книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdfкоторое дает возможность рассчитать осесимметричное электри ческое поле, если известно распределение потенциала вдоль оси UQ(Z).
В электроннолучевых приборах часто используются узкие приосевые пучки электронов. В этих случаях нет необходимости ис следовать поле вдали от оси системы, так как на формирование электронного пучка оказывает влияние лишь приосевая (паракси альная) область поля. Оставаясь в рамках параксиальной оптики, вместо полного разложения потенциала (1.53) с достаточной сте пенью точности можно ограничиться лишь двумя первыми членами ряда, т. е. рассматривать распределение потенциала вблизи оси системы:
и (г, г) « и0(г) — Y U'o (z) г2. |
(1.54) |
Осесимметричное поле в приосевой области обладает рядом ин тересных особенностей. Продифференцируем (1.54) по г:
^ = - 1 у ; ' ( 2 ) л |
(1.55) |
Из (1.55) следует, что радиальная составляющая напряженно сти электрического поля Ет= — dUldr=l/2 U0"(z)r прямо пропор циональна г, т. е. линейно растет с удалением от оси. В то же вре мя на самой оси (г = 0) радиальная составляющая напряженности обращается в нуль. Но вторая производная U(z, г) по г
d^U |
1 |
, ч |
(1.56) |
- — |
= - — U0 (z) |
не равна нулю на оси.
Выберем на оси некоторую точку с координатой z= z0 и разло жим член Uo(z) вблизи этой точки в ряд Тейлора:
U0(z) = UQ(ZQ-)- Az) £/o(zo) ~f- Uо (zo) Az
+ ± U o ( z 0) (Az)2 +
При небольшом удалении от оси (в параксиальной области) U(z, г) вблизи точки z0 можно представить в виде
U(z, г) = Uо(z0) + Uo (z0) Az + Y |
U'o' (г0) (Дг)2 — |
- l ( J b ( z o ) r 2. |
(1.57)' |
Рассмотрим эквипотенциальную поверхность, пересекающую ось в точке г0. Вдоль этой поверхности U(z, г) = U0(z0) = const. Тогда из (1.57) получается уравнение эквипотенциальной поверхности,
J U o' (2o)r2 = -L Uo (2о) (Д Z)2 + U'0 (Z0)A Z . |
(1.58) |
Уравнение (1.58) является уравнением гиперболы, откуда не посредственно следует, что эквипотенциальные поверхности вблизи оси осесимметричного поля являются гиперболоидами вращения. Таким образом, любое электрическое поле, обладающее осевой сим метрией, вблизи оси является гиперболическим.
Определим радиус кривизны эквипотенциальной линии в сече
нии эквипотенциальной |
поверхности меридиональной плоскостью |
в вершине гиперболы |
(на оси). Если эквипотенциальную линию |
представить уравнением r=r(z), то радиус кривизны может быть найден по известной формуле
dz2
Так как вдоль эквипотенциальной линии потенциал постоянен:
U (z, r) = U0(z) = const, то, |
дифференцируя |
U(z, |
r) |
no z, получим |
|||||
|
|
|
dU |
|
dU dr |
Л |
|
|
|
|
|
|
— 1" ~T~ ~7~ ~ |
|
|
|
|||
|
|
|
dz |
|
dr dz |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d r = |
аг |
. |
|
|
(1.60) |
|
|
|
|
dz |
dU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~dr |
|
|
|
|
Второе дифференцирование |
(1.59) |
по г приводит к следующему |
|||||||
выражению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2r |
( |
1 |
f d2U / |
dU V |
d2U |
dU |
dU |
||
dz2 |
dU \* L dz2 \ dr ' |
* drdz |
dz |
a T + |
|||||
|
'~dr / |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d2U l dU \*| |
|
|
(i.6i) |
||
|
|
|
+ |
dr2 ' dz |
) J ' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
На оси, в точке z= z0, r= 0: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dU |
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
dr = |
0, |
й Г -" • < * > • |
|
(1-62) |
||
&U |
- |
Т |
^о"(г0), |
d2U |
|
&U |
= |
Uo (zo). |
|
т* |
drdz = |
0, |
dz2 |
Подставляя полученные выражения для drjdz и cPrfdz2 с уче том (1.62) в уравнение (1.59), получим радиус кривизны эквипо тенциальной линии на оси:
R(z0) = |
2U'0 (г0) |
(1.63^ |
|
|
^"(zo) |
Таким образом, радиус кривизны эквипотенциальной поверхно
сти |
вблизи |
оси |
однозначно |
определяется |
осевым |
распределением |
||||||||
потенциала U0(z). Из этого непо- |
U, |
и, |
и, |
|||||||||||
средственно следует, |
что |
в |
элек |
|||||||||||
тронной |
оптике |
при |
использова |
I |
|
|
|
|||||||
нии полей, свободных от объем |
|
|
|
|||||||||||
ного |
заряда, принципиально |
не |
|
|
|
|||||||||
возможно |
независимо |
изменять |
|
|
|
|||||||||
показатель преломления |
(распре |
|
|
|
||||||||||
деление |
потенциала) |
|
и |
форму |
|
|
|
|||||||
преломляющих |
|
(эквипотенциаль |
|
|
|
|||||||||
ных) поверхностей. В этом состо |
|
|
|
|||||||||||
ит существенное |
различие |
элек |
|
|
|
|
||||||||
тронной |
и световой |
оптики |
(см. |
|
|
|
|
|||||||
§ 1-3). |
исследовании |
полей, |
об |
|
|
|
|
|||||||
При |
|
|
|
|
||||||||||
ладающих |
осевой |
симметрией, |
|
|
|
|
||||||||
довольно часто |
встречаются |
слу |
|
|
|
|
||||||||
чаи, |
когда |
в некоторой |
точке |
на |
|
|
|
|
||||||
оси |
напряженность |
поля стано |
Рис. 1.16. Поле |
плоской |
диафрагмы |
|||||||||
вится равной |
нулю. |
|
В |
качестве |
|
|
|
|
примера можно привести поле круглой диафрагмы, помещенной между двумя плоскими электродами с равными, но отличными от потенциала самой диафрагмы величинами потенциалов (рис. 1.16).
Нетрудно видеть, что при удалении от особой точки (г0) в обе стороны вдоль оси потенциал возрастает, а при удалении в радиальном направлении потенциал уменьшается. Такую особую точку обычно называют седлообразной точкой или точкой «седло вины» поля.
В седлообразной точке направление вектора напряженности по ля становится неопределенным, а следовательно, производные dUjdz и dU/dr в этой точке обращаются в нуль. Тогда из разло жения (1.58), которое справедливо и для седлообразной точки,
непосредственно следует г2= — (Дг)2, поскольку UQ' (го) ф 0.
Таким образом, в седлообразной точке гиперболические экви потенциальные линии вырождаются в две пересекающиеся прямые, являющиеся асимптотами гипербол. Уравнение этих прямых име ет вид
г = ±У 2Д г. |
(1-64) |
Следовательно, эквипотенциальные поверхности, являющиеся е общем случае вблизи оси осесимметричного поля гиперболоидами вращения, в особой (седлообразной) точке обращаются в конус с
углом при вершине, равным 2 arctgV2 = 109°28/, независимо от
распределения потенциала вдали от особой точки. Эту особенность часто используют как критерий для оценки точности приближен ного расчета или экспериментального нахождения эквипотенциаль ных поверхностей в полях, имеющих седлообразные точки. Замет ное отличие угла наклона эквипотенциальной линии, проходяще!
через седлообразную точку, от величины arctg У2 « 55° свиде
тельствует об ошибке в расчетах или погрешности эксперимента Магнитные поля, обладающие осевой симметрией, удобно пред ставить в виде трех составляющих в цилиндрической системе ко
ординат. Так как B=rot А, то
Bz = (rotA )z = i - [ |
дАт1 1 |
|
-1 |
||
fir |
= |
dAz |
а(Мф) |
1 |
(1.65; |
(rot A )r = -i-[ |
dz |
-* ’ |
||
|
dty |
|
||
fi,i> = |
dAr |
dAz |
|
|
(rot А)'ф = |
dr ’ |
|
|
|
|
dz |
|
|
В силу осевой симметрии В$=0, т. е. В и А не зависят от if Тогда система (1.65) переходит-в уравнения
|
fir = |
|
|
|
|
|
( 1-66) |
|
|
5* = |
0. |
) |
|
|
|
Из последнего уравнения следует, что в осесимметричном |
пол« |
||||||
|
dAr |
dAz |
|
|
|
(1.67' |
|
|
dz |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
He нарушая общности, можно положить, что в осесимметрично*- |
|||||||
поле AT=A Z= 0, т. е. векторный |
потенциал |
имеет только |
одн^ |
||||
(азимутальную) |
составляющую |
0. |
Это утверждение |
следуе' |
|||
также из закона |
Био — Савара, записанного |
в векторной |
форме |
так как ток, создающий осесимметричное поле, протекает по кру говому витку, т. е. имеет только азимутальную составляющую.
В пространстве, свободном от токов, rotB = 0 и, следовательно
dfir |
dBz |
(1.68; |
(rotB),„ = — - |
- — ^ - = 0. |
|
dz |
dr |
|
Подставив в ( 1.68) выражение Вг и Втиз (1.66), получим урав нение для векторного потенциала, аналогичное уравнению Лапласа для электрического потенциала:
&А+ |
1 |
дЛ» |
А |
дг2 + |
дгг ' ~г |
д? |
(1.69) |
г3 |
Для осесимметричного поля индукция В является четной функ цией г, следовательно, векторный потенциал А (связанный с ве личиной В операцией дифференцирования) должен быть нечетной функцией г. Поэтому разложим векторный потенциал в ряд по нечетным степеням г (поскольку в осесимметричном поле А имеет только одну составляющую, достаточно рассмотреть разложение только для Лц,):
А* (2, г) = fi (2) г + /з (Z) Г3+ fb(2) г5+ |
(1.70) |
Продифференцируем ряд (1.70) дважды по 2, один раз и дваж
ды по г и подставим его в уравнение |
(1.69), объединив члены при |
||
одинаковых степенях г: |
|
|
|
[/Г ( 2) + 8Ы 2) ] г + [ / з ' ( 2 ) + |
24Ы 2)]г3+ |
= 0. |
(1.71) |
Это уравнение должно быть справедливо для любых г, что воз можно в случае обращения в нуль коэффициентов при г, г3, г5....
Приравнивая нулю эти коэффициенты, можно определить функции
fi>/з» /б ИТ. д.: |
|
|
|
|
и |
(*) |
|
|
Ы 2) = |
|
|
|
|
|
(1.72) |
|
/в(2) = |
|
|
Для |
определения fi(z) подставим в первое уравнение |
(1.66)' |
|
Лф(г, г) |
из (1.70) и положим г=0. Тогда |
|
|
откуда |
Bz(z, 0) = |
2/ 1(2), |
|
|
|
|
|
|
Ш = ^ |
= |
.(1.73, |
т. е. значение fi равно половине величины магнитной индукции на оси поля.
Подставив значения ft, f3... в ряд (1.70), найдем выражение для
векторного потенциала осесимметричного поля: |
|
|
А* (2, г) = |
(2) г --------i В0'*(г) г3+ ~ ± В 01У( 2) г 3- |
( 1.74) |
или
, , ч ^ ( - l ) h „**> |
( Г \2ft+i |
(1.75) |
|
A * { z , r ) = 2 J k\(k+l) ° ° |
w w ) |
||
|
h = 0
Полученные уравнения позволяют рассчитать векторный потен циал в любой точке осесимметричного поля, если известно значе ние магнитной индукции на оси, ко торое, как было указано в § 1.4, про сто определяется для систем, не имеющих ферромагнитных эле
ментов.
Для часто используемых экрани рованных (с ферромагнитной обо лочкой) круговых катушек распре деление магнитной индукции вдоль оси катушки хорошо аппроксими руется выражением
|
2* |
|
|
В0(^0 — ^?тах£ 1,44а* |
(1.76) |
Рис. 1.17. Колоколообразное маг |
значение |
|
нитное поле |
где Вшах — максимальное |
|
|
магнитной индукции, а а — полови |
|
Формула (1.76) |
на «полуширины» поля (рис. 1.17). |
|
дает удовлетворительную точность |
лишь при |
отсутствии насыщения ферромагнетика. В случае насыщения поле на оси экранированной катушки можно приближенно рассчитать по формуле
Во (2) = |
о - 77) |
1 + ' |
а' |
(-Г
или определить экспериментально одним из описанных выше ме тодов.
§ 1.6. ТРАЕКТОРИИ ЭЛЕКТРОНОВ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЯХ
Составим уравнение движения электрона в осесимметричном элек трическом поле. По-прежнему используем цилиндрическую систе му координат. Будем считать, что скорость электрона значительно меньше скорости света, т. е. пренебрежем релятивистским измене нием массы. Предположим, что электрон начинает движение с нулевой начальной скоростью из точки с потенциалом £/=0 вблизи оси системы. Поскольку в осесимметричном поле нет азимутальной составляющей, электрон, начавший движение в некоторой плоско сти, проходящей через ось (меридиональная плоскость), в дальней шем будет двигаться по траектории, лежащей в этой плоскости, т. е. траектория будет плоский кривой. В силу осевой симметрии достаточно изучить движение электронов в одной из меридиональ
ных плоскостей, а все остальные траектории получаются при вра щении этой плоскости вокруг оси.
Вначале рассмотрим уравнение приосевой траектории, более простое и удобное для анализа. Оставаясь в рамках параксиальной
оптики, можно приближенно считать, что |
скорость |
электрона в |
|||
любой точке этой области |
определяется |
согласно |
(1.3) выраже |
||
нием |
|
|
|
|
|
V ttv z = |
dz |
т / 2е |
---------- |
(1.78) |
|
— ■-= У — |
у и 0(г), |
||||
|
dt |
1 т |
|
|
|
где Uо(г) — значение потенциала на оси системы. |
на электрон |
||||
В области неоднородного осесимметричного поля |
|||||
действует радиальная сила |
Fr = |
— еЕг. |
|
|
|
|
|
|
(1.79) |
Радиальная составляющая напряженности электрического поля Ег в приосевой области определяется выражением (1.55). В этом случае уравнение движения в радиальном направлении записывает ся так:
md- ^ = — ^ eV o (г)г. |
(1.80) |
Чтобы получить уравнение траектории вида r=r(z), необходи мо исключить t из (1.80). Для этого введем дифференциальный оператор
d dz d
dt |
dt dz ‘ |
Применяя дважды этот оператор к (1.80) и используя (1.78), получим
d / |
--------dr |
\ |
1 |
,, |
(1.81) |
|
[lU 0{z)— |
) = |
— = = U o |
(z)r, |
|||
dz ' |
'dz |
|
' |
4yt/0(2) |
|
|
или после дифференцирования и небольших преобразований
d?r ( |
Uo (z) dr U'o (г) |
( 1.82) |
|
dz2 |
2Uo(2)' d z + 4U0(z )r ~ ' |
||
|
Уравнение (1.82) является основным уравнением приосевой электронной оптики. Анализ этого однородного дифференциально го уравнения второго порядка позволяет сделать ряд важных вы водов:
а) в уравнение не входят заряд и масса электрона, следова тельно, траектории любых заряженных частиц (электронов, поло жительных и отрицательных ионов), движущихся в электростати ческом поле при нерелятивистских скоростях, совпадают. Различие будет только во временах пролета [см. уравнение (1.80)];
б) поскольку траектории лежат в одной плоскости и не зависят от заряда и массы, они обратимы, т. е. если направить заряжен
ную частицу в обратном направлении (сообщив ей скорость, ве личина которой определяется потенциалом в точке вылета), она пройдет по той же траектории, что и при прямом пролете данной
области поля; |
поэтому |
||
в) уравнение однородно относительно потенциала, |
|||
уменьшение |
(или увеличение) U в одинаковое число раз |
во |
всех |
точках поля |
не изменяет траектории. Это показывает, |
что |
при |
использовании электростатических линз нет необходимости в ста билизации питающего напряжения, если все элементы электронно оптической системы подключены к общему источнику. Из одно родности уравнения относительно U следует также возможность исследования электронно-оптических систем на моделях с пропор ционально уменьшенными или увеличенными напряжениями, что особенно существенно при моделировании в электролитической ванне, где, как было указано, питающее напряжение не может быть выбрано больше нескольких десятков вольт;
г) уравнение однородно относительно г. Это дает возможность исследовать траектории на пропорционально увеличенных или уменьшенных моделях, при этом траектории остаются геометриче ски подобными. Однородность относительно г широко используется при моделировании траекторий с помощью траектографов и в гра фо-аналитическом построении траекторий, так как сильно увели ченные модели позволяют значительно уменьшить погрешность в построении траекторий.
И, наконец, анализ уравнения (1.82) показывает, что результи рующее действие неоднородного осесимметричного электрического поля на пучок заряженных частиц (в параксиальной области) ана логично действию оптической линзы на пучок света, проходящий сквозь нее. Докажем это фундаментальное положение.
Общее решение уравнения (1.82) r=r(z) может быть представ
лено в виде суммы двух частных решений: |
|
|
|
|
|
|
г (г) = Ciri(2) + c2r2(z), |
|
|
(1.83) |
|
где С] и с2— постоянные, определяемые |
начальными |
условиями; |
|||
r\(z) и r2(z) — два частных линейно независимых решения. |
|
||||
Выберем частные решения 0 (2) и r2(z) так, |
чтобы |
Г!(2а) = 0, |
|||
Г|(2б) = 0 |
(здесь 20 и гь — координаты плоскостей объекта |
и изо |
|||
бражения) |
и' f2(Za) = 1. Второе частное |
решение |
безусловно воз |
||
можно; первое частное решение, дважды |
обращающееся |
в нуль, |
|||
возможно, если в области неоднородности поля |
(и0"ФО) |
вторая |
производная потенциала по z положительна. В самом деле, рас смотрение выражения (1.80) показывает, что знак второй произ водной U0"(z) определяет направление силы, действующей на за ряженную частицу. При U0" ( z ) > 0 сила направлена в сторону оси и, следовательно, траектория, однажды пересекшая ось, будет сно ва под действием радиальной силы приближаться к оси и пересе чет ее во второй точке. Таким образом первое частное решение возможно при Uo">0, т. е. в случае с о б и р а ю щ и х линз, пред ставляющем большой интерес для электроннолучевой оптики.
При указанном выборе частных решений общее решение r(z) однозначно определяет положение точек изображения (в плоско сти гь) по заданному положению точек объекта (в плоскости za).
В плоскости объекта r(za)=C2, т. е. с2 есть не что иное, как начальное удаление электрона от оси. В плоскости изображения г(гь) =С2Г2(гь), т. е. все частицы, вышедшие из точки объекта на расстоянии Сг от оси, снова соберутся в одну точку в плоскости изображения. При получении этого результата не накладывались никакие условия на направления скоростей частиц (предполага лось лишь, что траектории не выходят за пределы параксиальной области).
Масштаб изображения (линейное увеличение)
= r2(zb),
Сг
т.е. он не зависит от начальных условий и является постоянным. Проведенный анализ показывает, что любое неоднородное осе
симметричное электрическое поле в параксиальной области являет ся электронной линзой. Этот важный вывод можно было бы сде лать также на основании того, что любое осесимметричное элект рическое поле в приосевой области является гиперболическим [см. (1.58)]. Как известно, в световой оптике преломляющая поверхность в виде гиперболоида вращения обладает свойствами линзы.
Использованное при анализе уравнения (1.82) предположение U0"(z)>0 не снижает общности рассмотрения, так как в случае Uo"(z)< 0 поле будет р а с с е и в а ю щ е й линзой. Поля, облада ющие свойствами рассеивающих линз, используются сравнительно редко, так как они не могут создать д е й с т в и т е л ь н ы е изобра жения, которые можно рассмотреть на люминесцирующем экране или отобразить на фотоэмульсии.
В сложных оптических системах отдельные области неоднород ных осесимметричных электрических полей могут, конечно, обла дать свойствами рассеивающих линз, но, как будет показано ниже, во многих представляющих практический интерес случаях собира ющее действие поля преобладает и наличие рассеивающих обла стей приводит лишь к уменьшению суммарной (положительной) оптической силы системы.
Мы рассмотрели уравнение движения медленных электронов (п<Сс). Если электроны быстрые (скорость электрона v соизмери ма со скоростью света), то при выводе уравнения движения следу ет исходить из общего выражения
d |
(1.84) |
— {m v)'= — eE |
и определять т и о на основании закона сохранения энергии, за писанного в релятивистской форме [см. (1.4)]. При этом уравнение траектории электрона, движущегося с любой скоростью (вплоть до
скорости света), принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 + _£^1 |
|
|
|
1 + |
- ^ |
|
|
|
|
*L + J ± - ______1 ! ^ . ± |
+ Ж |
_______5 £ L r = |
о. |
(1.85) |
|||||||
dz2^ |
2Uo |
t |
eUo |
dz ~ |
4t/„ { |
eU0 |
|
|
|||
|
|
|
2m0c2 |
|
|
|
2m0c2 |
|
|
||
Сравнивая |
это |
уравнение |
с |
(1.82), |
нетрудно |
видеть, |
что |
при |
|||
0< с (eU0<^m0c2) |
уравнение |
(1.85) |
переходит |
в |
(1.82), |
а при ре |
лятивистских скоростях в основном уравнении появляются допол нительные множители
и оно становится неоднородным относительно t/o. Однако однород ность относительно г сохраняется, и следовательно, в релятивист ском случае справедливы все выводы относительно фокусировки и возможности получения изображения.
Интересно отметить, что в предельном релятивистском случае, когда иже (eUo^moC2), основное уравнение снова становится однородным относительно t/o, меняются только численные коэффи циенты при втором и третьем членах:
^ |
f^ |
dr |
_ f£ _ |
( 1.86) |
|
||||
dz2 |
Uo |
dz |
2U0 Г |
|
Этот факт может быть физически объяснен тем, что при малых скоростях прирост энергии частицы в ускоряющем поле идет толь ко за счет увеличения скорости, а в предельном релятивистском случае — только за счет увеличения массы, тогда как в промежу точной области энергия изменяется вследствие изменения и скоро сти и массы.
Рассмотрим теперь движение электрона в неоднородном осе симметричном магнитном поле. Запишем уравнение движения за
ряженной частицы в магнитном поле в общем виде: |
(1.87) |
ma = — e[vB ], |
|
Чтобы представить это уравнение в цилиндрической |
системе |
координат, воспользуемся известным соотношением для перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим:
X = |
г cos ф, |
\ |
( 1.88) |
t/ = |
rsint|j, |
> |
|
2 = |
Z. |
I |
|
Для составляющих силы в цилиндрической системе координат получим соответственно:
Fz = |
mz, |
|
Fr = |
тх cos ф + ту sin ф, |
(1.89) |
F^ = |
— тх sin ф + ту cos ф. |
|