами

ных электрических полей с учетом пространственного заряда. В этом случае дно ванны делается наклонным. Опыт эксплуатации электролитической ванны с токовводящими элементами показывает, что при тщательном проведении эксперимента погрешность в опре­ делении распределения потенциала с учетом пространственного за­ ряда может быть не более 1%, что вполне допустимо в большинстве практических случаев.

Второй метод моделирования электростатического поля с уче­ том пространственного заряда был предложен французским ученым Р. Муссон-Женоном и развит в Советском Союзе В. М. Брейтманом. По этому методу, пригодному для решения двумерных и осе­ симметричных задач, искажение поля пространственным зарядом имитируется изменением толщины слоя электролита в междуэлектронном пространстве модели, погруженной в электролитическую ванну. Изменение толщины слоя электролита в ванне достигается деформацией дна, поэтому этот метод часто называют методом электролитической ванны с профилированным дном.

Рис. 2.16. Электролитическая ванна с профилированным дном

Сущность метода электролитической ванны с профилированным дном рассмотрим на примере моделирования плоского поля. Как было показано (см. § 1.4), распределение потенциала в электроли­ те плоской электролитической ванны описывается двумерным урав­ нением Лапласа (1.37). Предположим теперь, что дно ванны дефор­

мировано так, что слой электроли­

 

 

 

 

та между электродами модели име­

J

_________ t lx

.

ет переменную толщину

(рис. 2.16).

 

 

 

 

В этом случае линии тока в элек­

L_

/ ------

м _ с i

тролите

будут

огибать

неровности

! ------ ' ■■

дна,

т.

е. появятся

составляющие

 

1!

1

 

плотности тока Д, перпендикуляр­

 

i

!

 

 

i

1

 

ные

к

поверхности

электролита.

--------К

 

 

Появление этих составляющих объ­

 

1

 

 

 

И/<РЭ

'

ясняется

наличием компонент элек­

 

трического поля Ег, перпендикуляр­

 

1V

 

 

 

 

 

ных к плоскости X0Y (поверхности

 

J

 

 

электролита),

меняющихся

в соот­

 

\

<РЭ

V

ветствии с изменением профиля дна.

 

 

 

Таким образом, при

изменяющейся

 

 

 

 

толщине

слоя

электролита

в объе-

ме ванны существует отличная от нуля производная

дЕг

&U

Ф О,

дг

~д&

и распределение потенциала описывается трехмерным уравнением Лапласа

дЮ d2U dW

(2.76)

Тх* д у ^ И я

Последнее слагаемое в общем случае является функцией коор динат х, у и толщины (глубины) h слоя электролита:

дЮ

дЕг

= — f(x, У, h).

дг2

дг

Подставив последнее равенство в (2.76), получим уравнение, совпадающее с двумерным уравнением Пуассона (2.67) при

f(x,y, h) = Р (х,у)

ео

Таким образом, если дно ванны деформировано так, что в лю­ бой точке на поверхности электролита функция f(x, у, h) совпадает с функцией распределения плотности пространственного наряда

Соседние файлы в папке книги