Приложения Приложение 1. Космологические уравнения а. А. Фридмана

Уравнения А. А. Фридмана лежат в основе предлагаемой нами С-модели. Будем следовать методике изложения материала принятой в [22]. Для облегчения понимания, приводим ссылки на соответствующие параграфы этой книги.

В основе космологии лежит общая теория относительности (ОТО). Согласно этой теории, четырехмерное пространство-время, при наличии материи, является неевклидовым. Метрические свойства пространства-времени описываются метрикой:

.

(П.1)

Согласно [22] латинские индексы: i, j, k,… принимают значения 0, 1, 2, 3; греческие: α, β, γ - 1,2,3. Метрические коэффициенты g_ik являются функциями четырех пространственно-временных координат xⁱ=(x⁰, x¹, x², x³). Они взаимно однозначно связаны с распределением материи и характером движения частиц, ее составляющих. Величиной, определяющей свойства материи, является тензор энергии-импульса T_ik. Взаимосвязь между компонентами метрического тензора g_ik и тензора энергии-импульса T_ik определяется уравнениями Эйнштейна:

,

(П.2)

где – тензор Риччи, R – его след, – символ Кронекера.

Тензор Риччи имеет вид:

.

(П.3)

Символы Кристоффеля, определяются формулой:

.

(П.4)

Космическую среду описывают как идеальную, непрерывную сплошную среду, записывая тензор энергии-импульса в стандартной форме:

,

(П.5)

где uⁱ - четырехмерная скорость макроскопического движения среды.

В фридмановском описании пространство Вселенной является однородным и изотропным. При его описании удобно исходить из геометрической аналогии, рассматривая это пространство как однородную и изотропную трехмерную гиперповерхность в фиктивном четырехмерном евклидовом пространстве (см. §107, [22]).

В этом пространстве могут быть стандартным образом введены четырехмерные декартовы, сферические и другие системы координат. Уравнение, описывающее нестационарную однородную и изотропную трехмерную гиперповерхность в четырехмерных декартовых координатах (x₁, x₂, x₃, x₄) имеет вид:

.

(П.6)

Постоянная k может принимать три значения: k=+1, -1, 0. При k=1 реализуется случай пространства постоянной положительной кривизны. Значению k=-1 соответствует пространство отрицательной кривизны. Евклидово пространство нулевой кривизны имеет место при k=0. Точка О = (0, 0, 0, 0) является центром Вселенной, а – ее радиусом. При k=1 пространство однородной и изотропной Вселенной является трехмерной гиперсферой. В нестационарной Вселенной ее радиус а изменяется во времени. Формулы для пространства отрицательной кривизны можно получить из формул для пространства положительной кривизны, заменив в них a на ia, где мнимая единица. Другими словами, геометрия пространства отрицательной кривизны получается математически как геометрия на трехмерной псевдосфере с мнимым радиусом.

При k=1 для описания геометрии этой Вселенной удобно использовать четырехмерную сферическую систему координат (a, , , ). Связь между четырехмерными декартовыми и сферическими координатами определяется формулами:

(П.7)

Допустимые интервалы изменения сферических координат:

.

Для описания геометрии однородной изотропной трехмерной гиперповерхности в уравнениях А. А. Фридмана используется трехмерная криволинейная система координат – сопутствующая система.

Временную координату выбирают так, чтобы в сопутствующей системе координат интервал между двумя бесконечно близкими событиями, происходящими в одной точке определялся формулой:

.

(П.8)

Введенное так время называют мировым.

Для описания движения в сопутствующей системе координат, удобно использовать координаты (, , ).

Интервал между двумя бесконечно близкими событиями в сопутствующей системе координат запишется в виде [22] (108.2):

.

(П.9)

Вместо переменной t, воспользуемся переменной , определяемой соотношением:

,

(П.10)

где η – безразмерная величина времени, η=x⁰.

В этом случае интервал , определяемый при формулой (П.9), запишется в виде:

.

(П.11)

Полагая , и записывая в стандартном виде (П.1), находим компоненты метрического тензора :

, , , , , .

(П.12)

Определитель

(П.13)

Компоненты контравариантного метрического тензора , по определению:

(П.14)

где - миноры, соответствующие элементам в определителе . Из теории определителей следует:

.

(П.15)

Учитывая (П.13), (П.14), (П.15), находим:

(П.16)

Чтобы записать уравнения Эйнштейна (П.2) для пространства-времени с метрикой (П.11), необходимо вычислить компоненты тензора Риччи (П.3) и его след.

В виде примера приведём подробное вычисление одной из компонент тензора Риччи, например .

С учётом (П.12)

.

(П.17)

Чтобы найти , вычисляем и . Очевидно:

.

(П.18)

Штрих – производная по .

.

(П.19)

Учитывая (П.18), (П.19), находим:

.

(П.20)

При вычислении используем формулу (86.5) из [27]:

.

(П.21)

Учитывая (П.13), (П.21), заключаем, что , и, следовательно:

.

(П.22)

Чтобы вычислить в (П.17) слагаемое , учитывая (П.19), (П.21), находим:

.

(П.23)

При вычислении последнего слагаемого в (П.17) учитываем, что

.

Так как , то

.

(П.24)

Подставляя (П.20), (П.22)-(П.24) в (П.17), заключаем, что:

.

(П.25)

Нахождение других компонент тензора Риччи проводится аналогично. Легко показать, что:

.

(П.26)

Метод вычисления компонент тензора Риччи , основанный на учете симметрии тензора кривизны в однородной изотропной Вселенной, приведен в §107 [22].

Учитывая (П.25), (П.26), находим след тензора Риччи:

.

(П.27)

Из (П.25), (П.26) следует:

	(П.28)
.	(П.29)

При вычислении правой части уравнений Эйнштейна учитываем, что в сопутствующей системе координат космическая среда покоится и поэтому компоненты четырехмерной скорости Учитывая, что среда является идеальной, заключаем, что отличны от нуля лишь следующие компоненты тензора энергии-импульса (П.5):

(П.30)

Из (П.25)-(П.30), заключаем, что для пространства с метрикой (П.11), однородно заполненного идеальной средой, уравнения Эйнштейна сводятся к двум уравнениям:

	(П.31)
	(П.32)

Переходя от переменной к переменной t, из (П.10) получаем:

(П.33)

Используя (П.33), уравнения(П.31), (П.32) приводим к виду:

	(П.34)
	(П.35)

Точка означает производную по времени t.

Аналогичные вычисления могут быть проведены для случаев и . Общим результатом для случаев являются уравнения:

	(П.36)
	(П.40)

Эти уравнения носят название космологических уравнений А. А. Фридмана.