1.3. Еквівалентні множини. Потужність множини

Означення. Будемо говорити, що множини і еквівалентні, і писати , якщо існує бієкція із на або, інакше кажучи, між елементами множин і можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Зауваження. Скінченні множини еквівалентні тоді і тільки тоді, коли кількість їх елементів однакова.

1.3.1. Властивості еквівалентних множин

1⁰. Якщо – рефлексивність.

2⁰. Якщо – транзитивність.

3⁰. – симетричність.

1.4. Зліченні множини

Означення. Множина називається зліченною, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел.

Зауваження. Потужність скінченної множини – це кількість її елементів. Говорять, що множина не більше ніж зліченна, якщо вона зліченна або скінченна.

Теорема 1. Будь-яка нескінченна підмножина зліченної множини зліченна.

Доведення.

Нехай дана зліченна множина , – її нескінченна підмножина.

Нехай – перший елемент з послідовності , який належить ; поставимо йому у відповідність число 1. Нехай – наступний елемент з послідовності , який належить ; поставимо йому у відповідність число 2 і т. д.

Одержимо взаємно однозначну відповідність між і множиною натуральних чисел . Значить, множина за означенням є зліченною.

Теорема 2. Будь-яка нескінченна множина містить зліченну підмножину.

Доведення.

Нехай - нескінчена множина. Візьмемо довільний елемент із множини і назвемо його . Далі візьмемо , і т. д. Одержимо послідовність , причому . Одержана підмножина множини є зліченною за побудовою.

Теорема 3. Об’єднання зліченної множини зліченних множин є зліченною множиною.

Доведення.

Нехай – послідовність зліченних множин, і .

Розглянемо таблицю

Перенумеруємо елементи множин в такому порядку

Якщо в різних множинах , зустрінуться однакові елементи, будемо рахувати їх тільки один раз. Таким чином, всі елементи множини перенумеровані і, отже, множина є зліченною.

Теорема 4. Множина раціональних чисел є зліченною.

Доведення проводиться аналогічно доведенню теореми 3.

Теорема 5. Існують незліченні множини.

Доведення.

Нехай – множина всіх нескінченних послідовностей з нулів і одиниць. Доведемо, що множина незліченна.

Припустимо, що – зліченна. Це означає, що є послідовністю. Тоді , де – послідовності з нулів і одиниць.

Побудуємо послідовність з нулів і одиниць наступним чином: , , . Тоді і . Ми прийшли до суперечності. Отже, множина є незліченною.

1.5. Метод математичної індукції

1.5.1. Аксіоми натуральних чисел

Множина називається множиною натуральних чисел, якщо вона задовольняє наступним аксіомам:

1. Для будь-якого елемента існує єдиний елемент цієї множини, який називається наступним за .

2. Існує єдиний елемент, що позначається 1 і називається одиницею, який не є наступним для будь-якого елемента з .

3. Кожен елемент, відмінний від одиниці, є наступним тільки для одного елемента із .

4. Якщо , , і з того, що випливає, що , то (принцип математичної індукції).

1.5.2. Метод математичної індукції

Нехай є множина тверджень, кожному з яких поставлено у відповідність натуральне число (його номер ). Якщо доведено, що:

1) твердження з номером правильне;

2) із правильності твердження з номером випливає правильність твердження з номером ;

то тим самим доведена правильність всіх тверджень, що розглядаються, тобто правильність твердження з довільним номером .

Приклад.

Довести методом математичної індукції наступну рівність:

.

Доведення.

Перевіримо, що ця рівність правильна при .

.

Припустимо, що рівність правильна при , тобто

.

Доведемо, виходячи з цього, що рівність правильна при , тобто

.

.

Значить, твердження має місце при будь-якому натуральному .