10.6. Оценивание координат состояния систем

Оценивание координат состояния систем требуется в случае необходимости введения в систему автоматического управления корректирующего сигнала от какой-либо координаты состояния x_i, которая не измеряется как физическая.

Для этого служит косвенная оценка неизмеряемых координат состояния системы путем введения так называемого “наблюдателя” по Калману [2]. Метод оценки вектора состояния дает возможность “восстановить” неизмеряемые координаты вектора состояния в виде и использовать “восстановленный” вектор состояния системы для решения задачи, например, модального синтеза в пространстве состояний.

Схема оценивания координат состояния реализуется в виде дополнительной динамической аналоговой модели - наблюдателя.

Для получения алгоритма наблюдателя Калмана запишем в векторно-матричной форме уравнения объекта управления

(10.50)

и управляющее воздействие

U = M+FG , (10.51)

где G - задающее воздействие;

A, B, M, F - матрицы коэффициентов.

Выходные координаты системы задаются в виде

Y = CX .

Оценка координат состояния системы наблюдателем формируется следующим образом:

= A BM+ P( Y  C) + BFG , (10.52)

где P - тоже матрица коэффициентов.

Рассматривая совместно уравнения (10.50), (10.51) и (10.52), получим

(10.53)

= PCX + (A  BM PC) + BFG , (10.54)

или в векторно-матричной форме

.

Из полученных уравнений видно, что при использовании наблюдателя порядок всей системы увеличивается до 2n, тогда как n - число координат, которые можно использовать для управления системой, сохраняется.

Характеристическое уравнение системы с наблюдателем имеет вид

. (10.55)

Для оценки точности работы наблюдателя перейдем к новым координатам в виде X = X . Вычитая (10.54) из (10.53), получаем

= AX  PCX  (A  PC)=A[ X  ]  PC[ X  ].

Следовательно,

= (A  PC)X. (10.56)

Из уравнения (10.53), заменяя =X  X, при отсутствии задающего воздействия G имеем

или

(10.57)

Уравнения (10.57) и (10.56) в векторно-матричной форме имеют вид

. (10.58)

Характеристическое уравнение для этой системы будет

.

Оно принимает вид

D() = E  A  BME  A  PC = 0,

т. е. распадается на два уравнения

E  A  BM = 0, (10.59)

E  A  PC = 0. (10.60)

Последнее обстоятельство дает возможность независимого модального синтеза как основной системы с координатами вектора X по уравнению (10.59), так и системы определения погрешности X по уравнению (10.60). Требуется, чтобы погрешность наблюдения X(t) быстро затухала во времени.

Существуют и другие схемы наблюдателей, каждый из которых обладает своими особенностями.

10.7. Прямой корневой метод синтеза систем управления

Качество процесса управления, как отмечалось в разделе 6.5, определяется расположением корней характеристического уравнения замкнутой системы. В связи с этим разработаны различные корневые методы расчета систем управления. Одним из них является прямой корневой метод синтеза, называемый модальным методом синтеза системы по заданному качеству процесса управления [2]. Вводится целевая функция, которая является функциональным выражением поставленной цели при синтезе системы. Обычно целевую функцию представляют как ограниченную скалярную действительную непрерывно дифференцируемую функцию F = F(q₁, q₂, ..., q_n) искомых параметров q_i (i = 1, 2, ..., n) регулятора системы.

При этом общую задачу рассматривают как выбор вектора параметров q = [q₁, q₂, ..., q_n]^T , оптимизирующего в допустимых пределах значение целевой функции на допустимом множестве Qⁿ.

Однако часто при проектировании системы не проводят подобную оптимизацию, а исходят из удовлетворения заданным требованиям.

В этом случае задача синтеза состоит в том, чтобы, опираясь на ряд качественных показателей системы, найти соответствующее расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы ₁, ₂, ..., _n на комплексной плоскости, а затем найти параметры регулятора, обеспечивающие заданное расположение указанных корней. При этом исходными качественными показателями могут быть, например, вид переходного процесса, время регулирования, колебательность, интегральная квадратичная ошибка и так далее. Указанные требования на одновременное выполнение различных качественных показателей создаваемой системы приводят к задаче выделения на комплексной плоскости соответствующих областей допустимого расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Характеристическое уравнение системы D() = 0 (10.26) переписывается в виде

ⁿ +a₁^n-1 + a₂^n-2 + ... + a_n-1 +a_n = 0. (10.61)

Каждый коэффициент a_i (i = 1, 2, ..., n) является функцией от параметров объекта управления и регулятора, то есть

a_i = a_i(q), i = 1, 2, ..., n, (10.62)

где q = [q₁, q₂, ..., q_n]^T - искомый параметрический вектор.

Для решения задачи модального синтеза ставится в соответствии с (10.61) и (10.62) желаемый характеристический многочлен

D^*() = (   ₁^* )(   ₂^* ) ... (   _n^* );

после раскрытия скобок получаем

D^*() = ⁿ +b₁^n-1 + b₂^n-2 + ... + b_n-1 +b_n, (10.63)

где _i^* - желаемые значения корней характеристического полинома, лежащие в заданных пределах:

_i^’  _i^*  _i^”, i = 1, 2, ..., n,

b_i = b_i( ₁^* , ₂^*, ..., _n^* ). (10.64)

Приравнивая соответствующие коэффициенты (10.62) и (10.64), получаем

a_i(q) = b_i( ₁^* , ₂^*, ..., _n^* ), i = 1, 2, ..., n. (10.65)

Таким образом, имеем систему n уравнений с n неизвестными, решая которую непосредственно или численными методами, можно определить все n значений параметров вектора q = [q₁, q₂, ..., q_n]^T.

Очевидно, что независимое назначение всех коэффициентов характеристического уравнения a_i (i = 1, 2, ..., n) возможно лишь при числе корректирующих параметров не менее n. Это обстоятельство делает возможным предписанное назначение желаемых корней _i (i = 1, 2, ..., n).

В настоящее время для синтеза систем имеются разнообразные программные средства. Примером может служить CLASSiC (Complex Linear Analysis and Structure Synthesis in Control) - программа для персональных компьютеров класса IBM PC, позволяющая строить математические модели, анализировать и синтезировать системы управления со сложной структурой [16].

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 10

1. Что такое состояние, пространство состояний, вектор

состояния?

2. Запишите стандартную форму уравнений в пространстве

состояний. Поясните физический смысл уравнений.

3. Как получить сопровождающую матрицу или матрицу

Фробениуса?

4. От каких параметров передаточной функции зависят

элементы матрицы системы управления?

5. Перечислите свойства матричной экспоненты.

6. Какова структура решения уравнений переменных

состояния?

7. Перечислите характеристики систем в пространстве

состояний. Дайте понятие управляемости и наблюдаемости

систем и критерии их проверки.

8. Запишите характеристический определитель матрицы A.

9. Что представляет собой нормальная форма уравнений в пространстве состояний? Как ее получить?

10. Дайте понятие управления по состоянию. Расскажите о

системах управления состоянием. Что представляет собой

модальный регулятор?

11. Каким образом можно оценить координаты состояния

систем?

12. Поясните постановку задачи модального метода синтеза

систем по заданному качеству процесса управления.