2.6.4 Средства и способы описания случайных сигналов

Функция с непредсказуемыми значениями не может называться детерминированной. Значит, искать возможности отображать сигналы в форме математических моделей нужно не среди детерминированных функций, которые годятся толькодля представления процессов, в принципе, способных стать сигналами, только потенциальных носителей сигналов. Рассматривать придётсяслучайные сигналыи способные отобразить их случайность математические объекты.

Непрерывное множество значений случайной величины Х называется случайной функцией времени – стохастической функцией Х(t) и характеризуется целым набором «вторичных» характеристик, названных так потому, что большинство из них на основе этих, упомянутых выше функций и вычисляются. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия и моменты более высокого порядка, а также корреляционные моменты и спектр случайной функции.

Случайная функция характеризуется также: реализацией, сечением и её аналитическими представлениями в форме многопараметрического семейс-тва функций с заданными распределениями стохастических параметров.

2.6.4.1. Начальные сведения о случайных функциях

Функций вида y = f(t) X(t) обычно называются стохастическими функциями, Это означает, что они описывают протекающий во времени случайный процесс.

Когда значения функция зависят от значений не случайного аргумента – это не случайная, а самая обыкновенная функция X(t) .

Когда значения обыкновенной функции y = f(t) зависят от значений не случайного аргумента t и не случайного же параметра y_p – это тоже не случайная, а обыкновенная детерминированная функция X(p,t). Множество подобных функций, отличающихся друг от друга только значениями параметра p, образуют параметрическое семейство обыкновенных функций функции

Y(р) = f(p,t).

Если в рамках такого семейства параметр p принимает непредвиденные случайные значения p_k в соответствии с заданной функцией распределения плотности значений параметра p_k = f(p) (она же – p_k=f_p(х р(х)) и характеризующим её условием нормировки вероятностей р(x) dx =1, то семейство Y(р) = f(p_k,t) в целом становится случайной функцией, а обыкновенная функция x_k = f(p_k,t) при реализовавшемся в каждый момент времени t_k случайном значении параметра p_k, называется единичной (конкретной) реализацией случайной функции. Аналогичная функция от параметра p (т.е. х_k₀ = f(p_k,t₀)) при заданном значении аргумента t₀в таком семействе называется сечением случайной функции.

Параметрическое семейство функций Y(р) = f(p_k,t) вместе с законом р(x) распределения плотности реализации определённых значений р чаще называют ансамблем случайных функций и обозначается Y(р) = Х(t). Параметр p в таком случае называется стохастическим параметром ансамбля.

Если функция некоторого семейства зависит от двух различных параметров, то это – двухпараметрическое семейство стохастических функций. Такое семейство становится двухпараметрическим стохастическим ансамблем, если задано двухмерное распределение плотности вероятностей реализации определённых парных сочетаний значений двух стохастическим параметров семейства.

Семейство стохастических функций может быть и многопараметри-ческим. Для его превращения в многопараметрический ансамбль требуется задание столь же многомерной функции распределения вероятностей. Каж-дый из n параметров, n-параметрического ансамбля иногда называют степенью свободы такого ансамбля. Например, ансамбль гармонических функций Х(t) = Аsin(t+) может называться стохастическим ансамблем стремя степенями свободы, если для него определена трехмерная функция распределения вероятностей p(А,,)такая, что