4.1.2. Численное интегрирование функций

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл от некоторой непрерывной функции f(x)

. (6)

Численное значение интеграла равно площади, заключенной между кривой y= f(x), осью x и вертикальными прямыми x=a и x=b (рис. 2).

Разобьем отрезок интегрирования на n частей. Введем в рассмотрение последовательность узловых точек x_j[a,b], x_j=a+jh, j=0,...,n. Величина называется шагом разбиения. Обозначим f_j=f(x_j).

С помощью такого разбиения площадь криволинейной фигуры удается вычислить намного точнее и проще, чем без разбиения (см. рис. 2).

Рис. 2. Численное интегрирование

Таким образом, интеграл представляется суммой интегралов

. (7)

Метод левых прямоугольников

Вместо площади криволинейной фигуры вычисляется площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции f(x) в крайней левой точке (рис. 3, а)

. (8)

. (9)

а

б

Рис. 3. Методы левых (а) и правых (б) прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Вместо площади криволинейной фигуры вычисляется площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции f(x) в крайней правой точке (рис. 3, б)

. (10)

. (11)

Метод средних прямоугольников

Для вычисления интеграла можно использовать значение функции в середине отрезка (рис. 4, а)

. (12)

. (13)

Метод трапеций

Теперь рассмотрим численное интегрирование фигуры, полученной путем соединения отрезком прямой двух точек на графике функции. Полученная фигура является трапецией (рис. 4, б). Тогда интеграл приближенно равен ее площади

, (14)

(15)

а

б

Рис. 4. Методы средних прямоугольников (а) и трапеций (б)

Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка задачи

Рассмотрим сначала следующую задачу. Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

(16)

и начальное условие

. (17)

Такая задача называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Известно, что решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка для непрерывной функции f(x) графически представляется в виде однопараметрического семейства кривых (см. например, рис. 5, а). Задание начального значения позволяет выбрать из этого семейства одну кривую, которая является решением задачи Коши.

а

б

Рис. 5. Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Для численного решения задачи введем сетку x_j, j=0,...,n, x₀=a. Верхняя граница x_n=b выбирается исходя из условий практического приложения результатов расчета. В случае равномерного разбиения с шагом h узловые точки определяются следующим образом: x_j=a+jh. Обозначим y_j=y(x_j). Тогда

. (18)

Однако в отличие от задачи интегрирования функций под знак интеграла входит неизвестная зависимость y(x). Поэтому интегрирование не может быть осуществлено точно. Но существуют способы сделать это приближенно.