книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdfи использование мелкой ванны имеют большие практические пре имущества. Кроме того, измерение распределения потенциала в этом случае осуществляется весьма просто с помощью короткого зонда, перемещаемого по открытой поверхности электролита.
При моделировании плоских полей также целесообразно ис пользовать мелкую ванну, устанавливая электроды непосредствен но на непроводящее дно ванны.
При помощи электролитической ванны удается получить значе ние потенциалов с погрешностью нс более 1%; построение экви потенциальных линий может быть автоматизировано, что значи тельно ускоряет работу с ванной. Сетка эквипотенциальных по верхностей, полученная методом электролитической ванны для системы двух цилиндров с различными потенциалами, приведена на рис. 1.9.
Кроме значительных преимуществ (возможность моделировать практически любые электрические поля, достаточная для практи ческих целей точность) методу электролитической ванны присущи и некоторые недостатки, главным из которых является громозд кость установки, связанная с необходимостью использовать боль шие объемы электролита. Поэтому наряду с методом электролити ческой ванны для моделирования электрических полей применяются и некоторые другие методы.
При моделировании плоских полей может быть использован близкий к методу электролитической ванны способ моделирования электрического поля на полупроводящей бумаге. В самом деле, при моделировании плоского (двумерного) поля в электролити ческой ванне можно ограничиться тонким слоем электролита, за ключенным между непроводящим дном ванны и поверхностью жид кости. Очевидно, распределение потенциала не изменится, если тонкий слой проводящей жидкости заменить листом проводящего материала с электропроводностью, значительно большей электро проводности изолирующей подложки и значительно меньшей элек тропроводности металлических электродов.
Проводящим листом служит специальная бумага, содержащая в качестве наполнителя обволакивающего волокна бумажной мас сы мелкодисперсный углерод (сажу или графит). В зависимости от содержания углерода удельное сопротивление этой бумаги колеб лется в пределах 102— 103 ом-см. При подготовке к моделированию лист проводящей бумаги укладывается на изолирующий стол. Элек
троды модели изготовляются из листового металла |
(меди р ш и ла |
туни) и плотно прижимаются или приклеиваются |
проводящим |
клеем к бумаге. В качестве проводящего клея может быть исполь зован клей БФ-2, в который добавлена сажа (примерно 10% по весу). Зондом служит металлическая игла, перемещаемая по по верхности бумаги.
Поскольку в отличие от электролита проводящая бумага обла дает электронной (а не ионной) проводимостью, явления поляри зации в бумаге отсутствуют и принципиально возможно применять источники постоянного тока. Поэтому питание электродов модели
обычно осуществляется от аккумуляторной батареи или стабили зированного 'Выпрямителя. Постоянное напряжение позволяет при менять в качестве индикатора высокочувствительные измеритель ные приборы постоянного тока. При измерении потенциала в раз личных точках поля, смоделированного на бумаге, целесообразно использовать нулевой метод, аналогичный методу электролитиче ской ванны. Индикатором нуля в этом случае служит гальванометр с чувствительностью порядка 10-6 а/дел.
При использовании высококачественной бумаги и тщательном проведении эксперимента удается получить достаточную для прак тических целей точность. Так, напри мер, при моделировании полей, подда ющихся аналитическому расчету, бы ла получена величина относительной
погрешности не более 1,5— 2%. Моделирование электрических по
лей на проводящей бумаге отличается большой простотой и удобством. Од нако ограниченность класса полей, Поддающихся моделированию, не сколько сужает возможности этого ме тода. Кроме того, на точность модели рования заметно влияют местные не однородности бумаги.
J HC. 1.10. Элемент сетки |
Моделирование |
электрического по |
сопротивлений |
ля в электролитической ванне и на |
|
|
проводящей бумаге |
есть моделирова |
ние при помощи сплошных проводящих сред. По существу моде лирование электрических полей при помощи проводящих сред (жидких или твердых) является одним из методов интегрирования уравнения Лапласа, которому подчиняется распределение потенци ала электрического поля, свободного от пространственного заряда. Поэтому любой интегратор (электрический или механический) при годен для решения задач по нахождению в явном виде [например, в виде U=U(x, у, г)] распределения потенциала в заданной обла сти с известными граничными условиями.
При анализе электрических полей с успехом используются элек троинтеграторы в виде сеток сопротивлений. Эти интеграторы яв ляются также моделирующими электрическое поле устройствами, но в отличие от моделирования в электролитической ванне и на проводящей бумаге здесь сплошные проводящие среды заменяют ся набором дискретных элементов — резисторов.
Сетка сопротивлений строится так, что каждому элементарно му объему сплошной проводящей среды в виде куба или паралле лепипеда соответствует структурный элемент сетки, составленный из шести резисторов, соединенных одним из выводов в общей (уз ловой) точке (рис. 1.10).
Предположим, что элементарный объем сплошной проводящей среды с удельной проводимостью А имеет форму параллелепипеда
со сторонами Ах, Ay, Аz. Тогда .проводимости между противопо ложными сторонами параллелепипеда 6} дут соответственно равны:
Ах — X |
АуАг |
AxAz |
АхАу |
Ay — X |
Л2 = X |
(1.38) |
|
|
Ах |
АУ |
Az |
Поскольку при замене сплошной проводящей среды резистора ми в каждом элементе сетки сопротивлений располагаются шесть резисторов, величина сопротивления каждого из них должна быть
Рис. 1.11. Двумерная сетка сопротивлений
вдвое меньше сопротивления между противоположными гранями элементарного параллелепипеда, т. е.
Я X |
Яу = |
(1.39) |
|
2Л„ |
Составив из подобранных таким образом резисторов простран ственную сетку, получим моделирующее устройство, эквивалентное сплошной среде. При моделировании электрического поля на сетке сопротивлений узловые точки сетки, соответствующие электродам моделируемой системы, соединяются вместе и к ним подводится напряжение данного электрода. Распределение потенциала опре деляется по его значениям в узловых точках сетки в междуэлектродном пространстве. Измерения обычно проводятся нулевым ме тодом, аналогичным методу электролитической ванны.
При исследовании плоских и осесимметричных полей нет не обходимости применять трехмерную сетку сопротивлений. Обычно в этих случаях используют весьма простую и удобную в эксплуа тации двумерную сетку (рис. 1.11), являющуюся аналогом мелкой электролитической ванны с тонким слоем электролита.
При моделировании плоских полей величина сопротивления всех 'резисторов сетки должна быть одинаковой. При моделирова нии осесимметричных полей величины сопротивлений резисторов должны изменяться аналогично изменению сопротивления слоя электролита в ванне с наклонным дном. Нетрудно убедиться, что величины сопротивлений должны быть обратно пропорциональны расстоянию от прямой, принятой за ось моделируемой системы.
В отличие от электролитической ванны работа с сеткой сопро тивлений имеет определенные преимущества — отсутствие электро лита, возможность использования постоянного тока и, следователь но, более чувствительных и точных измерительных приборов, удоб ство измерений непосредственно в узлах сетки. Очевидно, точность метода возрастает с увеличением числа элементов сетки. Однако, так как резисторы, из которых набирается сетка, имеют определен ные допуски величины сопротивления, чрезмерное увеличение чис ла резисторов может привести к снижению точности. Кроме того, чем больше резисторов, тем более трудоемким становится процесс измерения распределения потенциала. Практически на сетке, со ставленной из нескольких тысяч резисторов, можно определить распределение потенциала с относительной погрешностью не бо лее 0,01 %.
Еще большими возможностями обладают вычислительные ма шины, при помощи которых принципиально возможно рассчитать любые электрические поля с весьма высокой степенью точности.
При решении задач электронной оптики иногда применяют на глядный, но весьма приближенный метод моделирования электри ческого поля с помощью упругой мембраны. Моделирование поля этим методом основано на том, что уравнение, которым описывает ся форма поверхности деформированной упругой мембраны, при определенных условиях совпадает с уравнением Лапласа, а следо вательно, величина деформации мембраны позволяет оценить рас пределение потенциала в исследуемой системе.
Как известно, площадь поверхности деформированной упругой мембраны определяется двойным интегралом:
s = ' + {%;)*+{%Jd*dy- |
е-40> |
где z — величина деформации, т. е. отклонение поверхности мем браны от положения равновесия.
Так как площадь поверхности деформированной упругой мем браны минимальна, получается интегральное уравнение 65 = 0, ко торое сводится к дифференциальным уравнениям Эйлера. Уравне ние деформированной поверхности мембраны записывается в виде:
Г |
/ dz \Ц д2г |
Г |
/ дг \21 d2z |
. |
d2z |
dz |
dz |
|
|
|
----------дх2 |
U 2 |
------дхду |
-^ -• — = 0, |
|
|
|
|
|
дх |
ду |
(1.41)
где производные dz/дх и дг/ду определяют угол наклона деформи рованной поверхности мембраны. Если ограничиться малыми угла ми наклона [(dz/дх) <С1 и (dz/dy) 1], то квадратами первых про изводных по сравнению с единицей можно пренебречь и уравнение (1.41) перейдет в уравнение Лапласа:
d2z d2z
дх2 ду2
Практически моделирование поля при помощи упругой мембра ны осуществляется следующим образом. На жесткую раму натя гивается листовая резина. Рама устанавливается горизонтально. Для контроля равномерности натяжения на резину до натяжения наносится сетка из одинаковых квадратов. Растяжение произво дится так, чтобы сетка квадратов не искажалась, т. е. квадраты сохраняли свою геометрическую форму. Натяжение должно быть достаточно сильным, чтобы резина не провисала под собственным весом. Затем -под резиной (или над ней) устанавливаются нажим ные элементы, деформирующие резину в соответствии с располо жением и потенциалами электродов моделируемой системы; при этом масштабный множитель выбирается так, чтобы в местах с наиболее резким изменением потенциала угол наклона не превы шал 10— 15° Далее при помощи механического индикатора изме ряется величина деформации z и по формуле
U = |
kz, |
(1.43) |
где k — выбранный масштабный |
множитель, |
рассчитываются зна |
чения потенциала U(xt у). |
|
|
Опыт работы с резиновой мембраной показывает, что при тща тельном проведении эксперимента удается получить значения по тенциалов с относительной погрешностью не более 2— 3%, т. е. с точностью, достаточной в ряде практических случаев.
Наиболее часто магнитные поля, используемые в электронно оптических устройствах, создаются короткими круглыми катушка ми или длинными соленоидами, обтекаемыми током. В этих слу чаях расчет магнитного поля можно произвести весьма просто, применяя закон Био—*Савара. Магнитная индукция на оси оди ночного плоского круглого витка радиуса /?, обтекаемого током /, согласно закону Био— Савара определяется так:
\ioRI |
|
В (2) = |
(1.44) |
2 (Rz + |
ztyb' |
где 2 отсчитывается от плоскости витка. |
|
Если в (1.44) R и 2 подставить в |
метрах, а / в амперах, то |
индукция В будет иметь размерность тесла, если же R и z подста влять в сантиметрах, то индукция В получится в гауссах, что обыч но бывает удобно при практических расчетах.
Выражение (1.44) можно с достаточно хорошим приближением использовать для расчета магнитной индукции на оси короткой
катушки, имеющей п витков со средним радиусом намотки |
Rcp. |
\ioRcpflI |
(1.45) |
B(z) = |
|
2 (/Pep + 2*)** |
|
Внутри длинного соленоида, имеющего п витков, расположен ных равномерно по всей длине L, создается однородное магнитное
ками метода баллистического гальванометра являются большая трудоемкость (невозможность непрерывного измерения при пере мещении измерительной катушки) и затруднения, связанные с необходимостью ориентировать плоскость витков измерительной катушки перпендикулярно к силовым линиям поля, направление которых заранее неизвестно.
Непрерывное измерение магнитной индукции может быть вы полнено методом вращающейся катушки, перемещаемой в магнит ном поле. Небольшая измерительная катушка укрепляется на оси, лежащей в плоскости витков обмотки. Ось вращается при помощи небольшого синхронного электродвигателя.
Если площадь, охватываемая витками катушки, равна 5, то при ориентации плоскости витков катушки перпендикулярно к на
правлению |
магнитной индукции |
В магнитный поток, сцепленный |
с катушкой, |
будет равен ЧГ=В 5 . |
При вращении катушки магнит |
ный поток будет изменяться по синусоидальному закону, и в ка тушке будет наводится э. д. с.
Е = |
dW |
— riBSu) cos (at, |
(1.48) |
— п —— = |
|||
|
dt |
|
|
где n— число витков |
катушки; |
(о= 2я/ — круговая частота |
враще |
ния катушки. |
|
|
|
Таким образом, э. д. с., наводимая в измерительной катушке, прямо пропорциональна величине магнитной индукции. Кроме то го, э. д. с. пропорциональна числу витков катушки, скорости ее вращения и площади сечения витков. Катушка принципиально должна быть небольшой, так как только при этом можно не учи тывать возможную неоднородность поля в пространстве, занимае мом катушкой. Поэтому для получения не очень малой величины, э. д. с. приходится применять катушки с 100— 200 витками из очень тонкой проволоки и электродвигатели со скоростью вращения 1500— 3000 об/мин. Измерение наводимой в катушке переменной э. д. с. производится либо ламповым вольтметром, либо прибором постоянного тока с полупроводниковым диодом. Если использует ся синхронный электродвигатель (f=const), то все величины (кро ме магнитной индукции), стоящие перед cosco^ в (1.48), постоян ны и амплитудное значение э. д. с.
Ет = |
аВ, |
(1.49) |
где постоянная а может быть |
рассчитана. |
Однако более удобно |
предварительно экспериментально определить постоянную а, вра щая катушку в поле с известной или легко рассчитываемой вели чиной магнитной индукции.
Относительная погрешность метода вращающейся катушки мо жет быть не больше 1— 1,5%. Этот метод, несмотря на указанные достоинства, не получил большого распространения при измере нии магнитных полей в электронно-оптических системах, главным образом из-за экспериментальных трудностей, связанных с введе
нием быстро вращающейся катушки в обычно небольшие прост ранства внутри полюсных наконечников магнитных линз. Кроме того, соединение вращающейся катушки с неподвижным измери тельным прибором требует наличия коммутирующего устройства (обычно в виде двух колец, по которым скользят токосъемные щетки), для размещения которого также требуется место. Неудоб ства, связанные с необходимостью хотя бы ориентировочно знать до измерения направление магнитной индукции, так же и в методе
баллистического гальванометра, остаются в силе и при использовании вращающей ся катушки.
Быстрое и достаточно точное опреде ление магнитной индукции может быть произведено путем измерения э. д. с. Хол ла £ х, возникающей в металле или по лупроводнике, обтекаемом током, поме щенном в магнитное поле. Как известно, величина холловской э. д. с. прямо про порциональна магнитному потоку, про низывающему металлическую или полу проводниковую пластинку, по которой протекает ток неизменной величины.
Практически для измерения магнитной индукции методом, основан ным на эффекте Холла, используется прямоугольная пластинка (размером 2ч-ЗХЗч-4 мм) из полупроводника (например, герма ния), имеющая выводы от всех четырех сторон (рис. 1.13), датчик Холла.
К двум противоположным выводам подводится стабилизиро ванное напряжение от внешнего источника, к двум другим выво дам подключается чувствительный прибор, измеряющий э. д. с. Холла. Помещая пластинку в магнитное поле и ориентируя ее пло скость перпендикулярно к силовым линиям поля, измеряют э. д. с. Холла и подсчитывают величину магнитной индукции B= kEx, где множитель k обычно определяют экспериментально, градуируя установку в поле с известной (или легко рассчитываемой) величи ной индукции. Описанный метод позволяет находить величину маг
нитной индукции с погрешностью не более 2— 3%; |
он весьма удо |
бен для быстрой оценки распределения магнитного |
поля. Однако |
для получения достаточно точных результатов требуется стабили зация температуры датчика, что несколько ограничивает возмож ности метода.
§1.5. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ИМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
Вбольшинстве электроннолучевых приборов для фокусировки элек тронных пучков применяются электрические и магнитные поля, об ладающие симметрией тел вращения. Движение заряженных частиц в таких полях аналогично распространению света сквозь
линзы. Как будет показано ниже, любое неоднородное электриче ское или магнитное поле, обладающее осевой симметрией, являет ся электронной линзой. Поэтому >в электронной оптике большое внимание уделяется изучению осесимметричных электрических и магнитных полей.
Для описания полей, обладающих осевой симметрией, целесо образно ввести цилиндрическую систему координат (рис. 1.14), в
которой значение потенциала в точке р выражается через три ко ординаты: z, г, т. е.
U =U (z,r,x(5).
Условие осевой симметрии в цилиндрической системе коорди
нат может быть записано следующим образом: |
|
U(z, г, I|J) = U(z, г, 0), |
(1.50) |
т. е. значения z и г однозначно определяют величину U независи
мо от угла поворота [U—U{z, г)]. |
измерено |
Обычно наиболее просто может быть рассчитано и |
|
распределение потенциала вдоль оси системы (г= 0 ). |
Поэтому |
очень удобно представить распределение потенциала в некоторой области вблизи оси системы через значение известного потенциала на самой оси.
В поле, свободном от объемного заряда, потенциал удовлетво ряет уравнению Лапласа, которое в цилиндрической системе коор динат записывается так:
d2U |
1 |
dU |
&V |
1 |
дЮ |
" а ? |
г |
dr |
дг2 |
гг |
(1.51) |
dip2 |
|||||
В осесимметричном |
поле |
[U= U(z, |
г) |
f (TJ) ] последний член |
|
уравнения (1.51) обращается |
в нуль, и уравнение принимает вид: |
d*U 1 dU d2U dz2 г dr dr2
Будем искать решение уравнения (1.52) в виде ряда по степе ням г.
U ( z , r ) = £/0(г ) + ^г(2)г2+ £/4(г)г4 + ... |
(1.52а |
Ряд содержит только четные степени г по следующим сообра жениям. Если рассечь пространство плоскостью, проходящей чере: ось, то 2 и г на этой плоскости можно рассматривать как декар товы координаты (рис. 1.15).
Две симметричные относительно оси 0Z точки а и b по условии характеризуются одинаковым потенциалом, так как одна перехо дит в другую при повороте плоскости на угол ф =я. В то же врем;
точка Ь отличается от точки а только |
знаком координаты |
г, кото |
рый не изменит значения потенциала |
лишь тогда, когда |
все сте |
пени г будут четные.
Первый член ряда Uo(z) определяет распределение потенциа ла вдоль оси системы (г= 0 ). Продифференцируем ряд (1.52а] дважды по 2, один раз и дважды по г и подставим его в уравненш (1.52), объединив члены с одинаковыми степенями г:
Uо' (2) + 4U2(2) + |
[Uz (2) + 16С/4(2 )]г2 + |
+ [ Щ ' (г) + |
36£/6(2)]г*+... = 0 |
(здесь штрихи обозначают дифференцирование по г).
Так как это равенство должно быть справедливо при любы;
значениях г, то, очевидно, коэффициенты |
при всех степенях i |
||
должны равняться нулю: |
|
|
|
Uo (2) + 4U2(z) = |
0, |
Uz (г) + |
16U,(z) = О, |
откуда |
|
|
|
U2( z y = - ± U o ( z ) , |
t/4(2) = |
l-£ /oIV(2), |
|
или в общем случае |
|
|
|
|
|
U fh) (2 ) |
|
U2k = |
( ~ l ) h22ft(£ !)2 |
' |
Подставив значения коэффициентов при гк в ряд, получим вы ражение потенциала осесимметричного электрического поля:
U(г, г) = Uo(2) — j - Uo (2) г2 + |
и]У (г) г4 — , |
||
|
|
4 |
64 |
или в общем случае |
|
|
|
U (z,r)= |
2 |
( - 1 ) * |
2k |
|
|||
|
|
h= О (*!)2