Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

..pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
20.11.2023
Размер:
25.05 Mб
Скачать

которое дает возможность рассчитать осесимметричное электри­ ческое поле, если известно распределение потенциала вдоль оси UQ(Z).

В электроннолучевых приборах часто используются узкие приосевые пучки электронов. В этих случаях нет необходимости ис­ следовать поле вдали от оси системы, так как на формирование электронного пучка оказывает влияние лишь приосевая (паракси­ альная) область поля. Оставаясь в рамках параксиальной оптики, вместо полного разложения потенциала (1.53) с достаточной сте­ пенью точности можно ограничиться лишь двумя первыми членами ряда, т. е. рассматривать распределение потенциала вблизи оси системы:

и (г, г) « и0(г) — Y U'o (z) г2.

(1.54)

Осесимметричное поле в приосевой области обладает рядом ин­ тересных особенностей. Продифференцируем (1.54) по г:

^ = - 1 у ; ' ( 2 ) л

(1.55)

Из (1.55) следует, что радиальная составляющая напряженно­ сти электрического поля Ет= dUldr=l/2 U0"(z)r прямо пропор­ циональна г, т. е. линейно растет с удалением от оси. В то же вре­ мя на самой оси (г = 0) радиальная составляющая напряженности обращается в нуль. Но вторая производная U(z, г) по г

d^U

1

, ч

(1.56)

- —

= - — U0 (z)

не равна нулю на оси.

Выберем на оси некоторую точку с координатой z= z0 и разло­ жим член Uo(z) вблизи этой точки в ряд Тейлора:

U0(z) = UQ(ZQ-)- Az) £/o(zo) ~f- (zo) Az

+ ± U o ( z 0) (Az)2 +

При небольшом удалении от оси (в параксиальной области) U(z, г) вблизи точки z0 можно представить в виде

U(z, г) = (z0) + Uo (z0) Az + Y

U'o' (г0) (Дг)2 —

- l ( J b ( z o ) r 2.

(1.57)'

Рассмотрим эквипотенциальную поверхность, пересекающую ось в точке г0. Вдоль этой поверхности U(z, г) = U0(z0) = const. Тогда из (1.57) получается уравнение эквипотенциальной поверхности,

J U o' (2o)r2 = -L Uo (2о) (Д Z)2 + U'0 (Z0)A Z .

(1.58)

Уравнение (1.58) является уравнением гиперболы, откуда не­ посредственно следует, что эквипотенциальные поверхности вблизи оси осесимметричного поля являются гиперболоидами вращения. Таким образом, любое электрическое поле, обладающее осевой сим­ метрией, вблизи оси является гиперболическим.

Определим радиус кривизны эквипотенциальной линии в сече­

нии эквипотенциальной

поверхности меридиональной плоскостью

в вершине гиперболы

(на оси). Если эквипотенциальную линию

представить уравнением r=r(z), то радиус кривизны может быть найден по известной формуле

dz2

Так как вдоль эквипотенциальной линии потенциал постоянен:

U (z, r) = U0(z) = const, то,

дифференцируя

U(z,

r)

no z, получим

 

 

 

dU

 

dU dr

Л

 

 

 

 

 

 

— 1" ~T~ ~7~ ~

 

 

 

 

 

 

dz

 

dr dz

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

dU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d r =

аг

.

 

 

(1.60)

 

 

 

dz

dU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~dr

 

 

 

 

Второе дифференцирование

(1.59)

по г приводит к следующему

выражению:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2r

(

1

f d2U /

dU V

d2U

dU

dU

dz2

dU \* L dz2 \ dr '

* drdz

dz

a T +

 

'~dr /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2U l dU \*|

 

 

(i.6i)

 

 

 

+

dr2 ' dz

) J '

 

 

 

 

 

 

 

 

На оси, в точке z= z0, r= 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

dU

 

dU

 

 

 

 

 

 

 

dr =

0,

й Г -" • < * > •

 

(1-62)

&U

-

Т

^о"(г0),

d2U

 

&U

=

Uo (zo).

т*

drdz =

0,

dz2

Подставляя полученные выражения для drjdz и cPrfdz2 с уче­ том (1.62) в уравнение (1.59), получим радиус кривизны эквипо­ тенциальной линии на оси:

R(z0) =

2U'0 (г0)

(1.63^

 

^"(zo)

Таким образом, радиус кривизны эквипотенциальной поверхно­

сти

вблизи

оси

однозначно

определяется

осевым

распределением

потенциала U0(z). Из этого непо-

U,

и,

и,

средственно следует,

что

в

элек­

тронной

оптике

при

использова­

I

 

 

 

нии полей, свободных от объем­

 

 

 

ного

заряда, принципиально

не­

 

 

 

возможно

независимо

изменять

 

 

 

показатель преломления

(распре­

 

 

 

деление

потенциала)

 

и

форму

 

 

 

преломляющих

 

(эквипотенциаль­

 

 

 

ных) поверхностей. В этом состо­

 

 

 

ит существенное

различие

элек­

 

 

 

 

тронной

и световой

оптики

(см.

 

 

 

 

§ 1-3).

исследовании

полей,

об­

 

 

 

 

При

 

 

 

 

ладающих

осевой

симметрией,

 

 

 

 

довольно часто

встречаются

слу­

 

 

 

 

чаи,

когда

в некоторой

точке

на

 

 

 

 

оси

напряженность

поля стано­

Рис. 1.16. Поле

плоской

диафрагмы

вится равной

нулю.

 

В

качестве

 

 

 

 

примера можно привести поле круглой диафрагмы, помещенной между двумя плоскими электродами с равными, но отличными от потенциала самой диафрагмы величинами потенциалов (рис. 1.16).

Нетрудно видеть, что при удалении от особой точки (г0) в обе стороны вдоль оси потенциал возрастает, а при удалении в радиальном направлении потенциал уменьшается. Такую особую точку обычно называют седлообразной точкой или точкой «седло­ вины» поля.

В седлообразной точке направление вектора напряженности по­ ля становится неопределенным, а следовательно, производные dUjdz и dU/dr в этой точке обращаются в нуль. Тогда из разло­ жения (1.58), которое справедливо и для седлообразной точки,

непосредственно следует г2= — (Дг)2, поскольку UQ' (го) ф 0.

Таким образом, в седлообразной точке гиперболические экви­ потенциальные линии вырождаются в две пересекающиеся прямые, являющиеся асимптотами гипербол. Уравнение этих прямых име­ ет вид

г = ±У 2Д г.

(1-64)

Следовательно, эквипотенциальные поверхности, являющиеся е общем случае вблизи оси осесимметричного поля гиперболоидами вращения, в особой (седлообразной) точке обращаются в конус с

углом при вершине, равным 2 arctgV2 = 109°28/, независимо от

распределения потенциала вдали от особой точки. Эту особенность часто используют как критерий для оценки точности приближен ного расчета или экспериментального нахождения эквипотенциаль­ ных поверхностей в полях, имеющих седлообразные точки. Замет ное отличие угла наклона эквипотенциальной линии, проходяще!

через седлообразную точку, от величины arctg У2 « 55° свиде

тельствует об ошибке в расчетах или погрешности эксперимента Магнитные поля, обладающие осевой симметрией, удобно пред ставить в виде трех составляющих в цилиндрической системе ко

ординат. Так как B=rot А, то

Bz = (rotA )z = i - [

дАт1 1

-1

fir

=

dAz

а(Мф)

1

(1.65;

(rot A )r = -i-[

dz

-* ’

 

dty

 

fi,i> =

dAr

dAz

 

 

(rot А)'ф =

dr

 

 

 

dz

 

 

В силу осевой симметрии В$=0, т. е. В и А не зависят от if Тогда система (1.65) переходит-в уравнения

 

fir =

 

 

 

 

 

( 1-66)

 

 

5* =

0.

)

 

 

 

Из последнего уравнения следует, что в осесимметричном

пол«

 

dAr

dAz

 

 

 

(1.67'

 

dz

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

He нарушая общности, можно положить, что в осесимметрично*-

поле AT=A Z= 0, т. е. векторный

потенциал

имеет только

одн^

(азимутальную)

составляющую

0.

Это утверждение

следуе'

также из закона

Био — Савара, записанного

в векторной

форме

так как ток, создающий осесимметричное поле, протекает по кру говому витку, т. е. имеет только азимутальную составляющую.

В пространстве, свободном от токов, rotB = 0 и, следовательно

dfir

dBz

(1.68;

(rotB),„ = — -

- — ^ - = 0.

dz

dr

 

Подставив в ( 1.68) выражение Вг и Втиз (1.66), получим урав­ нение для векторного потенциала, аналогичное уравнению Лапласа для электрического потенциала:

&А+

1

дЛ»

А

дг2 +

дгг '

д?

(1.69)

г3

Для осесимметричного поля индукция В является четной функ­ цией г, следовательно, векторный потенциал А (связанный с ве­ личиной В операцией дифференцирования) должен быть нечетной функцией г. Поэтому разложим векторный потенциал в ряд по нечетным степеням г (поскольку в осесимметричном поле А имеет только одну составляющую, достаточно рассмотреть разложение только для Лц,):

А* (2, г) = fi (2) г + /з (Z) Г3+ fb(2) г5+

(1.70)

Продифференцируем ряд (1.70) дважды по 2, один раз и дваж­

ды по г и подставим его в уравнение

(1.69), объединив члены при

одинаковых степенях г:

 

 

 

[/Г ( 2) + 8Ы 2) ] г + [ / з ' ( 2 ) +

24Ы 2)]г3+

= 0.

(1.71)

Это уравнение должно быть справедливо для любых г, что воз­ можно в случае обращения в нуль коэффициентов при г, г3, г5....

Приравнивая нулю эти коэффициенты, можно определить функции

fi>/з» /б ИТ. д.:

 

 

 

и

(*)

 

 

Ы 2) =

 

 

 

 

 

(1.72)

 

/в(2) =

 

 

Для

определения fi(z) подставим в первое уравнение

(1.66)'

Лф(г, г)

из (1.70) и положим г=0. Тогда

 

откуда

Bz(z, 0) =

2/ 1(2),

 

 

 

 

 

Ш = ^

=

.(1.73,

т. е. значение fi равно половине величины магнитной индукции на оси поля.

Подставив значения ft, f3... в ряд (1.70), найдем выражение для

векторного потенциала осесимметричного поля:

 

А* (2, г) =

(2) г --------i В0'*(г) г3+ ~ ± В 01У( 2) г 3-

( 1.74)

или

, , ч ^ ( - l ) h „**>

( Г \2ft+i

(1.75)

A * { z , r ) = 2 J k\(k+l) ° °

w w )

 

h = 0

Полученные уравнения позволяют рассчитать векторный потен­ циал в любой точке осесимметричного поля, если известно значе­ ние магнитной индукции на оси, ко­ торое, как было указано в § 1.4, про­ сто определяется для систем, не имеющих ферромагнитных эле­

ментов.

Для часто используемых экрани­ рованных (с ферромагнитной обо­ лочкой) круговых катушек распре­ деление магнитной индукции вдоль оси катушки хорошо аппроксими­ руется выражением

 

2*

 

 

В0(^0 — ^?тах£ 1,44а*

(1.76)

Рис. 1.17. Колоколообразное маг­

значение

нитное поле

где Вшах — максимальное

 

магнитной индукции, а а — полови­

Формула (1.76)

на «полуширины» поля (рис. 1.17).

дает удовлетворительную точность

лишь при

отсутствии насыщения ферромагнетика. В случае насыщения поле на оси экранированной катушки можно приближенно рассчитать по формуле

Во (2) =

о - 77)

1 + '

а'

(-Г

или определить экспериментально одним из описанных выше ме­ тодов.

§ 1.6. ТРАЕКТОРИИ ЭЛЕКТРОНОВ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЯХ

Составим уравнение движения электрона в осесимметричном элек­ трическом поле. По-прежнему используем цилиндрическую систе­ му координат. Будем считать, что скорость электрона значительно меньше скорости света, т. е. пренебрежем релятивистским измене­ нием массы. Предположим, что электрон начинает движение с нулевой начальной скоростью из точки с потенциалом £/=0 вблизи оси системы. Поскольку в осесимметричном поле нет азимутальной составляющей, электрон, начавший движение в некоторой плоско­ сти, проходящей через ось (меридиональная плоскость), в дальней­ шем будет двигаться по траектории, лежащей в этой плоскости, т. е. траектория будет плоский кривой. В силу осевой симметрии достаточно изучить движение электронов в одной из меридиональ­

ных плоскостей, а все остальные траектории получаются при вра­ щении этой плоскости вокруг оси.

Вначале рассмотрим уравнение приосевой траектории, более простое и удобное для анализа. Оставаясь в рамках параксиальной

оптики, можно приближенно считать, что

скорость

электрона в

любой точке этой области

определяется

согласно

(1.3) выраже­

нием

 

 

 

 

 

V ttv z =

dz

т /

----------

(1.78)

— ■-= У

у и 0(г),

 

dt

1 т

 

 

 

где (г) — значение потенциала на оси системы.

на электрон

В области неоднородного осесимметричного поля

действует радиальная сила

Fr =

еЕг.

 

 

 

 

 

 

(1.79)

Радиальная составляющая напряженности электрического поля Ег в приосевой области определяется выражением (1.55). В этом случае уравнение движения в радиальном направлении записывает­ ся так:

md- ^ = — ^ eV o (г)г.

(1.80)

Чтобы получить уравнение траектории вида r=r(z), необходи­ мо исключить t из (1.80). Для этого введем дифференциальный оператор

d dz d

dt

dt dz ‘

Применяя дважды этот оператор к (1.80) и используя (1.78), получим

d /

--------dr

\

1

,,

(1.81)

[lU 0{z)—

) =

— = = U o

(z)r,

dz '

'dz

 

'

4yt/0(2)

 

 

или после дифференцирования и небольших преобразований

d?r (

Uo (z) dr U'o (г)

( 1.82)

dz2

2Uo(2)' d z + 4U0(z )r ~ '

 

Уравнение (1.82) является основным уравнением приосевой электронной оптики. Анализ этого однородного дифференциально­ го уравнения второго порядка позволяет сделать ряд важных вы­ водов:

а) в уравнение не входят заряд и масса электрона, следова­ тельно, траектории любых заряженных частиц (электронов, поло­ жительных и отрицательных ионов), движущихся в электростати­ ческом поле при нерелятивистских скоростях, совпадают. Различие будет только во временах пролета [см. уравнение (1.80)];

б) поскольку траектории лежат в одной плоскости и не зависят от заряда и массы, они обратимы, т. е. если направить заряжен­

ную частицу в обратном направлении (сообщив ей скорость, ве­ личина которой определяется потенциалом в точке вылета), она пройдет по той же траектории, что и при прямом пролете данной

области поля;

поэтому

в) уравнение однородно относительно потенциала,

уменьшение

(или увеличение) U в одинаковое число раз

во

всех

точках поля

не изменяет траектории. Это показывает,

что

при

использовании электростатических линз нет необходимости в ста­ билизации питающего напряжения, если все элементы электронно­ оптической системы подключены к общему источнику. Из одно­ родности уравнения относительно U следует также возможность исследования электронно-оптических систем на моделях с пропор­ ционально уменьшенными или увеличенными напряжениями, что особенно существенно при моделировании в электролитической ванне, где, как было указано, питающее напряжение не может быть выбрано больше нескольких десятков вольт;

г) уравнение однородно относительно г. Это дает возможность исследовать траектории на пропорционально увеличенных или уменьшенных моделях, при этом траектории остаются геометриче­ ски подобными. Однородность относительно г широко используется при моделировании траекторий с помощью траектографов и в гра­ фо-аналитическом построении траекторий, так как сильно увели­ ченные модели позволяют значительно уменьшить погрешность в построении траекторий.

И, наконец, анализ уравнения (1.82) показывает, что результи­ рующее действие неоднородного осесимметричного электрического поля на пучок заряженных частиц (в параксиальной области) ана­ логично действию оптической линзы на пучок света, проходящий сквозь нее. Докажем это фундаментальное положение.

Общее решение уравнения (1.82) r=r(z) может быть представ­

лено в виде суммы двух частных решений:

 

 

 

 

 

г (г) = Ciri(2) + c2r2(z),

 

 

(1.83)

где С] и с2— постоянные, определяемые

начальными

условиями;

r\(z) и r2(z) — два частных линейно независимых решения.

 

Выберем частные решения 0 (2) и r2(z) так,

чтобы

Г!(2а) = 0,

Г|(2б) = 0

(здесь 20 и гь — координаты плоскостей объекта

и изо­

бражения)

и' f2(Za) = 1. Второе частное

решение

безусловно воз­

можно; первое частное решение, дважды

обращающееся

в нуль,

возможно, если в области неоднородности поля

(и0"ФО)

вторая

производная потенциала по z положительна. В самом деле, рас­ смотрение выражения (1.80) показывает, что знак второй произ­ водной U0"(z) определяет направление силы, действующей на за­ ряженную частицу. При U0" ( z ) > 0 сила направлена в сторону оси и, следовательно, траектория, однажды пересекшая ось, будет сно­ ва под действием радиальной силы приближаться к оси и пересе­ чет ее во второй точке. Таким образом первое частное решение возможно при Uo">0, т. е. в случае с о б и р а ю щ и х линз, пред­ ставляющем большой интерес для электроннолучевой оптики.

При указанном выборе частных решений общее решение r(z) однозначно определяет положение точек изображения (в плоско­ сти гь) по заданному положению точек объекта (в плоскости za).

В плоскости объекта r(za)=C2, т. е. с2 есть не что иное, как начальное удаление электрона от оси. В плоскости изображения г(гь) =С2Г2(гь), т. е. все частицы, вышедшие из точки объекта на расстоянии Сг от оси, снова соберутся в одну точку в плоскости изображения. При получении этого результата не накладывались никакие условия на направления скоростей частиц (предполага­ лось лишь, что траектории не выходят за пределы параксиальной области).

Масштаб изображения (линейное увеличение)

= r2(zb),

Сг

т.е. он не зависит от начальных условий и является постоянным. Проведенный анализ показывает, что любое неоднородное осе­

симметричное электрическое поле в параксиальной области являет­ ся электронной линзой. Этот важный вывод можно было бы сде­ лать также на основании того, что любое осесимметричное элект­ рическое поле в приосевой области является гиперболическим [см. (1.58)]. Как известно, в световой оптике преломляющая поверхность в виде гиперболоида вращения обладает свойствами линзы.

Использованное при анализе уравнения (1.82) предположение U0"(z)>0 не снижает общности рассмотрения, так как в случае Uo"(z)< 0 поле будет р а с с е и в а ю щ е й линзой. Поля, облада­ ющие свойствами рассеивающих линз, используются сравнительно редко, так как они не могут создать д е й с т в и т е л ь н ы е изобра­ жения, которые можно рассмотреть на люминесцирующем экране или отобразить на фотоэмульсии.

В сложных оптических системах отдельные области неоднород­ ных осесимметричных электрических полей могут, конечно, обла­ дать свойствами рассеивающих линз, но, как будет показано ниже, во многих представляющих практический интерес случаях собира­ ющее действие поля преобладает и наличие рассеивающих обла­ стей приводит лишь к уменьшению суммарной (положительной) оптической силы системы.

Мы рассмотрели уравнение движения медленных электронов (п<Сс). Если электроны быстрые (скорость электрона v соизмери­ ма со скоростью света), то при выводе уравнения движения следу­ ет исходить из общего выражения

d

(1.84)

— {m v)'= — eE

и определять т и о на основании закона сохранения энергии, за­ писанного в релятивистской форме [см. (1.4)]. При этом уравнение траектории электрона, движущегося с любой скоростью (вплоть до

скорости света), принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + _£^1

 

 

 

1 +

- ^

 

 

 

*L + J ± - ______1 ! ^ . ±

+ Ж

_______5 £ L r =

о.

(1.85)

dz2^

2Uo

t

eUo

dz ~

4t/„ {

eU0

 

 

 

 

 

2m0c2

 

 

 

2m0c2

 

 

Сравнивая

это

уравнение

с

(1.82),

нетрудно

видеть,

что

при

0< с (eU0<^m0c2)

уравнение

(1.85)

переходит

в

(1.82),

а при ре­

лятивистских скоростях в основном уравнении появляются допол­ нительные множители

и оно становится неоднородным относительно t/o. Однако однород­ ность относительно г сохраняется, и следовательно, в релятивист­ ском случае справедливы все выводы относительно фокусировки и возможности получения изображения.

Интересно отметить, что в предельном релятивистском случае, когда иже (eUo^moC2), основное уравнение снова становится однородным относительно t/o, меняются только численные коэффи­ циенты при втором и третьем членах:

^

f^

dr

_ f£ _

( 1.86)

 

dz2

Uo

dz

2U0 Г

 

Этот факт может быть физически объяснен тем, что при малых скоростях прирост энергии частицы в ускоряющем поле идет толь­ ко за счет увеличения скорости, а в предельном релятивистском случае — только за счет увеличения массы, тогда как в промежу­ точной области энергия изменяется вследствие изменения и скоро­ сти и массы.

Рассмотрим теперь движение электрона в неоднородном осе­ симметричном магнитном поле. Запишем уравнение движения за­

ряженной частицы в магнитном поле в общем виде:

(1.87)

ma = — e[vB ],

Чтобы представить это уравнение в цилиндрической

системе

координат, воспользуемся известным соотношением для перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим:

X =

г cos ф,

\

( 1.88)

t/ =

rsint|j,

>

2 =

Z.

I

 

Для составляющих силы в цилиндрической системе координат получим соответственно:

Fz =

mz,

 

Fr =

тх cos ф + ту sin ф,

(1.89)

F^ =

тх sin ф + ту cos ф.

 

Соседние файлы в папке книги