Приложение 2. Обобщенные уравнения а.А. Фридмана и законы сохранения

В этом Приложении докажем справедливость при любом виде функции , закона сохранения содержащегося в обобщенных космологических уравнениях А.А. Фридмана.

Для любого симметричного тензора справедлива формула:

,

(П.41)

см., например, §86 [22].

Ко- и контравариантные компоненты метрического тензора, а также величина , для интересующего нас случая, приведены в Приложении 1., см. (П.12), (П.16).

Учитываем, что тензор , входящий в обобщенные уравнения А.А. Фридмана (2.17), (2.18), является симметричным и у него отличны от нуля лишь диагональные компоненты:

.

(П.42)

Подставляя (П.42) в (П.41), учитывая (П.13) и проводя не сложные, но громоздкие вычисления, находим:

,	(П.43)
.

Точка означает дифференцирование по времени t.

Учитывая выражения для и , определяемые формулами (2.15), находим, что при любом выборе функции справедливо тождество:

.

(П.44)

На основании уравнений (П.43), (П.44), делаем вывод: при любом выборе функции , закон сохранения:

(П.45)

выполняется. Он содержится в обобщенных уравнениях А.А. Фридмана и при любом выборе функции сводится к закону . Для однородной, изотропной космической среды физический смысл закона сохранения внутренней энергии имеет лишь компонента . Она имеет вид:

.

(П.46)

Другие компоненты уравнения (П.45) тождественно равны нулю.

Приложение 3. Динамика двухмерного однородного изотропного мира

Рассмотрим пример идеализированной двухмерной, однородной, изотропной, безграничной гравитирующей среды, состоящей из частиц. Покажем, что даже в случае, когда в сопутствующей двухмерной криволинейной системе координат макроскопические элементы гравитирующей среды не обладают вращательными моментами, объемные силы отталкивания могут играть важную роль. Эти силы являются центробежными по своей природе. Рассматриваемый здесь пример наглядно показывает, что наличие дисперсии скоростей частиц, составляющих однородную гравитирующую систему, является одной из причин возникновения макроскопических сил отталкивания. Другой причиной существования этих сил является кривизна двухмерного пространства, являющегося «внутренним» по отношению к рассматриваемой однородной изотропной гравитирующей системе.

На космологических масштабах Вселенная является трехмерной, однородной, изотропной, безграничной гравитирующей системой. Рассмотрение аналогичной, но двухмерной гравитирующей системы, в силу ее наглядности и простоты является полезным. Оно указывает на целесообразность обобщения идеи о центробежной природе сил отталкивания в однородной изотропной, безграничной двухмерной гравитирующей среде на трехмерный случай.

Рассматриваемый здесь идеализированный пример явился для нас важной подсказкой для правильного, как мы полагаем, понимания природы сил отталкивания в однородной изотропной Вселенной.

Описание модели

Рассмотрим следующую идеализированную систему. Гравитирующие частицы однородно распределены по поверхности сферы и движутся в самосогласованном гравитационном поле. Предполагаем, что расстояния между частицами много больше размеров частиц, а их общее количество велико. При этом, как известно (см., например [26]) влияние, парных столкновений на частицы в раз меньше, чем влияние на них самосогласованного поля, поэтому при N>>1 столкновения можно не учитывать. Считаем, что в сферической системе координат, центр, которой совпадает с центром гравитирующей сферы, в начальный момент времени все частицы имеют одинаковые радиальные , а также и тангенциальные скорости. Распределение тангенциальных скоростей является изотропным. Число частиц на сфере , ее радиус .