1 Некоторые понятия из теории вероятностей

1. Случайность и её мера

Случайность – это определённая особенность – проявление особого, внутренне присущего некоторым явлениям (системам, событиям) свойства, которая ( особенность) имеет количественную меру и эта мера называется также: вероятность.

Особенность эта для одних явлений состоит в том, что в определённых условиях такие явления (событий) могут состояться, а могут и не состоятся. Такие явления называются случайными событиями. Ежедневный восход Солнца – событие закономерное (не случайное), ибо оно строго следует из хорошо изученного нами устройства нашего Земного мира. Его реализация я в конкретных условиях определённо ожидаема и даже обязательна. Такие события называют достоверными событиями, а мера их реализации должна быть максимальной. Принято считать её (меру) равной единице.

Но гарантий, что завтра Вы на самом деле сможете увидеть восход Солнца, Вам никто некогда не даст. Завтрашний день может оказаться дождливым, и Солнца завтра Вы не увидите вообще. Дождь – явление (событие) случайное, оно возможно, но не обязательно. В таких случаях говорят о возможности, которая полностью не реализуется. Явления, которые наблюдаются относительно часто (например, день Вашего приезда в Сочи оказался солнечным) и встреча с которыми (с этими явлениями) не очень удивляет, имеют высокую меру реализуемости – вероятность, близкую к вероятности реализации достоверных событий (близкую к единице). События, реализующиеся относительно редко (в ночь прилёта в небе Сочи Вы наблюдали северное сияние) и встреча с которыми глубоко удивляет, имеют низкую меру реализуемости – вероятность, близкую к нулю.

В различной степени реализуемости, казалось бы, в одних и тех же условиях и состоит особенность случайных явлений, которая измеряется я дробной мерой (числом р, таким, что 0 < р< 1) с тем же названием. Следовательно, эта дробь является мерой ожидаемой реализуемости в принципе возможного (но случающегося не каждый раз и потому – случайного) события (явления, состояния). Как уже было сказано выше, эта мера тоже называется вероятностью.

2. Понятие ансамбля

Восход Солнца – не случайное событие. Для таких всегда и обязательно р=1. Наткнуться на берёзе на на килограммовое яблоко – событие невозможное. Для таких событий р=0. Дождь – случайное событие, вероятность которого, например, 1мая, в каждой местности – своя. Такие особые случайные события (они обычно обозначаются: «событие А») называются одиночными в том смысле, что оно либо может быть, либо – его может не быть и ни очём больше речт не идёт.

Существуют события другого типа, события, реализация которых, по своей сути, – есть реализация одного из известного количества вариантов сложного, и часто вполне достоверного события.

Набор подобных событий, одно из которых обязательно реализуется, как один из возможных вариантов сложного достоверного события (один из вариантов разрешения исходной неопределённой ситуации – получение определённой оценки на зкзамене), называется полной группой событий. Сумма вероятностей реализации событий полной группы равна единице. Это называется условием нормировки вероятностей для событий полной группы, означает, что одно из событий такой группы обязательно реализуется и в математической записи выглядит соотношением: p_i = 1, где

- p_i – вероятность i^-го события их состава группы, а

- i =1,2,3,…N. – условные номера каждого из событий, которые эту группу образуют.

В качестве примеров полных групп событий можно привести хорошо известные из теории вероятности учебные ситуации.

Пример № 1.

Если Вы бросаете монету, то ожидаете одно из двух событий: выпадет либо «орел», либо «решка». На ребро достаточно тонкая монета встать может только теоретически. Поэтому говорят, что здесь имеет место полная группа событий, которая включает в себя два (i =2) события.

Пример № 2.

В случае бросания игральной кости имеет место ситуация, когда ожидать следует шесть разных её исходов, налицо полная группа из шести (i =6) событий. Эти события можно отличить одно от другого, пометив грани кубика (игральная кость имеет именно такую форму) цифрами 1 , 2, 3, 4, 5 и 6, или, покрасив его грани в разные цвета. Здесь каждый исход свершившегося события (кубик после очередного бросания лежит на столе) может быть исчерпывающим образом охарактеризовано указанием цвете или номера – цвета или номера, например, верхней грани лежащего на столе кубика.

Реально имеют право существовать, и встречаются, полные группы событий с любым реально мыслимым и даже точно не определяемым их количеством. Например, часто встречающийся при изложении теории вероятностей учебный пример, когда муж ожидает сообщение из роддома, куда он накануне отвёз свою жену, преподносится, как ситуация с двумя возможными исходами: рождение мальчика и рождение девочки. В учебных примерах, где ситуация намерено упрощается (в случае с бросанием монеты справедливо игнорируется исчезающе малая вероятность третьего исхода, при котором монета встанет на ребро) это вполне нормально.

Ситуация с ожиданием результатов родов, на самом деле, гораздо сложнее: только при благоприятных вариантах исхода беременности количество таких исходов существенно больше двух. Считайте: один мальчик; мальчик и девочка; две девочки и мальчик; только девочки, но – четыре и т. д. Чем больше близнецов, тем больше вариантов их распределения по принадлежности к разному полу.

Теоретически в данной ситуации полную группу событий образуют всепрактически возможные варианты исхода беременности, включая и неблагоприятные, при которых мать и (или) часть новорожденных не выживает. Важно только, что всегда при этом (беременность каким-то образом заканчивается) , где «i» – количество событий в полной группе, которое здесь чётко не определено (его придётся выбирать, пренебрегая очень редкими – «невероятными» событиями), а – вероятностьi-^го события (для некоторых из них, например, рождение шестерых мальчиков и одной девочки, – очень малая).

Этот пример и связанные с ним пояснения должны ещё раз показать Вам, что любые описания реальных ситуаций – это приблизительная их модель. Пользуясь какой-либо моделью, об этом всегда нужно помнить, четко представляя, что эта модель и в какой мере отображает, а что в ней не учтено совсем. Тогда Вы правильно будете истолковывать выводы из этой модели или из теории, которая, в сущности, – тоже модель более или менее широкого круга похожих явлений.

В случае бросания монеты

0,5 – вероятность выпадения «орла»,

0,5 – вероятность выпадения «решки». При этом .

В случае бросания обыкновенной игральной кости все вероятности

= 1/6, а .

Не обыкновенная игральная кость – это, когда её владелец (мошенник) слегка утяжелил одну из граней кубика, чем резко увеличил вероятность таких исходов бросания, при которых эта грань будет соприкасаться со столом.

Всвете всего сказанного выше,одиночное случайное событие с вероятностью р_А, (1мая идёт дождь) можно рассматривать, как одно из двух событий полной группы. Вторым членом такой особой группы считают событие, которое есть отсутствие первого события – ту единственную ему альтернативу, которая уже упоминалась выше. Альтернативой дождю может быть только его отсутствие («событие не А»(«событие А»).

Очевидно, что вероятность q такого события (отсутствие дождя), которое в подобных парных группах событий называют дополнительным событием, всегда равна 1– p (ибо по условию нормировки вероятностей

q + р =1).

Таким образом, мы уравняли статус всех событий, которые могут случиться в окружающей нас действительности и научились их характеризовать: каждое из них принадлежит к какой-то полной группе событий, а сумма вероятностей событий в любой такой группе равно единице. При этом, 0 р1, что охватывает и достоверные события (группа состоит из единственного события с р =1), и «пустые» группы с событиями, для которых р = 0 (невозможные события).

В реальности всё, однако, не так просто.

Совершенно разные события могут быть совместными и несовместимыми. Совместные события могут реализоваться одновременно. И в дождливую и в солнечную погоду Вы можете найти на асфальте пятак. Не могут быть совместными события одной и той же полной группы событий, как не может единожды упасть двумя гранями верх игральная кость. Упомянутые полные группы образуют однотипные (похожие друг на друга или объединённые похожими условиями появления) несовместные события.

Одно сложное событие из двух (и более) несовместных событий, которое заключается в реализации, хотя бы одного (любого) их них называется суммой событий. Вероятность такого события равна сумме вероятностей рассматриваемых событий (р= р₁+ р₂ – правило сложения вероятностей).

Другое сложное событие, составленное из двух (и более) совместных событий, состоящее в совместной (и одновременной) реализации одного из парных (и большего – по числу исходных событий, взятых из разных и независимых полных групп), сочетаний простых событий, называется произведением событий. Вероятность такого сложногособытия в простейшем случае равна произведению вероятностей рассматриваемых событий (р_ij = р_j р_i – правило умножения вероятностей).

Сложного события из двух (и более) несовместных событий быть не может. Уже упоминавшиеся выше полные группы образуют однотипные (похожие друг на друга или объединённые похожими условиями появления) несовместные события.

Понятие вероятности, введённая выше его количественная мера и только что представленные правила обращения с ними используются и при описании свойств многих совсем не случайных явлений. Там вероятность проявляется в другой форме. Параметры, которыми принято характеризовать вещи, явления и отношения (например, продолжительность дождя и размер образующих его капель, масса снятого с дерева яблока или упавшего на Землю метеорита, количество вместившихся в Вашу горсть грецких орехов и т.п.), – выражаются случайными числами. Здесь вероятность р_i характеризует меру реализуемости одного (X_k) из числовых значений параметра (одного из множества {X_i} его возможных значений).

Случайными здесь оказываются не явления (события) в целом, а реализующиеся в определённых условиях значения (одного из нескольких возможных) параметров, которыми это явление (предмет, событие) характеризуется (описывается). Каждое из таких конкретных значений имеет свою собственную в определённых условиях вероятность реализации р_i. Полная совокупность {X_i} возможных числовых значений определенного параметра, которая объединена в единое целое представленным выше условием нормировки вероятностей , где «i» – количество возможных значений данного параметра, образует полную группу значений, которое называется множеством (ситемой) случайных чисел.

В математике любая совокупность (множество) элементов {X_i} (событий, состояний какой-то системы, случайных чисел или каких-либо других реальных объектов или символов), которое объединена в единое целое представленным выше условием нормировки вероятностей , где «i» количество элементов, а р_i – вероятности реализации каждого из них, называется дискретным ансамблем.

Условие нормировки вероятностей для элементов дискретного ансамбля (а в частном случае – для ансамбля событий) имеет наглядную графическую форму представления (см. рисунок ниже), которая здесь подробно представлена на частном примере.

Пример № 3.

При бросании на стол пары игральных костей обязательно «выпадет» (окажется на верхних гранях лежащих на столе после «метания» этих кубиков) некоторое количество «i» очков которое всегда будет находиться в пределах от 2 до 12. От 2 потому, что это есть минимальная сумма (одно очко на одном и одно очко на другом), которая может «выпасть» при бросании двух кубиков. До 12 потому, что это есть максимальная сумма (шесть очков на одном и шесть очков на другом), которая может здесь «выпасть».

При каждом таком бросании, строго говоря, одновременно реализуются два независимых события (обозначим вероятность этого p_i):

- «выпадение» (с вероятностью p⁽¹⁾ =1/6) на одном кубике⁽¹⁾ одного из 6 ^ти возможных (1,2,3,4,5 и 6) количеств очков;

- «выпадение» (с вероятностью p⁽²⁾ =1/6) на другом кубике⁽²⁾ одного из тех же 6 ^ти возможных (1,2,3,4,5 и 6) количеств очков.

Следовательно, при каждом таком бросании реализуется сложное событие, вероятность которого находится как произведение вероятностей составляющих (образующих) его простых событий, то есть

p^(1,2)_i = p⁽¹⁾ p⁽²⁾ = [1/6]х[1/6] =1/36, а общее количество таких сложных событий с вероятностями p^(1,2)_i = 1\36 оказывается равным 36 ^ти.

Среди этих 36^ти событий нас, как мы выяснили выше, интересуют только 11! Те, которые отличаются друг от друга суммой (от 2^х до 12^ти) «выпавших» очков. Таким образом, для нас p^(1,2)_i p_i , ибо суммы очков при реализации двух разных (из 36^ти возможных) событий – событий с вероятностями p ^(1,2)_i и p^(2,1)_i окажутся одинаковыми (а события неразличимы!). При неразличимости некоторых пар (и, как мы убедимся ниже, более многочисленных групп) исходов общее их количество и уменьшилось с 36 ^ти до 11 ^ти.

Числа 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 и 12, которые здесь выступают в качестве индивидуального отличительного признака каждого интересующего нас события полной группы, реализуются с вероятностями реализации каждого из помеченных этим признаком 11^-ти возможных событий, которые выше обозначены p_i и которые оказались нам неизвестными. Попытаемся найти их.

Очевидно, что p₂ = p ⁽¹⁾₁ х p⁽¹⁾_{1 .}

Существует единственный способ «выпадения» суммы, равной 2 – по одному очку на каждом кубике. Следовательно, p₂= [1/6]х[1/6] =1/36.

Оценим далее p₃ . Здесь возможны два пути к сумме, равной 3:

- одно очко₁ на первом кубике (с вероятностью p ⁽¹⁾₁) и два

очка₂ на втором (с вероятностью p ⁽²⁾₂) и

- наоборот (с вероятностями p ⁽¹⁾₂) и p ⁽²⁾₁ , соответственно).

Нам важна только сумма «выпавших» очков. Поэтому нам доста-точно реализации одного из этих двух исходов. Но поскольку их всё-таки два, то шансы «выпадения» трёх очков удваиваются: вероятности реализации этой суммы на разных путях складываются.

p₃ = p ⁽¹⁾₁ х p⁽²⁾₂+ p ⁽¹⁾₂ х p⁽²⁾₁ = [1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] = 1/36+1/36 = 2/36;

При оценке вероятностей «выпадения» последующих возможных сумм будем руководствоваться проиллюстрированным выше правилом сложения вероятностей на нескольких возможных путях получения (реализации ) каждой из них.

p₄ = p ⁽¹⁾₁ х p⁽²⁾₃ + p ⁽¹⁾₂ х p⁽²⁾₂ + p ⁽¹⁾₃ х p⁽²⁾₁ =

= [1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] ]+[1/6]х[1/6] = 1/36+1/36+1/36 = 3/36;

p₅ = p ⁽¹⁾₁ х p⁽²⁾₄ + p ⁽¹⁾₂ х p⁽²⁾₃ + p ⁽¹⁾₃ х p⁽²⁾₂ + p ⁽¹⁾₄ х p⁽²⁾₁ =

= [1/6]х[1/6]+[1[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] ]+[1/6]х[1/6] = 1/36+1/36+1/36+1/36 = 4/36;

p₆ = p ⁽¹⁾₁ х p⁽²⁾₅+p ⁽¹⁾₂ х p⁽²⁾₄ +p ⁽¹⁾₃ х p⁽²⁾₃ +p ⁽¹⁾₄ х p⁽²⁾₂ +p ⁽¹⁾₅ х p⁽²⁾₁ = [1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+

+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] = 1/36+1/36+1/36+1/36+1/36 = 5/36;

p₇ =p⁽¹⁾₁ х p⁽²⁾₆+p⁽¹⁾₂ х p⁽²⁾₅ +p⁽¹⁾₃хp⁽²⁾₄ +p⁽¹⁾₄ p⁽²⁾₃ +p⁽¹⁾₅ х p⁽²⁾₂ +p⁽¹⁾₆ х p⁽²⁾₁ = [1/6]х[1/6] +[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] =

= 1/36+1/36+1/36+1/36+1/36+1/36 = 6/36;

p₈ = p⁽¹⁾₂ х p⁽²⁾₆+p⁽¹⁾₃ х p⁽²⁾₅ +p⁽¹⁾₄ хp⁽²⁾₄ +p⁽¹⁾₅ х p⁽²⁾₃ +p⁽¹⁾₆ х p⁽²⁾₂ = [1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+

+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] = 1/36+1/36+1/36+1/36+1/36 = 5/36;

p₉ = p ⁽¹⁾₃х p⁽²⁾₆+p⁽¹⁾₄ х p⁽²⁾₅ +p⁽¹⁾₅ х p⁽²⁾₄ +p⁽¹⁾₆ х p⁽²⁾₃ =

= [1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] =1/36+1/36+1/36+1/36 = 4/36;

p₁₀ = p⁽¹⁾₄х p⁽²⁾₆+p⁽¹⁾₅ х p⁽²⁾₅ +p⁽¹⁾₆ х p⁽²⁾₄ =

=[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] = 1/36+1/36+1/36 = 3/36;

p₁₁ = p⁽¹⁾₅х p⁽²⁾₆+p⁽¹⁾₆ х p⁽²⁾₅ = [1/6]х[1/6]+[1/6]х[1/6] = 1/36+1/36 = 2/36;

p₁₂ = p ⁽¹⁾₆х p⁽²⁾₆= [1/6]х[1/6] = 1/36;

Легко убедиться, что p_i=1. Исходы бросания двух игральных костей, индивидуальным признаком каждого из которых является сумма «выпавших» очков, образуют полную группу событий (разных исходов бросания, которые образуют ансамбль исходов).

Таким образом, ситуация каждого накануне каждого бросания игральной кости является ситуацией со случайным исходом, всего таких возможных исходов 11 и каждый из них имеет свою (они только что были вычислены выше) вероятность реализации, а все эти вероятности подчиняются условию нормировки вероятностей. Эта ситуация может быть изображена графически.

Проложим горизонтально (см. рисунок ниже) условную ось событий и расставим на ней (не обязательно равномерно) 11 точек, каждая из которых будет отображать (изображать собой) один из возможных в данной ситуации исходов (определённое и отличающееся от других событие) и потому помечена индивидуальным признаком (числом, равным сумме «выпавших» очков) соответствующего исхода. Возведём далее вертикальную ось вероятностей и отметим на ней уровни вычисленных выше вероятностей возможных исходов бросания игральной кости, проведя параллельно оси событий соответствующие этим уровням пунктирные линии.

ДИАГРАММА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕЖДУ ИСХОДАМИ

Ось вероятностей Уровень 6/36

р (вероятность) Уровень 5/36

Уровень 4/36

Уровень 3/36

Уровень 2/36

Уровень 1/36

Ось событий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Возведём далее из каждой точки-события отрезок, высота которого (в масштабе оси вероятностей) равна вероятности соответствующего события (исхода). Суммарная высота всех этих отрезков, в соответствии с условием нормировки вероятностей равна единице.

Таким образом, мы получили графический «портрет» ситуации накануне «метания» кости, который называется линейной диаграммой дискретного распределения вероятностей между возможными исходами ситуации (такая диаграмма может быть ещё круговой.

Эта диаграмма показывает как распределяется (будучи разбитой на дроби) единица между исходами, та суммарная единица, малые доли которой становятся мерами вероятностей для событий, образующих полую группу исходов «метания» игральной кости. Речь, следовательно, идёт о той единице, которая появляется в условии нормировки вероятностей при суммировании дробей, измеряющих (обозначающих) вероятности соответствующих этим дробям исходов. В круговой диаграмме дроби – это доли общей площади круга, которые «достаются» каждому исходу в качестве меры его вероятности

Ниже приведены диаграммы распределений вероятностей для более простых дискретных ансамблей (полных групп исходов) исходов

( См. Пример 1 и Пример 2).

Пример 1 (монета) Пример 2 (игральная кость)

p_i - ось вероятностей p_i - ось вероятностей

Уровень 50% Уровень

1 2 3 4 5 6

Орёл Решка Сумма очков на верхних гранях двух костей

Часто распределение вероятностей для любых ансамблей задают просто табличкой, правильность которой проверяется упоминавшимся

Дискретное распределение вероятностей для элементов ансамбля

Событие Аi	А1	А2	А3	………………	АN
Вероятность pi события Аi pi =p(Аi)	р1	р2	р3	……………	pN

выше условием нормировки вероятностей.