- •Теория управления
- •Часть 1 обыкновенные линейные системы управления
- •Рекомендуется учебно-методическим объединением по образованию
- •Предисловие
- •Введение
- •1. Общие сведения о системах управления
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.3. Классификация систем управления
- •Математическое описание элементов и систем управления
- •2.1. Общие понятия
- •2.2. Линеаризация дифференциальных уравнений
- •2.3. Формы записи линеаризованных уравнений
- •3. Динамические звенья и их характеристики
- •3.1. Характеристики линейных звеньев
- •3.2. Типовые динамические звенья и их характеристики
- •3.3. Структурные схемы. Способы соединения звеньев
- •Составление исходных уравнений замкнутых систем автоматического управления
- •4.1. Дифференциальные уравнения и передаточные функции замкнутых систем управления
- •4.2. Многомерные системы управления
- •5. Устойчивость систем управления
- •5.1. Понятие устойчивости систем
- •5.2. Устойчивость линейных систем
- •5.3. Алгебраические критерии устойчивости
- •5.4. Частотные критерии устойчивости
- •5.5. Запасы устойчивости
- •5.6. Оценка устойчивости по лчх
- •6. Оценка качества управления
- •6.1. Общие понятия
- •6.2. Оценка точности работы систем
- •6.3. Показатели качества переходного процесса
- •6.4. Частотные оценки качества
- •6.5. Корневые оценки качества
- •6.6. Интегральные оценки качества
- •6.7. Моделирование систем управления
- •Точность и чувствительность систем управления
- •7.1. Общие методы повышения точности систем управления
- •7.2. Теория инвариантности и комбинированное управление
- •7.3. Неединичные обратные связи
- •7.4. Чувствительность систем автоматического управления
- •8. Улучшение качества процесса управления
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Законы управления. Типовые регуляторы
- •8.3. Корректирующие устройства
- •8.4. Синтез систем автоматического управления
- •9. Случайные процессы в системах управления
- •9.1. Введение в статистическую динамику систем управления
- •9.2. Общие сведения о случайных процессах
- •Вопросы к разделу 9
- •10. Анализ систем в пространстве состояний
- •10.1. Описание систем в пространстве состояний
- •10.2. Структура решения уравнений переменных состояния
- •10.3. Характеристики систем в пространстве состояний
- •10.4. Нормальная форма уравнений в пространстве состояний
- •10.5. Управление по состоянию. Системы управления
- •10.6. Оценивание координат состояния систем
- •10.7. Прямой корневой метод синтеза систем управления
- •Заключение
- •Литература
- •Глоссарий
- •Дифференцирующее звено с замедлением
- •Звено с чистым запаздыванием
- •1. Общие сведения о системах управления . . . . . . . . . . . . . 5
- •7. Точность и чувствительность систем управления . . . 114
- •8. Улучшение качества процесса управления . . . . . . . . . 128
- •9. Случайные процессы в системах управления . . . . . . . 154
- •10. Анализ систем в пространстве состояний . . . . . . . . . . 168
- •Часть 1. Обыкновенные линейные системы управления
10.4. Нормальная форма уравнений в пространстве состояний
Нормальная форма уравнений в пространстве состояний получается из стандартной формы (10.1) посредством преобразования подобия. При этом предполагается, что собственные числа матрицы А различные.
Введем линейное преобразование
X=MQ, (10.32)
где М - модальная матрица матрицы А.
Уравнения (10.1) перепишем
. (10.33)
Умножив первое уравнение из (10.33) слева на М-1 , получим
. (10.34)
Так как M - модальная матрица, то
М-1АМ = =- диагональная матрица;
где i (при i = 1, 2, ... , n) - собственные числа матрицы А.
Следовательно, можно записать
, (10.35)
где =М-1АМ, Вn= М-1B, Cn=CM, Dn=D матрицы;
Q=[q1,q2,...,qn]T - вектор состояния системы, элементами которого являются новые переменные состояния qi (при i=1, 2, ... , n).
Система (10.35) представляет собой нормальную форму уравнений описания систем управления в пространстве состояний.
Нормальная форма уравнений состояния позволяет декомпозировать многосвязную систему n-го порядка на n взаимонесвязанных систем, при этом дифференциальные уравнения становятся развязанными относительно переменных состояния q1,q2,...,qn, т.е. они имеют вид
, (10.36)
где fi - внешнее воздействие на i-ю переменную состояния.
Таким образом, переход к нормальной форме существенно упрощает исследование многосвязных систем.
В случае кратных собственных чисел матрицы A диагональная матрица заменяется матрицей J, которая строится из клеток Жордана, например,
. (10.37)
Таким образом, из сравнения уравнений (10.1) и (10.35) следует, что при математическом описании одного и того же динамического процесса различному выбору переменных состояния соответствуют различные матрицы системы, управления, наблюдения, связи и различные векторные дифференциальные уравнения, каждое из которых полностью определяет выходную величину системы.
Пример. Написать уравнения состояний в нормальной форме для динамической системы, представленной на рис.10.3.
Рис. 10.3. Структурная схема системы в переменных состояния
Решение. Выберем в качестве переменных состояния системы сигналы на выходах интеграторов x1 и x2. В этом случае структурной схеме (рис.10.3) соответствует следующая система уравнений (стан-дартная форма)
Откуда матрицы
, ,, D=[2].
Собственные числа матрицы A: 1= 1, 2= 2.
Модальная матрица M= и M-1=.
Тогда диагональная матрица системы, матрица управления, матрица наблюдения и матрица связи будут
=, Вn= М-1B=, Cn=CM=[-1 -1], Dn=D=[2].
Отсюда получаем уравнения состояний системы в нормальной форме
,
которым соответствует структурная схема системы, приведенная на рис.10.4.
Рис. 10.4. Структурная схема системы в переменных состояния
по полюсам
10.5. Управление по состоянию. Системы управления
состоянием
Подключение дополнительных контуров обратной связи в многоконтурных системах обеспечивает повышение качества управления. Наиболее полная информация об управляемом объекте содержится в переменных состояния. Управление по состоянию предусматривает введение в структуру системы контуров прямых и обратных связей по переменным состояния объекта управления. При этом задача стабилизации и слежения формулируется как задача поддержания постоянного X* = const или изменяющегося по заданному закону X* (t) состояния объекта управления X* = X* (t).
Изменяющиеся во времени или фиксированные сигналы xi* , определяющие требуемый характер изменения переменных состояния xi , составляют расширенный вектор задания X* = xi* , а ошибка движения объекта управления по состоянию определяется вектором отклонения e = X* X.
Упраление по состоянию, как и управление по выходу объекта управления, может быть разомкнутым: U = F[X*], замкнутым U = F[e], или комбинированным: U = F[e, X*].
Системы с регуляторами состояния относятся к многоконтурным системам и, следовательно, обладают лучшими точностными и динамическими свойствами, чем одноконтурные. Они проектируются для управления как одномерными, так и многомерными объектами управления.
Проанализируем использование линейных регуляторов состояния для решения задач стабилизации и слежения [15].
Рассмотрим задачу стабилизации объекта управления (ОУ) в точке Y* = 0, полагая, что при этом вектор состояния также принимает нулевое значение: X* = 0 (к такому виду задача почти всегда может быть приведена преобразованием координат векторов X и Y).
Простейший регулятор состояния - пропорциональный или модальный регулятор вводит обратные связи по всем переменным xi (рис. 10.5).
Рис. 10.5. Структурная схема системы с П-регулятором
Модальный регулятор реализует пропорциональный закон управления
U = KX , (10.38)
где K - матрица коэффициентов обратной связи по состоянию.
Для одномерного объекта управления в качестве координат xi вектора X можно выбрать, например, фазовые переменные y, , ..., y(n-1) , то есть
X = [ x1 x2 ... xn ]T = [ y ... y(n-1) ]T , (10.39)
где ;n - порядок системы.
Тогда K = [ k1 k2 ... kn ]. Выражение (10.38) можно записать в скалярной форме
. (10.40)
Первые члены закона управления (10.40) соответствуют описанию ПД-регулятора выхода при y* = 0.
Таким образом, регуляторы состояния являются обобщением ПД-регуляторов, хотя и не содержат в явном виде дифференцирующих звеньев. Выбор коэффициентов k матрицы обратной связи K обеспечивает получение заданных динамических свойств системы.
В условиях действия на объект управления внешних возмущений F точностные показатели качества системы с пропорциональным регулятором состояния ограничены. Снижение установившихся ошибок достигается введением в состав регулятора контуров интегральных обратных связей (рис. 10.6).
Рис. 10.6. Структурная схема системы с ПИ-регулятором
ПИ-регулятор реализует пропорционально-интегральный закон управления
, (10.41)
где KI - матрица обратных связей по интегралу от вектора состояния.
Комбинированный регулятор позволяет обеспечить компенсацию возмущения за счет прямых связей по возмущающему воздействию F (рис. 10.7).
Рис. 10.7. Структурная схема комбинированной системы по возмущающему воздействию
В этом случае закон управления принимает вид
U = KX LFXF , (10.42)
где LF - матрица коэффициентов контура связей по F;
XF - вектор, составленный из возмущения F и его производных.
Задача слежения рассматривается как задача отработки расширенного вектора задания X* = X* (t). П-регулятор состояния в следящей системе вырабатывает управляющее воздействие, пропорциональное вектору отклонения e = X* X, то есть реализует закон управления
U = Ke . (10.43)
Для одномерного объекта управления с вектором состояния (10.39) выражение (10.43) можно переписать в скалярной форме
, (10.44)
где xi* = (y(i-1))* .
ПИ-регулятор дополняет структуру системы интегральными связями:
. (10.45)
Эффективная компенсация ошибок, вызванных возмущающим воздействием F и изменениями задания X* достигается использованием комбинированного управления (рис. 10.8)
U = Ke LXX* LFXF , (10.46)
где LX - матрица коэффициентов контура прямых связей по X*;
X* - расширенный вектор задания;
LF - матрица коэффициентов контура связей по F;
XF - вектор, составленный из возмущения F и его производных.
Рис. 10.8. Структурная схема комбинированной системы
Параметрырегуляторов (коэффициенты прямых и обратных связей) определяются как функции параметров математической модели объекта управления. Поэтому при управлении нестационарным объектом возникает необходимость изменения параметров регулятора в процессе работы системы. Задача настройки регулятора осложняется, когда параметры объекта управления неизвестны или неконтролируемо изменяются. Для управления такими объектами используются адаптивные регуляторы, параметры которых настраиваются с помощью блока адаптации (БА, рис. 10.9).
Рис. 10.9. Структурная схема адаптивной системы
Адаптивный регулятор состояния комбинированного типа содержит настраиваемые контуры обратных связей по состоянию X и прямых связей по расширенному вектору задания X*. Закон управления такого регулятора
U = e X*, (10.47)
где , - матрицы прямых и обратных связей с переменными коэффициентами (параметрами).
Функции блока адаптации заключаются в автоматической настройке параметров регулятора (10.47).
В практике адаптивных систем получили распространение два подхода к настройке параметров.
Первый из них предусматривает включение в состав системы блока идентификатора, осуществляющего вычисление неизвестных параметров объекта управления. Тогда после определения вектора значения и могут быть найдены по известным, подготовленным заранее, зависимостям
= () , =() . (10.48)
Второй подход (безидентификационный) позволяет осуществить настройку контура прямых связей части регулятора (10.47). При этом матрица обратных связей рассчитывается по номинальному значению вектора и остается неизменной =KO. В качестве источника информации о параметрических ошибках регулятора в блоке адаптации используется сигнал обратной связи по отклонению:
Ue = KO e . (10.49)
Блок адаптации осуществляет изменение параметров регулятора до тех пор, пока в системе не установится нулевое значение сигнала обратной связи Ue и, следовательно, значение e будет равняться нулю.