книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdfДальнейшее увеличение первеанса невозможно — пучок становится неустойчивым, потенциал на оси спадает до нуля, образуется вир туальный катод.
Если осесимметричный пучок не полностью заполняет проводя щую трубку (г0< га, где га— внутренний радиус трубки), то потен циал на границе пучка оказывается ниже потенциала трубки, т. е. часть падения потенциала приходится на зазор между пучком и внутренней стенкой трубки. Считая, что иоле в зазоре описывается формулой (2.7), оценим величину падения потенциала A U в прост ранстве между пучком и трубкой:
ГГ
CL |
CL |
|
j |
1 |
|
AU = - f Erd r = |
f |
------------- |
. |
(2.59) |
|
J |
J |
„ |
1/ 2e |
„ r |
|
Го |
Го |
2яео |
1/ — |
U |
|
|
|
|
' m |
|
|
Величина U-,/s в формуле (2.7) считалась постоянной (равной
Uo' " ) , так как при выводе этой формулы не учитывалось падение потенциала в пучке. В общем случае U = U(r) и при вычислении ин-, теграла (2.59), строго говоря, эту зависимость необходимо учиты вать. Однако расчеты показывают, что потенциал на границе пучка при небольших зазорах [(га— Го)<^г0] сравнительно мало отличает ся от потенциала проводящей трубки и в первом приближении в (2.59) можно положить U=Ua. Тогда для падения потенциала в зазоре получается простое выражение:
Д 11 = |
-------- 4 = — f — = |
-----------1 |
In — . (2.60) |
|
2 я в Л 2 л е , У | — Uа Г> |
||
|
1 т |
f *m |
|
Разделив почленно (2.60) на Ua, получим относительное изме нение потенциала в зазоре:
AU |
1 |
In — = |
3,04 •102р In — . (2.61) |
|
■— |
||
~Ua |
2е W* |
го |
го |
а |
|
|
|
2яео |
У т |
|
|
Поскольку радиус проводящей трубки большинства реальных приборов СВЧ-диапазона превышает средний радиус пучка в 1,5—
2 раза, In— < 1 и относительное «провисание» потенциала в зазо-
Го
ре при микропервеансах в несколько единиц мка1вг1‘ составляет всего несколько процентов от Ua, т. е. приближенно можно считать потенциал на границе пучка, равным потенциалу проводящей трубки.
Рассмотрим теперь пучок прямоугольного значения, заполняю щий проводящую трубку в виде параллелепипеда (рис. 2.12) шири ной 2хо и толщиной 2у0.
Допустим, что пучок ленточный (хо^уо) и длинный {z^>yo)- При этом падением потенциала вдоль осей ОХ и 0Z можно пренеб речь в сравнении с изменением потенциала по толщине пучка
Рис. 2.12. Ленточный пучок
(вдоль оси 0Y). Распределение потенциала по толщине пучка опи сывается одномерным уравнением Пуассона:
d2U р
(2.62)
dy2 е0
Предполагая плотность тока одинаковой в любом поперечном сечении пучка и считая скорости всех электронов параллельными оси 0Z (расширения пучка нет), выразим р через / и U(у) п под ставим в (2.62):
d2U
(2.63)
где а = |
1 |
/л — линейная плотность тока. |
Двукратное интегрирование уравнения (2.63) в пределах U (U<>— потенциал в средней плоскости) и у |g приводит к выра жению
- С/'*) **(£/*/» + 2£/'£)•= ± 2 У о/л у, |
(2.64) |
позволяющему рассчитать значение потенциала в любой плоскости, перпендикулярной к оси 0Y. Для определения относительного «про висания» потенциала воспользуемся граничным условием и\у= Уо=
= Ua, где Uа— потенциал проводящего |
параллелепипеда. |
После |
подстановки U= Ua и у = уо и возведения |
уравнения (2.64) |
в квад |
рат получим |
|
|
|
|
(2.65) |
а
Выразим /л в (2.65) через полный ток / и ширину пучка 2х0: /л = //2*о. Тогда
(2.66)
ео I/ — |
u |
' т |
|
и0/иа
а ) |
6) |
Рис. 2.13. Зависимость потенциала от микропервеанса:
а —в средней плоскости пучка, заполняющего проводящий канал; б —на гра нице пучка, не заполняющего проводящий канал
Из выражения (2.66) следует, что относительное падение потен циала в пучке зависит от первеанса и отношения толщины (2у0) к ширине (2*о) пучка. Чем выше первеанс и чем больше отношение Уо/хо, тем больше относительное падение потенциала в пучке. За
висимость и0/иа от Р ( — ) «приведена на рис. 2.13, а. Как видно из
рисунка, с ростом первеанса потенциал в средней плоскости падает
и по достижении Р I — \ значения 18,64 •10-6 а/в’ *потенциал UQ
\ Х о /
скачком спадает до нуля — пучок обрывается.
Если ленточный пучок не полностью заполняет проводящий ка нал (tjo<ya, где 2уа— толщина канала), то часть падения потен циала ложится на зазор между пучком и стенкой канала. На рис.
2.13, б показана зависимость отношения потенциала |
на границе |
|
пучка |
UUo к потенциалу проводящего канала Ua от |
первеанса |
Р | |
j при различных величинах заполнения канала Уо/Уа•Из ри |
сунка видно, что при неслишком больших первеансах, отношении х0/уо не меньше 10 (ленточный пучок) и заполнении Уо1Уа>0$ по тенциал границы пучка отличается от потенциала проводящего ка нала не более чем на несколько процентов. Приведенная оценка показывает, что и в случае ленточного пучка, не полностью запол няющего проводящий канал, падение потенциала в зазоре невели ко, и во многих практических случаях им можно пренебречь.
Аналитическое и экспериментальное исследования интенсивных электронных потоков различных конфигураций показывают, что в любом случае пучок в пространстве, свободном от внешних полей, неограниченно расширяется. Ограничение расплывания внешними полями снижает потенциал в самом пучке и при достаточно боль ших первеансах пучок становится неустойчивым, образуется вир туальный катод, токопрохождение нарушается. Для любого интен сивного пучка существует предельное значение коэффициента про странственного заряда, превышение которого приводит к обрыву пучка.
§2.2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
ИПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
Аналитическое решение'задач о распределении потенциала, нахож дении формы электронных траекторий в интенсивных пучках с уче том пространственного заряда выполнимо далеко не во всех практи ческих важных случаях и то лишь при введении ряда упрощающих допущений (см. § 2.1). Поэтому при исследовании электроста тических полей с учетом пространственного заряда широко приме няются методы моделирования таких полей в электролитической ванне и графо-аналитические методы построения траекторий.
Наибольшее распространение получил предложенный В. С. Лукошковым метод моделирования электростатического поля с уче том пространственного заряда при помощи электролитической ван ны с токовводящими элементами. Рассмотрим этот метод на при мере двумерной (плоской) задачи. Распределение потенциала в плоском поле при наличии пространственного заряда описывается уравнением Пуассона:
dW |
dW _ |
р(х,у) |
дхг |
дуг |
(2.67) |
во |
где р(х, у) — плотность пространственного заряда.
Сущность метода В. С. Лукошкова состоит в имитации распре деленного в объеме пространственного заряда токами, вводимыми в электролит при помощи придонных токовводящих элементов (рис. 2.14).
Выделим в тонком поверхностном слое электролита небольшую ^Ощадку As и предположим, что в нее извне вводится ток / = ^ ( х , у)As. Используя известные выражения для тока
/ = jds
а
и Плотности тока
! = оЕ,
a — проводимость электролита,
<§>oEndl^=j (х, y)'&s. (2.68)
Здесь Еп— нормальная к пло щадке As составляющая напря женности поля, и интегрирование ведется по замкнутому контуру, ограничивающему площадку As.
Для плоской задачи
можно составить уравнение
1т , 3,1
ШИJJJJ ШИП
Рис. 2.14. Придонные токовводяшие элементы
<£ oE„dl
lim |
------ = div (*£). |
(2.69) |
AS1-*-О |
|
|
Из (2.68) и (2.69) получаем
div(oE) = j(x, у).
Представим Е как — grad U. Тогда
div (a grad U ) = — j (x, у) . |
(2.70) |
При постоянстве проводимости электролита а=Оо (const) урав нение (2.70) принимает вид
d*U |
&U _ |
j(x,y) |
дх2 |
ду2 |
(2.71) |
ао |
т. е. совпадает с уравнением Пуассона (2.67) в случае
i (x , y ) Р (Х, у )
Со £о
Таким образом, показана принципиальная возможность моде лирования распределенного объемного заряда током, вводимым в
электролит. Однако, строго говоря, непрерывное распределение плотности объемного заряда возможно смоделировать лишь непре рывно распределенными источниками тока, что приводит к необ ходимости использовать для ввода тока в электролит бесконечное множество бесконечно малых токовводящих элементов. Конечно, такое решение практически неосуществимо. При конечном числе тонких (игольчатых) токовводящих элементов, доходящих до по
верхности электролита, вблизи каждого токовводящего элемента создается резкий подъем потенциала, соответствующий логарифми ческой бесконечности потенциала в центре бесконечно тонкой игол ки, т. е. полученное распределение потенциала будет весьма дале ким от истинного, имеющегося при непрерывно распределенной плотности объемного заряда.
Это затруднение можно преодолеть, как это теоретически пока зал и экспериментально подтвердил В. С. Лукошков, с помощью ко ротких придонных токовводящих элементов, под которыми имеется еще достаточно толстый слой электролита. При введении тока у дна ванны он «растекается» в толще электролита во все стороны, создавая на поверхности электролита «облако» непрерывно распре деленных источников. В этом случае с достаточной для большин ства практических задач степенью точности удается смоделировать на поверхности электролита непрерывное распределение источни ков, составленное из «облаков», создаваемых отдельными токовво дящими элементами. Конечно, небольшая «зарифленность» потен циала на поверхности электролита, вызванная дискретностью то ковводящих элементов, остается, однако погрешность при этом не превышает общую погрешность метода электролитической ванны.
При практическом использовании метода придонных токовводя щих элементов необходимо установить соответствие между плот ностью пространственного заряда в исследуемом электронном пото ке и величинами токов, вводимых в электролит через токовводящие элементы. Обозначим объем электролита в ванне, обслуживае мый током AZ-го токовводящего элемента, через vn. Так как токо вводящие элементы обычно располагаются в углах квадратной сет ки, ип является объемом прямой или наклонной (при моделирова нии осесимметричных полей) призмы с квадратным основанием. Аналогичный объем с распределенной плотностью объемного заря да р„ моделируемого электронного потока обозначим Уп. Тогда, очевидно, в объеме Vn будет содержаться заряд gn=pnVn. Выра зим плотность объемного заряда через плотность тока и скорость электронов в соответствующей точке электронного потока:
(2.72)
где Un— потенциал в точке электронного потока, соответствую щий в модели n-му токовводящему элементу.
Введем понятие «трубка тока» в электронном потоке. Предпо лагая поток ламинарным, выделим в нем канал, ограниченный тра екториями электронов, выходящих с контура площадки SK на ка тоде. Этот канал и будем называть трубкой тока. Очевидно, в лю бом поперечном сечении трубки полный ток неизменен:
(2.73)
где /к — плотность тока на катоде; Sn— площадь поперечного се чения трубки тока.
Для дальнейших расчетов |
введем безразмерный |
потенциал |
Фn = UnlUa, где Uа— опорное |
напряжение, в качестве |
которого в |
большинстве случаев удобно выбрать наибольшую разность потен циалов между электродами моделируемой системы (обычно анод ное напряжение). Безразмерный потенциал одинаков в соответст венных точках оригинала и модели.
При моделировании электронно-оптических систем в электроли тической ванне, как было указано в § 1.4, целесообразно использо вать увеличенную модель электродов и пропорционально изменен ные (обычно уменьшенные) по отношению к напряжениям оригина лов напряжения электродов модели. Введем масштабные множители
линейных |
размеров |
kt и напряжений kv. Тогда линейные разме |
ры исследуемой (реальной) системы L будут связаны с линейными |
||
размерами |
модели |
I соотношением L— kil, а площади и объемы |
оригинала и модели соотношениями S= k?s, V—k?v. Электрическое поле Е оригинала будет связано с полем £ м в соответствующей точке модели выражением Е= (ku/ki)EM.
И, наконец, введем размерный коэффициент соответствия, свя зывающий ток 1(a), вводимый в электролит, с зарядом в междуэлектродном пространстве исследуемой системы согласно уравне нию (2.72). Используя известные выражения для тока в электроли
те через площадку As: A/=<J0£ MAS и д л я заряда в |
вакууме Aq= |
|
= eo£AS, определим коэффициент соответствия |
|
|
__А / ___a0EMAs |
|
|
Aq |
BQEAS |
|
или, учитывая масштабные множители для Е и AS, |
|
|
k = |
op |
(2.74) |
|
||
80kjjki |
|
Тогда ток 1п, вводимый через п-й придонный токовводящий элемент, моделирующий объемный заряд qn, сосредоточенный в объеме Vn оригинала, получится умножением выражения (2.73) на коэффициент соответствия (2.74). Используя соотношение (2.74) и безразмерный потенциал Ф, окончательно получим
|
Оо/к&г |
/ SK |
Vn \ __ |
I п |
k(]n — |
* s , |
1/ фТ / |
|
п/ 2eku |
\ sn |
y a v |
|
ео |/ --------Uа |
|
|
|
|
т |
|
|
|
= (To«a(l,91-105- ^ - ) ( — |
- ^ т ) |
(2.75) |
||
V |
а |
' \ sn |
У Ф „' |
|
|
|
4 |
|
где ua = UJku— опорное напряжение в электролитической ванне.
В уравнении (2.75) множитель ооиа является постоянным при решении всей задачи (при условии постоянства электропроводно сти ао), второй множитель (выражение, стоящее в скобках) пос тоянен для данной трубки тока в данном приближении, третий
множитель (sKvn/snУФ„) вычисляется для каждого (я-го токо
вводящего элемента.
Практическое решение задач о распределении потенциала при наличии пространственного заряда ведется методом последова тельных приближений. Необходимость использования метода по следовательных приближений определяется тем, что вначале не из вестно ни распределение потенциала, ни распределение пространст венного заряда, ни ход электронных траекторий, ограничивающих трубки тока. Поэтому в качестве нулевого приближения обычным методом находят распределение потенциала без пространственного заряда. Затем одним из графо-аналитических методов или при по мощи траектографа строят траектории электронов и весь электрон ный поток разделяют на трубки тока. После этого рассчитывают плотность тока на катоде.
Наиболее просто расчет можно выполнить по известному зако ну степени 3/г для отдельных участков катода, считая пространст во между выбранным участком катода и ближайшей к катоду най денной, примерно параллельной поверхности катода, эквипотенци альной поверхностью междуэлектродным пространством плоского диода. С учетом найденной величины /„ и определенного графиче ски расширения трубки тока sn/sKпо формуле (2.75) рассчитывают значение токов токовводящих элементов, обслуживающих выбран ную трубку тока. Аналогично находят токи /„ токовводящих эле ментов, обслуживающих все трубки тока, на которые разбит элект ронный поток. Рассчитанные токи /„ вводят в соответствующие токовводящие элементы, снова снимают эквипотенциальные линии и строят электронные траектории. Таким образом, получается пер вое приближение.
По данным первого приближения с учетом изменения распре деления потенциала и траекторий электронов (а следовательно, и трубок тока) пересчитывают токи токовводящих элементов, уста навливают согласно расчету токи / п, находят эквипотенциали и траектории электронов второго приближения и т. д. Процесс про должается до тех пор, пока распределение потенциала, полученное в я-м приближении, будет отличаться от полученного в (п— 1)-м приближении не более чем на величину, соответствующую прису щей методу электролитической ванны общей погрешности. В боль шинстве случаев бывает достаточно 4—5 приближений.
Наиболее трудоемкими этапами решения является расчет то ков токовводящих элементов и графо-аналитическое построение траекторий. Поэтому при использовании метода последовательных приближений весьма целесообразным является автоматическое построение траекторий с помощью траектографов. Схема электро
не
литической ванны с токовводящими элементами приведена на 1>ис. 2.15.
Для установки заданных величин токов токовводящих элемен тов последовательно с каждым из них включена цепочка из трех
резисторов, причем два |
переменных |
резистора |
(Ri |
и R2) служат |
для регулирования величины тока |
токовводящего |
элемента, а |
||
третье, калиброванное |
сопротивление |
(о ) — для |
измерения тока |
|
/ п по величине падения |
напряжения на этом резисторе, поскольку |
измерение малых переменных напряжений может быть выполнено достаточно точно, например, при помощи лампового вольтметра.
Электролитическая ванна с придонными токовводящими элемен тами может быть использована и при моделировании осесимметрич-
Рис. 2.15. Схема электролитической ванны с токовводящими элементами
ных электрических полей с учетом пространственного заряда. В этом случае дно ванны делается наклонным. Опыт эксплуатации электролитической ванны с токовводящими элементами показывает, что при тщательном проведении эксперимента погрешность в опре делении распределения потенциала с учетом пространственного за ряда может быть не более 1%, что вполне допустимо в большинстве практических случаев.
Второй метод моделирования электростатического поля с уче том пространственного заряда был предложен французским ученым Р. Муссон-Женоном и развит в Советском Союзе В. М. Брейтманом. По этому методу, пригодному для решения двумерных и осе симметричных задач, искажение поля пространственным зарядом имитируется изменением толщины слоя электролита в междуэлектронном пространстве модели, погруженной в электролитическую ванну. Изменение толщины слоя электролита в ванне достигается деформацией дна, поэтому этот метод часто называют методом электролитической ванны с профилированным дном.
Сущность метода электролитической ванны с профилированным дном рассмотрим на примере моделирования плоского поля. Как было показано (см. § 1.4), распределение потенциала в электроли те плоской электролитической ванны описывается двумерным урав нением Лапласа (1.37). Предположим теперь, что дно ванны дефор
мировано так, что слой электроли
|
|
|
|
та между электродами модели име |
||||||
J |
_________ t lx |
. |
ет переменную толщину |
(рис. 2.16). |
||||||
|
|
|
|
В этом случае линии тока в элек |
||||||
L_ |
— |
/ ------ |
м _ с i |
тролите |
будут |
огибать |
неровности |
|||
~П |
! ------ ' ■■ |
дна, |
т. |
е. появятся |
составляющие |
|||||
|
1! |
1 |
|
плотности тока Д, перпендикуляр |
||||||
|
i |
! |
|
|||||||
|
i |
1 |
|
ные |
к |
поверхности |
электролита. |
|||
--------К |
|
|
Появление этих составляющих объ |
|||||||
|
1 |
|
|
|||||||
|
И/<РЭ |
' |
ясняется |
наличием компонент элек |
||||||
|
трического поля Ег, перпендикуляр |
|||||||||
|
1V |
|
|
|||||||
|
|
|
ных к плоскости X0Y (поверхности |
|||||||
|
J |
|
|
электролита), |
меняющихся |
в соот |
||||
|
\ |
<РЭ |
V |
ветствии с изменением профиля дна. |
||||||
|
|
|
Таким образом, при |
изменяющейся |
||||||
|
|
|
|
толщине |
слоя |
электролита |
в объе- |
ме ванны существует отличная от нуля производная
дЕг |
&U |
Ф О, |
дг |
~д& |
и распределение потенциала описывается трехмерным уравнением Лапласа
дЮ d2U dW
(2.76)
Тх* д у ^ И я
Последнее слагаемое в общем случае является функцией коор динат х, у и толщины (глубины) h слоя электролита:
дЮ |
дЕг |
= — f(x, У, h). |
дг2 |
дг |
Подставив последнее равенство в (2.76), получим уравнение, совпадающее с двумерным уравнением Пуассона (2.67) при
f(x,y, h) = Р (х,у)
ео
Таким образом, если дно ванны деформировано так, что в лю бой точке на поверхности электролита функция f(x, у, h) совпадает с функцией распределения плотности пространственного наряда