Задание для самостоятельного решения

1. Постройте кривые:

а) б) в)

2. Запишите уравнение сферы с центром в точке М(1, 1, 2) и радиусом 4

а) в неявном виде;

б) в явном виде.

3. Как интерпретировать геометрически уравнение (xR, yR, zR) ?

3.1.4. Последовательность. Числовая последовательность.

Отображение f: NX, где N – множество натуральных чисел, а X – произвольное множество, называется последовательностью.

Условимся обозначать последовательность через или

(3.1.9)

В зависимости от природы элементов множества Х можно говорить о последовательности функций, о последовательности отрезков, о последовательности множеств и т.д.

Если Х  R, то (3.1.9) определяет числовую последовательность, известную из школьного курса математики.

Например,

Выражение называется общим членом последовательности. В приведенных примерах соответственно имеем

Иногда общий член последовательности обозначают через f (n)

Для дальнейшего изучения последовательностей нам понадобятся следующие определения.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что  М , n N.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что  m, n N.

Последовательность называется ограниченной, если все её члены лежат в некотором конечном интервале.

В определениях 1 и 2 числа М и m называются соответственно верхней и нижней границами последовательности . Таких границ можно указать сколько угодно много. Наименьшее из всех значений М называется точной верхней границей, а наибольшее из всех значений m – точной нижней границей (см. также п. 3.6.3).

Последовательность называется:

а) монотонно возрастающей (неубывающей), если

б) строго возрастающей, если

в) монотонно убывающей (невозрастающей), если

г) строго убывающей, если

Задание для самостоятельного решения

1. Приведите примеры: а) монотонных последовательностей; б) монотон­ных ограниченных сверху последовательностей; в) ограниченных снизу последовательностей.

2. Запишите первые пять членов каждой из последовательностей:

а) б) в)

3. Запишите формулу общего члена последовательности:

а)

б) 0, 2, 0, 2,…;

в) .

4. Найдите наибольший (наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности (n N):

а)

б)

в)

г)

3.2. Понятие о метрическом и нормированном пространствах.

Наиболее важные положения геометрии связаны с понятием расстояния (подобие фигур, метрические соотношения в треугольнике, измерение площадей и объёмов и т.д.). Оказывается, что основные свойства расстояний носят общий характер и могут быть использованы не только в геометрии, но и в других разделах математики.

В связи с изложенным рассмотрим обобщение понятия расстояния, распространив его свойства на объекты, природа которых не конкретизируется. Это приводит к возникновению нового абстрактного понятия – метрического пространства.

Множество Х называется метрическим пространством, если двум его любым элементам x и y сопоставлено действительное число (x, y), и выполняются следующие условия (так называемые аксиомы метрики):

1. (x, y)  0, причем (x, y) = 0  x = y

(аксиома положительности и тождественности);

2. (x, y) = (y, x) (аксиома симметрии);

3. (x, y) (x, z)+ (z, y) (аксиома треугольника).

Как и в геометрии элементы метрического пространства называют точками этого пространства. Функция (x, y) является аналогом расстояния между точками x и y, и говорят, что (x, y) задает метрику в пространстве Х.

Приведем несколько примеров метрических пространств.

Множество действительных чисел R, где (x, y)= , является

метрическим пространством.

Докажем, например, третью аксиому метрики (выполнение первых двух очевидно). На основании известного свойства модулей

имеем

(x, y)= =

Евклидово пространство , где

(x, y)=

В ортонормированном базисе будем иметь

(x, y)= (3.2.1)

Здесь Нетрудно проверить, что для (3.2.1) аксиомы метрики выполняются.

Метрика (3.2.1) называется евклидовой.

По аналогии с (3.2.1) вводят расстояние в евклидовом пространстве с ортонормированным базисом:

(x, y)= (3.2.2)

Пространство с евклидовой метрикой (3.2.2) также является метрическим пространством. Убедитесь в этом самостоятельно.

В приведенных примерах (в , ) метрика вводилась с помощью скалярного произведения:

(x, y)= (3.2.3)

В пространстве функций, непрерывных на отрезке , метрику также можно ввести согласно формуле (3.2.3):

(x, y)= (3.2.4)

Однако можно и по-другому. Например, часто используется так называемая чебышевская метрика:

 (x, y)= (3.2.5)

В обоих случаях аксиомы метрики выполняются.

Формулы (3.2.4), (3.2.5) можно использовать в качестве критериев близости функций x(t) и y(t). При этом близость согласно (3.2.5) является равномерной (рис. 3.2.1), а функции, близкие согласно (3.2.4), могут на небольших промежутках отличаться существенно (говорят, что такие функции близки в среднем квадратическом (рис. 3.2.2)).