2.4.1.2 Частотное представление непрерывного сигнала

Формула X = f(t) – описание процесса в координатах «параметр-вре-мя», не является единственной формой представления (описания) процесса, который, действительно, протекает во времени.

2.4.1.2.1 Непрерывные преобразования Фурье

В общем случае, когда функция X = f(t) = X(t) задана на всей временной оси, правомерны известные в математике интегральные Фурье-преобразования:

X(t) =е^jt (II.5)

Здесь – круговая, частота, а

=е^-jt (II.6)

– функция, модуль которой отображает интенсивность элементарного гамо-нического (с частотой) процесса, из бесконечного множества которых складывается процесс y =X(t) в целом.

Правая часть первой из этих формул представляет описание (представление) сообщения в координатах «интенсивность-время». Это ещё один способ временного описания (представления) протекающих во времени процессов, а, следовательно, и еще одна математическая модель детерминиро-ванного сигнала.

Непрерывная функция называется спектром процесса X(t). Это сплошной (непрерывный) спектр. И это означает, что процесс X(t) есть сумма бесконечного количества гармонических колебаний разной интенсивности (её мерой на каждой частоте ) является величина– модуль функции= а() – jb(). (II.7)

Так выглядит третий (теперь, уже в координатах «интенсивность-час-тота») способ описания (частотное представление) реальных физических процессов, а, следовательно, и еще одна математическая модель детерминированного сигнала.

X X(t)

=0

t=0 t Частотный «портрет» сигнала

Временной «портрет» сигнала

Заключая параграф, остановимся на необычной записи функции , в которой присутствует, а не. В этом есть определённый и очень важный смысл, который ниже и раскрывается.

Вспомним формулу (II.1) для квадратичного эффекта сигнала. Правую часть этого выражения можно представить в виде []х[], а один из сомножителей заменить его Фурье-преобразованием:

X(t) =е ^jt,

получаем Е = е ^jt.Теперь вспоминаем, как выглядит обратное Фурье-преобразование: =е^-jt

и подставим его в выражение для Е, поменяв при этом порядок интегрирования и внеся под интеграл и коэффициент .Теперь можно записать

Е= е ^jt.

При этом обнаруживается, что под первым знаком интеграла оказалось произведение двух почти одинаковых функций:

=е ^-jt и отличающейся от неё только знаком перед j

=е ^jt

(обычно принято считать и обозначать:≡).

Такие пары функций в математике называются комплексно-сопря-жёнными функциями. Они отличаются только знаком мнимой части. Модули у таких пар одинаковы и, следовательно,

Е =[модуль][модуль]=

= [модуль]²=²

В итоге: Е = ²(II.8)

Из представленных выше очевидных соображений и соотношений следует, что

– спектр процесса X(t) представляется комплексной функцией ,симметричной относительно начала координат на оси ;

– энергия всех гармонических составляющих процесса X(t) равна энергии сигнала в целом, которая может вычисляться как по временному, так и по частотному представлению сигнала;

– энергия процесса, как характеристика реального процесса, вычисляется в реальной части частотного пространства (при0).