
- •Передмова
- •Логічна символіка
- •1. Елементи теорії множин
- •1.1. Операції над множинами
- •1.2. Поняття відображення або функції
- •1.3. Еквівалентні множини. Потужність множини
- •1.3.1. Властивості еквівалентних множин
- •1.4. Зліченні множини
- •1.5. Метод математичної індукції
- •1.5.1. Аксіоми натуральних чисел
- •1.5.2. Метод математичної індукції
- •1.6. Біноміальні коефіцієнти. Біном Ньютона
- •2. Аксіоматика дійсних чисел
- •1. Операція додавання.
- •2. Операція множення.
- •3. Зв’язок операцій додавання і множення.
- •4. Аксіома упорядкованості.
- •5. Аксіома неперервності.
- •2.1. Наслідки із аксіом
- •2.1.1. Властивості операцій додавання і множення
- •2.5. Обмежені і необмежені множини. Верхня і нижня межі
- •2.6. Точна верхня і точна нижня межі множини
- •2.7. Принцип Архімеда
- •2.8. Принцип вкладених відрізків
- •2.9. Незліченність відрізка
- •2.10. Теорема про скінченне покриття
- •2.11. Теорема про граничну точку
- •3. Границя числової послідовності
- •3.1. Теореми про границі
- •3.2. Арифметичні операції зі збіжними послідовностями
- •3.3. Монотонні послідовності. Теорема Веєрштраса
- •3.4. Число
- •3.5. Підпослідовності
- •3.6. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші
- •3.7. Найбільша і найменша часткова границя
- •4. Границя і неперервність функції
- •4.1. Основні елементарні функції
- •4.2. Границя функції
- •4.2.1. Лівостороння й правостороння границі
- •4.3. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •4.4. Властивості функцій, що мають границю
- •4.5. Критерій Коші існування границі функції
- •4.6. Неперервність функції
- •4.6.1. Неперервність суперпозиції функцій
- •4.6.2. Одностороння неперервність
- •4.6.3. Класифікація точок розриву функції
- •4.7. Границі і неперервність монотонних функцій
- •4.8. Неперервність елементарних функцій
- •4.9. Важливі границі
- •4.10. Порівняння функцій. Еквівалентні функції
- •5. Неперервні функції на відрізках
- •5.1. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора
- •6. Диференціальне обчислення функції однієї змінної
- •6.1. Означення похідної
4.8. Неперервність елементарних функцій
1. Будь-який многочлен є неперервним на всій числовій прямій.
Якщо
,
то
неперервна. Справді, для
.
Функція
неперервна на числовій прямій. Дійсно,
для
.
,
якщо
- неперервна.
Функція
- неперервна, як добуток
неперервних функцій
.
Многочлен
- одержано з функцій
і
за допомогою арифметичних операцій,
отже, він є неперервним на всій числовій
прямій.
2.
Дробово-раціональна функція
,
де
- неперервні многочлени, є неперервною
для
:
.
3.
Ірраціональні і дробово-ірраціональні
функції неперервні.
-
неперервна при
і
,
тоді
неперервна на
.
-
неперервна, як суперпозиція неперервних
функцій.
4. Тригонометричні і обернені тригонометричні функції неперервні.
.
,
.
.
З
останньої нерівності випливає, що
(справедливо для
).
Далі,
нехай
і
- неперервна на
.
-
неперервна на
.
и
неперервні на своїх областях визначення.
,
,
,
- неперервні за наслідком як обернені
функції до неперервних.
5.
-
неперервна. Доведемо, що
.
Нехай
,
тоді
,
,
.
Для
:
виконується
,
,
отже,
.
Для
:
виконується
,
отже
,
,
тобто
.
Нехай
,
.
Отже,
.
Це означає, що
,
отже,
- неперервна.
6.
-
неперервна, як обернена до
(неперервної і монотонної).
Теорема. Будь-яка елементарна функція неперервна в своїй області визначення.
4.9. Важливі границі
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Доведемо
першу важливу границю
.
Відомо,
що
при
.
Тоді
і, оскільки,
,
то
.
Звідси
при
за теоремою про двох міліціонерів
одержимо:
.
Отже, .
Наслідки.
1)
;
2)
;
3)
.
Доведемо
другу важливу границю
.
Нехай
,
.
Тоді
.
.
За
означенням границі за Гейне
.
Нехай
.
Позначимо
.
Тоді
.
За
означенням границі за Гейне
.
Таким
чином
або
.
Доведемо
.
Дійсно,
.
Зважаючи на неперервність функції
і
одержимо
.
Доведемо
.
Нехай
,
значить,
.
Отже,
.
Доведемо
.
Нехай
.
.
Отже,
.
4.10. Порівняння функцій. Еквівалентні функції
Означення.
Функції
і
називаються еквівалентними при
,
якщо
.
При цьому пишуть
~
,
.
Теорема.
Нехай
~
,
і
~
,
,
тоді:
1)
;
2)
при умові, що границі, які розглядаються, існують (скінченні чи нескінченні).
Доведення.
Доведемо тільки друге твердження теореми.
.
Означення.
Кажуть,
що функція
є о-мале від
і пишуть
при
,
якщо
.
У випадку, коли і – нескінченно малі при , то кажуть, що є нескінченно мала більш високого порядку, ніж , якщо при .
Теорема.
Для
того щоб виконувалося співвідношення
~
,
при
необхідно і достатньо, щоб виконувалася
рівність
=
+
при
.
Доведення.
Необхідність.
Нехай
~
при
.
Розглянемо границю
або
=
,
при
.
Достатність. Нехай має місце рівність: = при , тоді
~ при .
Означення.
Якщо
функцію
в околі точки
можна подати у вигляді
то функція
називається головною частиною функції
при
.
Зокрема, якщо функцію можна подати у вигляді
,
то це
означає, що з точністю до нескінченно
малих більш високого порядку ніж
при
функція
поводить себе в околі точки
як степенева функція
.
Приклад.
.
Означення.
Нехай
функції
і
визначені на множині
.
Кажуть, що
є О-велике від
на множині
і пишуть
,
,
якщо існує число
таке, що виконується нерівність:
,
.
Зокрема,
якщо
обмежена на
,
то пишуть
,
.