Вариант 15
1) Вычислить определитель
.
2) Найти матрицу
,
где
.
3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.
4) Найти площадь
параллелограмма и острый угол между
диагоналями параллелограмма, построенного
на векторах:
,
если
.
5) Найти единичный
вектор
, перпендикулярный векторам
и такой, что векторы
образуют левую тройку.
6) Даны вершины треугольника А(-1; 2; 0), B(1; 4; 5), C(-4; 6; 3). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.
7) Даны вершины треугольника А(18; 44), В(-10; 8), С(6; -16). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.
8) Найти точку В,
симметричную точке А( 3; -4; 21) относительно
прямой
.
9) Даны вершины треугольника А(1; 3; 7), В(-11; -9; -17), С(-3; -17;-5) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.
10) Найти уравнение
плоскости, проходящей через две
параллельные прямые
.
11) Даны вершины тетраэдра A( 4; 5; 3), B( 1 ; 8; 2), C( 2; 3; 7), D( 2; 1 ; 1). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.
12) Установить, что
уравнение
определяет параболу, и найти координаты
ее вершины, величину параметра р и
уравнение директрисы. Изобразить эту
линию на чертеже.
Вариант 16
1) Вычислить определитель
.
2) Найти матрицу
,
где
.
3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.
4) Найти площадь
параллелограмма и острый угол между
диагоналями параллелограмма, построенного
на векторах:
,
если
.
5) Найти единичный
вектор
,
перпендикулярный векторам
и такой, что векторы
образуют левую тройку.
6) Даны вершины треугольника А(2; 6; -4), B(1; 3; -3), C(4; 4; -4). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.
7) Даны вершины треугольника А(17; -32), В(-7; -4), С(5; 16). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.
8) Найти точку В,
симметричную точке А( 3 ; -9; 9) относительно
прямой
.
9) Даны вершины треугольника А(1; -4; 7), В(-47; -28; -17), С(-29; -26;-7) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.
10) Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку А(-3;
1; 4) параллельно двум прямым
.
11) Даны вершины тетраэдра A( 8; 0; 1), B( 2; 4; 3), C( 5; 3; 5), D( 1 ; 7 ; 7). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.
12) Установить, что
уравнение
определяет параболу, и найти координаты
ее вершины, величину параметра р и
уравнение директрисы. Изобразить эту
линию на чертеже.