1.7.3. Функция плотности распределения вероятностей

Плотностью распределения вероятностей ……………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………..………..

Функция плотности распределения вероятностей является одной из форм задания закона распределения непрерывных случайных величин.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Свойства функции плотности распределения вероятностей:

1. ……………………………………………………………………………………

2. … …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. … …………………………………………..….…. …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

4. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Следствие: …………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………….………..…….

1.8 Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения дает исчерпывающее представление о случайной величине. Кроме того, в ТВ и ее приложениях широко используются числовые характеристики ....……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….

Важнейшими характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.

1.8.1 Математическим ожиданием дискретной случайной величины …. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………….

При этом предполагается, что …………………………………............................……

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины .…… ………………………………………………………………………………………….

………………………………..

при условии, что ………………………………………………….…………………..

Математическое ожидание характеризует ..................…………………….. ...

В механической интерпретации математическое ожидание представляет собой……………………………………………………………………………….

Дадим несколько определений:

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли другие величины.

Суммой (произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина Х+Y (ХY), возможные значения которой равны суммам (произведениям) каждого возможного значения величины Х с каждым возможным значением величины Y. Вероятности возможных значений величины Х+Y (ХY) для независимых величин Х и Y равны произведениям вероятностей слагаемых (сомножителей), для зависимых величин – произведениям вероятности одного слагаемого (сомножителя) на условную вероятность второго.

Свойства математического ожидания:

1. ...................................................................................................................

...................................

2. ................................................................................................................... ...................................................................................................................

........................................

3. ......................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................

Следствие: ....................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................

Следствие: ...................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................

1.8.2. Модой дискретной случайной величины называется .................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ......................................................................................................................................

Модой непрерывной случайной величины называется ............................. ......................................................................................................................................

1.8.3. Медианой случайной величины называется ........................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................

Медиана характеризует .................................................................................

С геометрической точки зрения, медиана ........................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................Для практического определения медианы удобно использовать соотношение:

.............................................

1.8.4. Основными характеристиками рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Отклонением называется ............................................................................ ......................................................................................................................................

Дисперсией случайной величины называется ........................................... ......................................................................................................................................

.....................................................

Это соотношение можно преобразовать следующим образом:

...........................................................................................................................................................................................................................................................................

Расчетные формулы для вычисления дисперсии:

..........................................................................................................................

..........................................................................................................................

Свойства дисперсии:

1. ...................................................................................................................

......................................

2. ......................................................................................................................................................................................................................................

........................................

3. ......................................................................................................................................................................................................................................

..............................................

Следствие 1. ................................................................................................... .....................................................................................................................................

Следствие 2. ................................................................................................... ......................................................................................................................................

Размерность дисперсии ................................................................................. ......................................................................................................................................

Средним квадратическим отклонением называется ............................. ......................................................................................................................................

.........................................

Свойства среднего квадратического отклонения непосредственно выводятся из свойств дисперсии.

Проверочный тест 7

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

1.8.5. Коэффициент асимметрии .............................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................................

Для симметричных относительно математического ожидания распределений ........................... Если в распределении случайной величины преобладают положительные отклонения, то ........................, если преобладают отрицательные отклонения, то .............................

1.8.6. Коэффициент эксцесса ..................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Для случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, ...................... Если кривая распределения имеет более острую и высокую вершину, чем кривая нормального распределения, характеризующаяся таким же значением дисперсии, то ............................; если при тех же условиях график кривой .......... имеет более низкую и пологую вершину, чем кривая нормального распределения, то ................................