5. Неперервні функції на відрізках

Теорема 1 (перша теорема Веєрштраса). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона обмежена на ньому.

Доведення.

Припустимо супротивне, що функція при необмежена, наприклад, зверху. Це означає, що . Розглянемо послідовність . Ця послідовність обмежена. За лемою Больцано – Веєрштраса, з будь-якої обмеженої послідовності можна вилучити збіжну підпослідовність. Нехай ця збіжна підпослідовність і , причому, очевидно, . Оскільки функція неперервна на відрізку , то за означенням неперервності. З іншого боку, за припущенням , . Ми прийшли до суперечності, значить, функція обмежена на відрізку зверху.

Аналогічно доводиться, що функція обмежена знизу.

Теорема 2 (друга теорема Веєрштраса). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона досягає на ньому свого найбільшого і найменшого значень.

Доведення.

Позначимо через , ; скінченні за першою теоремою Веєрштраса. Припустимо, що , . Значить, , .

Розглянемо допоміжну функцію . Очевидно, визначена, неперервна і додатна на . За першою теоремою Веєрштраса вона обмежена зверху, і нехай – яка-небудь верхня межа цієї функції, тобто , . Тоді , , .

Таким чином, число , , яке менше за , є верхньою межею значень функції , що неможливо, оскільки – точна верхня межа значень функції . Одержали суперечність, значить .

Інакше кажучи, точна верхня межа досягається при деякому значенні аргументу, тому точна верхня межа є максимальним елементом множини значень функції або найбільшим її значенням.

Аналогічно доводиться, що досягає на свого найменшого значення.

Теорема 3 (Больцано-Коші). Нехай функція неперервна на відрізку і на кінцях відрізку приймає значення . Тоді для будь-якого , що лежить між і існує така точка , що .

Доведення.

Для визначеності будемо вважати, що , і тоді . Поділимо точкою на два рівних за довжиною відрізки. Тоді, або і шукана точка знайдена, або . В останньому випадку на одному з одержаних відрізків функція на лівому кінці приймає значення менше за , а на правому – більше за .

Позначимо цей відрізок через і знову поділимо його на два рівних за довжиною відрізки і так далі. В результаті або через скінченне число кроків прийдемо до шуканої точки , в якій , або одержимо послідовність вкладених відрізків , довжини яких прямують до нуля і таких, що

.

Нехай – спільна точка для всіх .

Тоді за теоремою про вкладені відрізки .

Тому, в силу неперервності функції , маємо .

З одержимо . Звідси зрозуміло, що .

Зауваження. Ми довели, що неперервна на відрізку функція, приймаючи будь-які два значення, приймає й будь-яке значення, що лежить між ними.

Наслідок 1. Якщо функція неперервна на відрізку і на його кінцях приймає значення різних знаків, то існує хоча б одна точка така, що .

Наслідок 2. Нехай функція неперервна на і , . Тоді функція приймає всі значення з відрізку і тільки ці значення.

Справді, за умовою і згідно другої теореми Веєрштраса існують такі точки і , що , . Наслідок 2 безпосередньо випливає з теореми 3 застосованій до відрізку , якщо , або відрізку , якщо .

Таким чином, множина всіх значень функції, заданої і неперервної на деякому відрізку, є також відрізок.

Теорема 4. Нехай функція визначена, строго монотонно зростає (спадає) і неперервна на відрізку . Тоді у відповідному проміжку значень цієї функції існує однозначна обернена функція також монотонно зростаюча (спадна) і неперервна.

Доведення.

Обмежимося для визначеності випадком, коли . З наслідку 2 теореми 3 випливає, що значення суцільно заповнюють деякий відрізок так, що знайдеться хоча б одне таке значення , що .

В силу строгої монотонності функції таке значення може знайтися тільки одне (якщо , то відповідно і .

Ставлячи у відповідність саме це значення довільно взятому ми одержимо однозначну функцію обернену для функції .

Очевидно, також монотонно зростає. Справді, нехай і , . Тоді за самим означенням функції , одночасно і . Якби було , то в силу було б , що суперечить умові (не може бути також , бо тоді , що також суперечить умові). Таким чином, , тобто зростає.

З монотонності функції на і того, що за доведеною раніше теоремою (див. теорему 2 п. 4.7) випливає неперервність функції на .

Зауваження. Можна показати, що якщо зростає (спадає) і неперервна на відрізку , , то , де .