§3 Динамика идеализированной нерелятивистской Вселенной

Рассмотрим следующую идеализированную систему. Однородное и изотропное пространство однородно заполнено гравитирующим нерелятивистским одноатомным газом. Используя обобщенные космологические уравнения А. А. Фридмана (2.17) и (2.18), а также уравнения, описывающие термодинамические свойства идеального газа, изучим динамику этой системы.

На простом примере нерелятивистской Вселенной покажем, что в однородных изотропных гравитирующих средах существенную роль, кроме сил гравитации, могут играть объемные центробежные силы. Эти силы автоматически появляются в уравнениях А. А. Фридмана, если в этих уравнениях симметрично с энергией разлета космической среды описывать энергию ее теплового движения.

В уравнениях А. А. Фридмана (2.2), (2.3) присутствуют слагаемые, описывающие кинетическую энергию радиального движения космической среды , но отсутствуют аналогичные по форме слагаемые, описывающие энергию ее теплового движения. Естественно предполагать, что описание энергий радиального и теплового движения космической среды в уравнениях А. А. Фридмана должно быть однотипным.

Такое описание может быть получено, если в этих уравнениях (2.2), (2.3) произвести формальную замену:

,

(3.1)

где v²(a)/2 – энергия теплового движения единицы массы космической среды. Используемые преобразования (3.1), как будет видно, являются частным случаем преобразований (2.14), (2.15). Они являются удобным способом описания в рамках уравнений А.А. Фридмана ранее не в полной мере учтенного влияния тепловой энергии космической среды на ее динамику. Эта энергия является не только одним из источников гравитационного поля, что учитывалось ранее, но одновременно и причиной сил отталкивания.

С учетом (3.1) космологические уравнения А. А. Фридмана запишутся в виде:

,	(3.2)
.	(3.3)

Уравнения (3.2), (3.3) являются частным случаем обобщенных уравнений А.А. Фридмана (2.17), (2.18) имеющим место при .

Дифференцируя уравнение (3.2), находим:

.

(3.4)

Из уравнения (3.3), с учетом (3.2) по t, получаем:

.

(3.5)

Приравнивая (3.4), (3.5), заключаем, что при любом виде функции v²(a) и значении параметра k справедливо уравнение, описывающее закон сохранения энергии космической среды в адиабатическом процессе:

.

(3.6)

Для нерелятивистского одноатомного газа вид зависимости v²(a) вполне определенный и является следствием уравнения (3.6). Покажем это.

Для одноатомного идеального газа справедливы формулы:

,	(3.7)
,	(3.8)

где n – концентрация частиц, _k – внутренняя энергия единицы объема, T – температура, P - давление идеального газа, k_B – постоянная Больцмана.

Считая величину v²/c² малым параметром задачи, заключаем, что (3.6) распадается на два уравнения:

,	(3.9)
.	(3.10)

Уравнение (3.9) описывает закон сохранения числа частиц. Из него следует:

.

(3.11)

Уравнение (3.10) описывает закон сохранения тепловой энергии в адиабатическом процессе. Интегрируя (3.10), находим:

.

(3.12)

Так как _k ~ nv², то с учетом (3.11), из (3.12) получаем:

.

(3.13)

Значок 0 здесь и далее означает, что значение соответствующей величины относится к «начальному» моменту времени.

С учетом малости параметра v²/c², формула (3.5) упрощается и принимает вид:

.

(3.14)

С учетом (3.11) и (3.13), преобразуем (3.14) к виду:

,

(3.15)

где

,	(3.16)
.	(3.17)

График функции U_эфф(a) изображен на рис. 1. Величины M₀=M(a) и являются параметрами рассматриваемой здесь идеализированной нерелятивистской Вселенной.

Первым интегралом уравнения (3.15) является энергия:

.

(3.18)

Сравнивая (3.2) и (3.18), заключаем, что параметр k, определяющий тип кривизны пространства, связан с энергией E формулой:.

.

(3.19)

В зависимости от того E<0, E=0 или E>0, принципиально различными являются решения, описывающие динамику идеализированной нерелятивистской Вселенной. Различными являются и типы пространств, соответствующих этим решениям.

Параметр k, характеризующий тип кривизны пространства, как видно из (3.19), определяется удельным значением энергии космической среды E.

Уравнение (3.18) является законом сохранения энергии нерелятивистской космической среды. В отличие от соответствующего закона сохранения «стандартных» уравнений А. А. Фридмана, в этом уравнении учитывается, что изменение кинетической энергии радиального движения космической среды происходит не только за счет изменения потенциальной энергии, но и за счет изменения энергии теплового движения.

Отметим, что энергия теплового движения среды v²/2 в рассматриваемой нами задаче является одновременно и центробежной энергией. Справедливо соотношение:

.

(3.20)

Уравнение (3.15) отличается от «стандартного» уравнения А. А. Фридмана, для нерелятивистской среды, наличием в правой части уравнения слагаемого , описывающего действие на космическую среду центробежных сил. Действие этих сил, как мы видим, обусловлено наличием у среды тепловой энергии. Существенно также, что пространство Вселенной является искривленным.

Рис. 1. График Uэфф(a) (3.16).

Уравнение (3.15) аналогично уравнению, описывающему радиальное движение единичной массы, имеющей вращательный момент L=L₀, в гравитационном поле точечной массы М₀.

При Е < 0, нерелятивистская идеализированная Вселенная является замкнутой и осциллирующей (см. рис. 2, тип решений а). Она имеет конечный объем и массу.

Если Е  0, то осуществляются инфинитные решения – тип б), см. рис. 2.

Вселенная является открытой. Ее объем бесконечен, как и ее полная масса.

При выполнении «начального» условия:

(3.21)

реализуется стационарное решение – тип с), см. рис. 2. Вселенная при этом является замкнутой, имеет конечный объем .

Рис. 2. Возможные типы решений уравнения (3.15). а) – осциллирующая Вселенная (Е < 0); б) – открытая Вселенная (Е  0); с) – стационарная Вселенная (E =Um).

Условия Е<0 и Е0 можно записать в виде, который обычно используется в космологии, а именно: Е<0  ₀>_L, Е0  ₀_L, соответственно. В рассматриваемой здесь модели роль критической плотности играет величина

.

(3.22)

Отметим, что центробежные космологические силы существенно влияют на значение критической плотности.

В заключение этого параграфа отметим следующее. Уравнения (3.2), (3.3) можно записать в виде:

,	(3.23)
,	(3.24)

где величины _эфф и P_эфф определяются формулами:

,	(3.25)
.	(3.26)

Уравнения (3.23), (3.24), описывающие динамику нерелятивистской однородной и изотропной Вселенной, с учетом действия центробежных сил, являются компонентами уравнений Эйнштейна, в которых тензор энергии-импульса космической среды:

.

(3.27)

Из (3.23), (3.24) стандартным образом получаем уравнение, определяющее динамику космической среды. Оно имеет вид:

.

(3.28)

С учетом (3.25), (3.26) это уравнение запишем в виде:

.

(3.29)

Видно, что космическая среда одновременно обладает двумя свойствами. Вследствие присущих ей энергии  и давлению P, она создает гравитационное поле притяжения. С другой стороны, вследствие наличия у космической среды центробежной энергии она одновременно обладает также еще и другими характеристиками _r и P_r, которые определяются формулами:

,

(3.30)

где

.

(3.31)

Величины -_r и -P_r являются источниками космологических сил отталкивания, аналогами  и P для гравитационного поля. Из (3.29) видно, что ускорение, создаваемое силами отталкивания, определяется формулой:

.

(3.32)

Интересно отметить, что характеристики среды _r и P_r связаны уравнением состояния:

.

(3.33)

Это уравнение аналогично уравнению состояния чернотельного излучения. Величины _r, _r и P_r целесообразно называть вращательными. Из (3.30), (3.31) видно, что их существование связано с наличием у частиц космической среды тепловых скоростей и, как следствие, отличного от нуля космологического вращательного момента.

Уравнение, определяющее динамику космической среды (3.29) c учетом (3.32), запишем в виде:

.

(3.34)

Для нерелятивистской среды v² << c² , и поэтому вкладом тепловой энергии в создание гравитационного поля можно пренебречь, и (3.34) записать в виде уравнения (3.15).

Учитывая формулы (3.30) – (3.34), можно сделать следующий вывод. Космическая среда, кроме свойства создавать гравитационное поле, источником которого является плотность энергии  и давление P, обладает и другим свойством. Оно заключается в том, что в этой же среде создается также и поле сил отталкивания. Источником этого поля являются присущие космической среде характеристики: - и - .

Сформулированная в настоящем параграфе модель дает описание динамики однородной, безграничной, нерелятивистской космической среды. Идея о взаимосвязи сил отталкивания с изменением тепловой энергии космической среды, подробно описанная в этом параграфе, будет использована нами при построении модели реальной Вселенной.