1.6. Біноміальні коефіцієнти. Біном Ньютона

Розглянемо два натуральних числа і . Біноміальні коефіцієнти визначаються рівністю:

.

Мають місце наступні рівності:

1.

2.

3.

4. ;

5. ;

6. .

Формула бінома Ньютона

.

2. Аксіоматика дійсних чисел

Множина називається множиною дійсних чисел, а її елементи – дійсними числами, якщо вона задовольняє комплексу умов (аксіом) 1-5:

1. Операція додавання.

Для будь-якої упорядкованої пари визначено, причому єдиним чином, елемент , який називається їхньою сумою так, що при цьому мають місце наступні властивості:

1.1. (комутативність).

1.2. (асоціативність).

1.3. В існує елемент, що позначається і називається нулем такий, що .

1.4. Для існує елемент з , що називається протилежним до і позначається , такий що .

2. Операція множення.

Для будь-якої упорядкованої пари елементів визначено, причому єдиним чином, елемент , що називається їхнім добутком так, що при цьому мають місце наступні властивості:

2.1. (комутативність).

2.2. (асоціативність).

2.3. В існує елемент, що позначається і називається одиницею, такий, що .

2.4. , існує елемент з , що називається оберненим до і позначається або , такий, що .

3. Зв’язок операцій додавання і множення.

3.1. (дистрибутивність множення відносно додавання).

Зауваження. В алгебрі множину, яка задовольняє аксіоми 1-3 називають полем.

4. Аксіома упорядкованості.

Для кожного визначено одне з трьох співвідношень:

, , ,

причому умови і – еквівалентні, а також, якщо і , то і .

Аксіома 4 дає можливість порівнювати два елемента із за величиною.

Елемент називається більшим за елемент, і пишуть , або, що є те ж саме, елемент називається меншим за елемент , і пишуть , якщо .

Для будь-якої упорядкованої пари сума називається різницею і і позначається через , тобто

.

Для будь-якої упорядкованої пари добуток називається часткою від ділення на і позначається через , або , або , тобто

.

5. Аксіома неперервності.

Якими б не були непорожні множини і , у яких і виконується нерівність , існує такий елемент , що для будь-яких і виконуються нерівністі .

Теорема. Множина , що задовольняє аксіомам 1-5, існує і єдина з точністю до ізоморфізму, що зберігає порядок. Тобто, якщо і – дві множини, які задовольняють аксіомам 1-5, то знайдеться бієкція , яка задовольняє умовам:

2.1. Наслідки із аксіом

2.1.1. Властивості операцій додавання і множення

1⁰. Єдиність нуля (тільки одне число з має властивість нуля).

2⁰. Єдиність одиниці.

3⁰. Єдиність протилежного елемента.

4⁰. Єдиність оберненого елемента.

5⁰. .

Доведення.

1) Доведемо єдиність нуля.

Припустимо, що крім нуля 0 існує ще один нуль . Тоді в силу 1.3 маємо і . Згідно комутативності (1.1) ліві частини цих рівностей дорівнюють одна одній. Звідси випливає, що .

2) Доведемо єдиність одиниці.

Нехай крім одиниці 1 існує ще одна одиниця . Перемножимо: . З іншого боку: .

3) Доведемо єдиність протилежного елемента.

Припустимо, що крім число має ще одне протилежне число , тобто

і .

Очевидно,

. (*)

З іншого боку,

(**)

Із (*) і (**) випливає що .

5) Доведемо .

За означенням різниці . Тоді

.

2.1.2. Властивості упорядкованості

1⁰. Якщо , то .

2⁰. Якщо , то .

3⁰. виконується одне з трьох співвідношень

, , .

4⁰. Якщо , то .

5⁰. Якщо , то .

6⁰. Якщо , то .

7⁰. Якщо , то .

8⁰. .

2.2. Зображення дійсних чисел у вигляді точок прямої

Розглянемо пряму з вказаним напрямком. Виявляється, що існує бієкція із на цю пряму, при якій число зображається точкою, що лежить праворуч від точки, яка зображає число .

2.3. Абсолютна величина (модуль) дійсного числа

За означенням , .

Властивості модуля

1⁰. ;

2⁰. , ;

3⁰. ;

4⁰. .

2.4. Розширена числова пряма

– розширена множина дійсних чисел (розширена числова пряма).

За означенням приймають:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Невизначеності: , , .

2.4.1. Околи на розширеній числовій прямій

1. Нехай , .

Означення. -околом точки називається множина точок числової прямої, що задовольняють нерівності .

-окіл точки позначається .

радіус околу. окіл точки деякого радіуса.

2. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:

, де будь-яке число.

3. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:

, де – будь-яке число.

4. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:

, де .