2.6.3.3 Потенциальный носитель сигналов третьего типа

X(t) Слева на рисунке представлен

конечный фрагмент (отрезок) длинной

t регулярной последовательности элек-

трических импульсов одинаковой дли-

тельности, которые равномерно (отсюда и название – регулярная) расставлены на временной оси. Каждый импульс имеет амплитуду Х₀ = u, длительность иповторяется через Т секунд (здесь Т 2).

Так графически представляется этот носитель на временной оси.

Одной из форм его аналитического представления, как периодического процесса (импульс повторяется через Т секунд), является ряд Фурье:

X(t) = e ^jkΏt (где =), коэффициенты которого считаются по формулам: =X(t)e^-jkΏtdtи позволяют построить «портрет» этого носителя в частотном пространстве.

Начать построение такого портрета в данном случае целесообразно с нахождения спектра одиночного импульса, множество которых и образуют такой процесс. Одиночный импульс – это ограниченная во времени и совсем не периодическая функция. Но, как функция ограниченная (в интервале от – /2 до/2), она тоже может быть представлена в виде ряда Фурье:X() =e^jkΏ. Здесь =. Её спектр, как и спектр функции, непрерывной в интервале определения (в интервале от –/2 до/2), можно считать непосредственно по интегральной формуле Фурье, которая в общем виде представлена ниже.

=X(t)e^-jkΏtdt .

Подставив в правую её часть значения соответствующих параметров нашего импульса, получим: = u е ^-jt.

Вычисляя этот интеграл, имеем:

= е^{-jt подставляем верхний предел/2} _{отнимаем нижний предел /2} =

= [ e^-j/2 – e^-j/2] = 2 Sin= Sin.

В итоге мы обнаруживаем знакомую нам «функцию отсчётов», но здесь она таковойне является. Просто этот математический объект используется (подходит) ещё и для описаниясплошного спектра одиночного импульса.

– непрерывная функция. Мы называем её «пор-третом» процесса (одиночного импульса) в частотном пространстве.

Этот «портрет» и показан ниже на рисунке.

Уровеньu

Огибающая спектра.

k

Эта, не очень изящная на рисунке, пунктирная линия, на самом деле – плавная огибающаясплошного спектра. Она называется здесь огибающей, ибо показывает, что в каждой точке частотной оси имеет место гармоничес-кий процесс, интенсивность которого на соответствующей частоте равна мо-дулю функции(один из таких процессов с частотой=kна ри-сунке особо выделен жирным вертикальным отрезком).

Огибающая касается частотной оси в точках, где аргумент функции превращает её в нуль. Такие точки расставлены по оси частот с периодом , который задан длительностьюодиночного импульса. Последнее озна-чает, что приочень короткомимпульсе энергетически значимая часть гармо-нических составляющих импульса занимаетболее широкуюполосу частот, чем такая же их часть у импульсабольшейдлительности.

При плавном возрастании длительности импульса , отображающая его картинка будет равномерно сжиматься к вертикальной оси. Все указанные на горизонтальной оси пропорции при этом сохраняются.

Возвращаясь к аналогичному «портрету» потенциального носителя

третьего типа –к бесконечной последовательности коротких импульсов, вспомним, что аналитически она представляется рядом Фурье

X(t) = e^jkΏt (здесь=), коэффициенты которого считаются

по формулам =X(t)e^-jkΏt dt

Сопоставляя эти формулы с интегральным преобразованием Фурье

=е^-jt , обнаруживаем, что

S(j) – это полный аналог. Но ведь это – значения модуля фун-кции вточках существования каждого из k слагаемых представлен-ного только что ряда Фурье. Это означает, что спектр последовательности (её «портрет» в частотном пространстве) будет определяться (задаваться, всеце-ло зависеть от …) спектром одиночного импульса. Но это будет дискрет-ный спектр. Интенсивности образующих его дискретных гармонических со-ставляющих на отображающей этот спектр картинке (см. выше) показаны жирными вертикальными отрезками, размер которых ограничивается (за-даётся, определяется) той же самой огибающей, которая на предыдущем ри-сунке ограничивала сплошной спектр. Первая частотная составляющая (пер-вая очень жирная вертикальная линия на рисунке) в таком дискретном спектре имеет частоту , остальные равномерно расставлены по оси частот в точках, задаваемых этим же периодом (периодом следования импульсов:

,,,, . и т.д.).

Огибающая спектра.

Количество частот дискретного спектра, которые размещаются в пре-делах одной волны сохранившей своё название и назначение огибающей кривой, определяется соотношением между Т и . Когда, например,Т=5 (импульсы следуют относительно редко) под первой волной их окажется тоже пять.