МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА

Кафедра «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Е. Л. САЗОНОВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ч а с т ь 1

Теория вероятностей

Пособие для студентов факультета безотрывного обучения

Гомель 2000

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА

Кафедра «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Е. Л. САЗОНОВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ч а с т ь 1

Теория вероятностей

Пособие для студентов факультета безотрывного обучения

Под редакцией канд. физ.-мат. наук, доцента В. С. Серёгиной

Одобрено методической комиссией факультета безотрывного обучения

Гомель 2000

© Е. Л. Сазонова, 2000.

Пособие для студентов факультета безотрывного обучения

Редактор И . И . Э в е н т о в Корректор Н . А . Д а ш к е в и ч

Технический редактор В . Н . К у ч е р о в а Компьютерный набор и вёрстка кафедры «Прикладная математика» БелГУТа

Подписано в печать 02.06.2000. Формат бумаги 60 × 84 1/16. Бумага газетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 5,58. Уч.-изд. л. 5,85. Тираж 600 экз.

Зак. № 1314. Изд. № 3172.

Редакционно-издательский отдел БелГУТа, 246653, г. Гомель, ул. Кирова, 34. Лицензия ЛВ № 57 от 22.10.1997.

Типография БелГУТа, 246022, г. Гомель, ул. Кирова, 34.

Лицензия ЛП № 360 от 26.07.1999.

ВВЕДЕНИЕ

При изучении явлений окружающего мира, в научных и технических исследованиях часто встречаемся с так называемыми вероятностными (случайными) экспериментами. Вероятностными экспериментами называются испытания, которые могут быть многократно воспроизведены при соблюдении одних и тех же фиксированных условий, результат которых не удается заранее однозначно предсказать. Приведем несколько примеров случайных экспериментов:

–подбрасывание монеты;

–подбрасывание игральной кости;

–подсчет числа сбоев оборудования в течение смены;

–измерение времени работы прибора до первого отказа;

–измерение массы прореагировавшего в течение времени t вещества;

–измерение отклонения размера детали от номинала, и т. д. Наблюдаемое различие в результатах экспериментов обусловлено воз-

действием большого числа неконтролируемых факторов, не заданных в числе основных условий испытаний и вносящих различия в его результаты. И хотя при наличии случайных факторов результат каждого отдельного наблюдения предсказать невозможно, практика показывает, что, наблюдая в совокупности результаты большого числа случайных экспериментов, в них обнаруживают своего рода устойчивости (закономерности). Причем эти закономерности проявляются тем значительнее, чем обширнее массив наблюдаемых данных.

Изучение таких закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов, и разработка математических моделей случайных экспериментов являются предметом теории вероятностей. Знание методов теории вероятностей позволяет инженеру использовать математические модели для решения практических задач. Однако, как правило, теория вероятностей не занимается вопросами, насколько хорошо построена математическая модель и хорошо ли она согласуется с практикой. Для исследования этих вопросов применяются методы математической статисти-

ки.

Подчеркнем еще раз, что необходимыми условиями применения вероят- ностно-статистических методов являются:

3

1)возможность (хотя бы мысленно реально представимая) многократного повторения интересующих нас наблюдений в одних и тех же условиях;

2)наличие большого числа случайных факторов, вносящих элемент неопределенности в результаты наблюдений;

3)наличие определенных количественных закономерностей, проявляющихся при многократном повторении вероятностных экспериментов в одних

итех же условиях.

Результаты экспериментов можно охарактеризовать качественно и коли-

чественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или не наблюдаться при данном испытании. Любое из таких явлений называется случайным событием.

Количественная характеристика испытания состоит в определении значений некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании. В силу действия большого числа неконтролируемых факторов эти величины могут принимать различные значения в результате испытания. До проведения эксперимента невозможно предсказать значение интересующей нас величины, поэтому она называется случайной величиной.

4