Раздел V. Дифференциальное исчисление одной переменной

Глава 7. Производная

7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной

Переходим к изложению основ дифференциального исчисления. В качестве введения в дифференциальное исчисление рассмотрим задачу о скорости и задачу о касательной. Обе задачи исторически оказались связанными с формированием основного понятия дифференциального исчисления, получившего название производной.

Задача о скорости. Материальная точка движется прямолинейно так, что в каждый момент времени t она находится на расстоянии от некоторой выбранной в качестве начальной точки O (говорят, что задан закон движения ). Найти скорость v движения точки в момент .

В момент времени пройденное расстояние равно , а в момент времени расстояние равно . Таким образом, за промежуток времени от до точка пройдет путь .

Средняя скорость движения материальной точки за указанный промежуток времени равна .

Средняя скорость движения зависит не только от выбранного момента времени t₀, но и от длительности рассматриваемого промежутка времени t. Чем меньше величина t, тем точнее средняя скорость «характеризует» это движение в момент времени t₀. Поэтому предел средней скорости движения при стремлении t к нулю называют скоростью движения точки в данный момент времени t₀ (мгновенной скоростью):

.

Задача о касательной. Пусть имеется кривая и лежащая на ней некоторая точка M. Возьмём на этой кривой любую другую точку N и будем перемещать её по кривой, неограниченно приближая к точке M (то есть, чтобы расстояние между ними стремилось к нулю). При этих условиях секущая MN, вообще говоря, меняет своё положение, вращаясь вокруг точки M (рис. 7.1). Если существует прямая MT, являющаяся предельным положением секущей MN при неограниченном приближении точки N по кривой к точке M, то эта прямая называется касательной к кривой в точке M. Следует иметь в виду, что кривая в её точке M может и не иметь касательной.

Рассмотрим некоторую плоскую кривую с уравнением и точку этой кривой (рис. 7.2). Пусть кривая в точке M имеет невертикальную касательную MT. Напишем уравнение этой касательной.

Значению аргумента соответствует значение функции и, значит, точка кривой. Здесь – произвольное приращение аргумента, а – приращение функции при .

Пусть теперь x 0, тогда точка N по кривой стремится к точке M, секущая , меняя своё положение, будет стремиться занять положение касательной MT к кривой в точке M. Обозначим через  угол наклона к оси OX секущей MN, а через  – угол наклона касательной к кривой в точке M. Если x0, то  и, значит, tgtg. Но , следовательно, .

Уравнение касательной MT – прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , запишется в виде

.

Итак, если сопоставить операции, которые осуществлялись при решении рассмотренных задач, то легко заметить, что в обоих случаях по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение независимой переменной и затем вычислялся предел их отношения. Таким путём приходим к основному понятию дифференциального исчисления –– к понятию производной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х. Дадим аргументу приращение (при этом предполагается, что точка принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение .