3.7. Простейшие свойства бесконечно малых величин
Теорема 1. Сумма нескольких БМ есть величина БМ.
Пусть даны БМ
Выберем любое число
.
Тогда, для БМ будем иметь
Если выбрать
то
Поэтому
т.е.
Подумайте, можно ли обобщить теорему 1 на бесконечное множество слагаемых.
Теорема 2. Произведение БМ на ограниченную величину есть БМ.
Для
доказательства выберем любое число
.
Если
то можно считать, что
Тогда
т.е.
– БМ.
Задание для самостоятельного решения
Подумайте, будут ли являться бесконечно малыми величины:
а)
б)
в)
,
если
имеет конечный предел;
г)
если
– отделимая от нуля величина.
3.8. Простейшие свойства пределов.
Распространим известные из школьного курса математики свойства пределов числовых последовательностей на другие величины (предел числовых функций одной и нескольких переменных в точке и в бесконечности).
Теорема 1.
Если величины
и
имеют конечные пределы, то
.
Доказательство:
где
Поэтому
Теорема 2. Если величины и имеют конечные пределы, то
Доказательство аналогично предыдущему:
Теорема 3. Если величины
и
имеют конечные пределы, причём
то
Для доказательства заметим, что величина отделима от нуля, и поэтому отношение / будет всегда определено в соответствующей области изменения х.
Доказательство аналогично предыдущему:
3.9. Сравнение бесконечно малых.
Две бесконечно малые величины (x) и (х) могут стремиться к нулю с разными «скоростями». Для того, чтобы оценивать эту разницу, составляют отношение (x)/ (х). Если это отношение имеет предел, то целесообразно ввести следующие определения (вместо (x) и (х) в дальнейшем условимся записывать , ).
Величины и называются БМ одного порядка, если существует конечный ненулевой предел
(3.9.1)
Если
(3.9.2)
то и называются эквивалентными БМ. Обозначают .
Если
(3.9.3)
то называют БМ высшего порядка по отношению к . Обозначают =о().
Величина
называется БМ п-ного порядка по
отношению к , если
и
– БМ одного порядка:
(3.9.4)
Для сравнения БМ используется еще следующая символика:
;
(3.9.5)
=О (1) – ограниченная величина.
Очевидно, что условие (3.9.5) выполняется при существовании любого из пределов (3.9.1) – (3.9.4). Поэтому (3.9.5) следует использовать лишь в тех случаях, когда рассмотренные пределы либо не существует, либо их не удается вычислить7 .
1 Условимся в дальнейшем называть числовые функции просто функциями (если это не приводит к недоразумениям).
2 О.Хевисайд (1850-1925) – английский инженер и математик.
3 П. Дирихле (1805-1859) – немецкий математик.
4 Слово parameter соответствует русскому «мерило». Оно было введено древне-греческими математиками именно для обозначения t в уравнениях вида (3.1.4), (3.1.5).
5 supremum - наивысшее (лат.)
6 infinum - наинизшее (лат.)
7 Символы о и О были введены математиком Э.Ландау (1877 – 1938).