4.2.1. Лівостороння й правостороння границі

Означення. Нехай функція визначена на множині і . Кажуть, що , якщо , при цьому число називають правосторонньою границею в точці і позначають або .

Означення. Нехай функція визначена на і . Кажуть, що , якщо , при цьому число називають лівосторонньою границею в точці і позначають або .

Теорема. Нехай функція визначена на множині і – гранична точка . тоді і тільки тоді коли .

4.3. Нескінченно малі й нескінченно великі функції

Означення. Функція називається нескінченно малою при ( - гранична точка ), якщо .

Теорема 1. тоді і тільки тоді, коли , де – нескінченно мала при .

Теорема 2. Сума двох нескінченно малих при , добуток двох нескінченно малих при , а також добуток нескінченно малої при на обмежену на функцію є нескінченно малою при .

Означення. Функція називається нескінченно великою при ( - гранична точка ), якщо .

Теорема 3. Якщо – нескінченно велика при , то – нескінченно мала при , і навпаки, якщо – нескінченно мала при , то – нескінченно велика при ( ).

4.4. Властивості функцій, що мають границю

Означення. Функція , визначена на множині називається обмеженою зверху (знизу), якщо множина її значень обмежена зверху (знизу), тобто, якщо ( ).

Означення. Функція називається обмеженою на якщо вона обмежена зверху і знизу.

Очевидно, що обмежена на тоді і тільки тоді, коли .

1⁰. Якщо існує , то функція обмежена в деякому проколотому околі точки . (доведення за допомогою означення границі за Коші).

2⁰. Якщо і , то:

;

;

(доведення за допомогою означення границі за Коші).

3⁰. Якщо , то .

4⁰. Якщо , і , то .

5⁰. Якщо і існують , то .

6⁰. Якщо існують скінченні границі , , то:

1)

2) ;

3) , ;

(доведення властивостей 3 – 6 можна провести за допомогою означення границі за Гейне і відповідних властивостей збіжних послідовностей).

4.5. Критерій Коші існування границі функції

Нехай функція визначена на множині , і – гранична точка цієї множини.

Означення. Кажуть, що функція задовольняє в точці умові Коші, якщо для , що задовольняють нерівностям виконується нерівність .

Теорема. існує тоді і тільки тоді, коли задовольняє умові Коші в точці .

Доведення.

Необхідність. Нехай існує , тоді . Нехай і виконуються нерівності .

Достатність. Нехай задовольняє умові Коші в точці , тобто , , . Доведемо, що існує.

Нехай , тоді : .

Остання нерівність означає, що послідовність фундаментальна. За критерієм Коші для послідовностей має границю .

Якщо – інша послідовність збіжна до , тобто , то знову матимемо . Покажемо, що .

Утворимо наступну послідовність . Очевидно, ця послідовність збігається до , а значить і послідовність має границю, тому .

Таким чином . Значить існує (за Гейне).

4.6. Неперервність функції

Означення. Кажуть, що функція , визначена в околі точки , є неперервною в точці , якщо .

Зауваження. Очевидно, .

Різницю назвемо приростом аргументу в точці , а різницю – приростом функції, і позначимо їх відповідно через і . Тоді . Тобто, неперервність функції в точці означає, що нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

Означення. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то кажуть, що вона неперервна на .

З властивостей границь випливає, що сума, різниця, добуток і частка двох неперервних в точці функцій є функція неперервна в точці .