8.2. Экстремум функции

Определение. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство: ,( ).

Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции меняет знак с + на – то х₀ точка максимум. А если наоборот то - минимум.

Максимум и минимум функции называют экстремумами функции, а точка х₀ х₁- точкой экстремума.

Теорема. (Необходимое условие существования экстремума.) Если функция у=f(х) имеет экстремум в некоторой точке, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Значения аргумента, при которых производная равна нулю или не существует, называется критическими. Таким образом, если функция имеет экстремум, то он может быть только в критических точках.

Схема исследование дифференцируемой функции на экстремум

1. Найти производную функции.

2. Найти те значения х, которые обращают эту производную в нуль. Для этого нужно приравнять найденную производную к нулю и решить уравнение с одной неизвестной.

3. Установить знак производной вблизи критических точек и определить характер экстремума.

4. Вычислить значение функции в точках максимума и минимума.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

Функция определена и непрерывна при всех x. Найдем производную функции:

следовательно, производная не существует в точке x₁=0 и обращается в нуль, если , т.е. при x₂= 1.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах:

Точка x₂= 1  точка максимума, т.к. производная дифференцируемой функции меняет знак с «+» на «−».

Точка x₁=0 точка минимума, т.к. производная дифференцируемой функции меняет знак с «–» на «+» .

8.3. Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале , если график на этом промежутке расположен ниже касательной, проведённой к графику этой функции в любой точке . Если же на интервале график функции располагается выше любой касательной, проведённой к графику этой функции, то его называют вогнутым (выпуклым вниз).

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция вогнута (выпукла).

Теорема (необходимый и достаточный признак выпуклости и вогнутости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то график функции выпуклый (вогнутый) на этом промежутке.

Т еорема (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть точка – точка перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции , тогда производная дважды дифференцируемой функции равна 0.

Замечание. График функции может иметь точку перегиба и при таком, что вторая производная не существует. Поэтому возможными точками перегиба («подозрительными на перегиб») являются точки, где вторая производная или равна нулю, или не существует. Такие точки называют критическими точками 2-го рода. Заметим, что не всякая такая точка является точкой перегиба.

Например, для функций и вторые производные и при обращаются в нуль. При этом точка О(0;0) для графика функции является точкой перегиба, а для графика функции не является. Выясним, в каком случае критическая точка 2-го рода будет точкой перегиба.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Пусть функция определена в окрестности критической точки 2-го рода и дважды непрерывно дифференцируема (хотя бы в проколотой окрестности точки ). Если вторая производная меняет знак при переходе через , то – точка перегиба.

Г рафик функции является вогнутым на интервале и выпуклым на интервале . Точка является точкой перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах вогнутости (выпуклости) и точек перегиба.

4. Найти значение функции в точках перегиба.

Пример. Исследовать на выпуклость и вогнутость, найти точки перегиба графика функции .

Используя определение модуля, данную функцию можно записать в виде:

.

Заметим, что функция непрерывна . Вычислим:

.

При производная не существует , поэтому также не существует. При имеем:

.

Итак, критические точки 2-го рода: (т.к. ) и (т.к. не существует). Отметим эти точки на числовой оси.

В каждом из полученных интервалов определим знак второй производной:

;

;

).

Согласно вышеизложенным теоремам делаем вывод: на интервале график выпуклый, на – вогнутый, на – выпуклый.

, – точки перегиба.

, .