- •Программная реализация численных методов и анализ результатов численного эксперимента
- •Методические указания
- •К курсовым работам по дисциплинам
- •«Информатика» и «Языки и технология программирования»
- •Содержание
- •Введение
- •1. Цель и задачи курсовых работ
- •2. Задание на курсовые работы
- •3. Структура пояснительной записки
- •Вычисление второй производной
- •4.1.2. Численное интегрирование функций
- •Метод Эйлера
- •4.1.3. Численное решение нелинейных уравнений
- •Метод бисекций
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Метод хорд (секущих)
- •4.2. Применение экстраполяции для оценки погрешности
- •Численная фильтрация
- •Метод Эйткена
- •Критерий размытости оценки
- •Визуализация результатов экстраполяции
- •4.3. Разработка программ, реализующих комбинацию численных методов
- •5. Пример курсовой работы
- •Список Литературы
- •Образец оформления бланка задания на курсовую работу
- •Образец оформления титульного листа пояснительной записки
- •Уфимский государственный авиационный технический университет
- •Пояснительная записка
Метод Эйлера
Самый простой способ заключается в использовании метода левых прямоугольников
. (19)
Такой метод решения задачи Коши называют методом Эйлера. Результаты применения этого метода показаны на рис. 5, б. Интегрирование на каждом шаге проводится при постоянном значении f(x,y), а значение этой функции равно производной искомой функции y(x). Отсюда следует, что метод Эйлера сводится к сдвигу вдоль касательной, проведенной к графику функции y(x) из начальной точки. Далее определяется угол наклона касательной в полученной точке и проводится новый шаг.
4.1.3. Численное решение нелинейных уравнений
Пусть дано нелинейное уравнение
, (20)
корни которого необходимо найти.
Допустим, что известен интервал [a,b], на котором непрерывная функция f(x) меняет знак (рис. 6). В этом случае можно считать, что известно приближенное решение уравнения x=(a+b)/2 с погрешностью, оценкой которой служит полуширина интервала неопределенности (0)=ba/2.
Рис. 6. Решение нелинейного уравнения
Метод бисекций
Метод бисекций (дихотомии, половинного деления) заключается в вычислении значения функции в середине отрезка [a,b], сравнении его знака со знаком функции, например, в точке а и отбрасывании той половины отрезка [a,b], на концах которой функция имеет одинаковые знаки. Далее это повторяется до тех пор, пока оценка погрешности (k)=b(k)a(k)/2 не станет меньше заданного числа .
Алгоритм решения задачи может выглядеть следующим образом:
Метод простых итераций
Приведем (20) к виду
, (21)
например, выбрав в виде: .
Выберем начальное приближение x(0). Тогда можно организовать итерационный процесс по правилу
,
,
………………
, (22)
………………
Условие сходимости итерационного процесса записывается в виде неравенства (предполагая существование производной в области поиска).
Процесс сходимости приближенного решения к точному иллюстрируется на рис. 7, а.
Условие сходимости <1 является существенным, т.е. при 1 имеет место расходимость (см. рис. 7, б).
|
|
а |
б |
Рис. 7. Решение нелинейного уравнения методом простых итераций:
а – сходимость при , б – расходимость при .
Метод Ньютона (касательных)
Допустим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема. Метод Ньютона заключается в построении касательной к графику функции y=f(x) в точке x=x(0), определению точки пересечения касательной с осью абсцисс, которая считается следующим приближением x(1), построению касательной в этой точке и т.д. (рис. 8).
Используем уравнение касательной, проведенной в точке
(23)
и условие пересечения графиком касательной оси абсцисс (y=0), найдем
. (24)
Рис.8. Метод Ньютона
Метод хорд (секущих)
Недостаток метода Ньютона связан с необходимостью вычисления производной. Однако производную можно приближенно вычислять конечно-разностным способом. На графике это можно изобразить, отметив на кривой y=f(x) две точки при x=x(0), x=x(1) и проведя через них секущую до пересечения с осью абсцисс (рис. 9). Если x(0)и x(1) расположены с разных сторон от корня x*, то ось абсцисс пересекает хорда, соединяющая две точки кривой (рис. 9).
Уравнение секущей, проходящей через две точки (x(0),f(x(0))), (x(1),f(x(1)))
.
Точка пересечения секущей с осью абсцисс (y=0) является следующим приближением решения уравнения
. (25)
Рис. 9. Метод секущих (хорд)