- •4.12. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
- •4.13. Формула Тейлора7
- •Вопросы
- •4.14. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •4.15. Представление некоторых функций по формуле Тейлора
- •4.16. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций
- •4.16.1. Главная часть бм
- •Вопросы
- •4.16.2 Возрастание и убывание функции
- •4.16.3. Экстремумы функции
- •4.16.4. Выпуклость и вогнутость кривой
- •4.16.5. Точки перегиба кривой
- •Вопросы
- •4.17. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных
- •4.18. Локальные экстремумы функции нескольких переменных
- •4.19. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов
- •4.20. Производная скалярного поля по направлению. Градиент
- •Вопросы
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.21. Понятие о приближенных методах поиска локальных экстремумов
- •4.21.1. Релаксационный13 метод
- •4.21.2. Градиентный метод
- •4.21.3. Метод крутого восхождения (наискорейшего спуска)
- •4.21.4. Метод последовательного поворота симплекса
- •4.22. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных
- •4.23. Глобальные экстремумы числовой функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.24. Формулировка задачи линейного программирования
- •4.25. Понятие о задачах нелинейного и целочисленного программирования
- •4.26. Дифференциал и производная вектор-функции скалярного аргумента
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.27. Кривизна пространственной кривой
- •Вопросы
- •Задание для самостоятельного решения
Вполне понятно, что точная верхняя грань будет достигаться при безграничном измельчении делений (каждая вновь вводимая точка может только увеличивать сумму в (4.11.1)). Если п конечно, то дуга называется спрямляемой.
П редположим, что дуга АВ задана уравнением y = f (x) (рис. 4.11.2). Произведя разбиение дуги на п частей, для i-того деления будем иметь
По формуле Лагранжа
,
поэтому
; .
Пусть Тогда
(4.11.2)
где – наибольшее значение модуля производной на рассматриваемом отрезке.
Легко видеть, что точная верхняя грань обладает следующим свойством:
(доказательство осуществляется от противного – сделать самостоятельно). Поэтому на основании (4.11.1), (4.11.2) имеем
. (4.11.3)
По аналогии с (4.11.2):
где – наименьшее значение модуля производной на отрезке
Отсюда (4.11.4)
Из неравенств (4.11.3), (4.11.4) следует, что
.
Пусть теперь , тогда естественно обозначить через , а l – через :
.
При в силу непрерывности производной имеем , т.е. в силу первого признака существования предела
или (4.11.5)
Формула (4.11.5) выражает дифференциал длины дуги плоской кривой. Если кривая задана параметрически
то ,
т.е.
(предполагается, что
Достаточным условием существования дифференциала длины дуги (4.11.5) является Аналогично при параметрическом задании кривой достаточное условие существования дифференциала состоит в том, что
Как известно из школьного курса математики, всякая величина может быть вычислена по её дифференциалу с помощью интегрирования. Этот вопрос будет рассмотрен позднее.
4.12. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Рассмотрим вопрос о том, как быстро изменяется направление касательной к кривой. Для этой цели введём так называемый угол смежности (рис. 4.12.1). Тогда среднюю скорость поворота касательной при перемещении точки из положения А в положение В можно определить как
(4.12.1)
Вопрос
Подумайте, почему не рассматривают отношение
Выражение (4.12.1) называют средней кривизной кривой на
Величина
(4.12.2)
называется кривизной кривой в соответствующей точке.
Для окружности т.е.
Если кривая задана уравнением то вывод формулы для вычисления кривизны выполняется следующим образом:
; ;
;
(4.12.3)
Величина
(4.12.4)
называется радиусом кривизны кривой в соответствующей точке. Очевидно, что
Интересно отметить, что в точке экстремума
В связи с изложенным естественно возникает мысль о замене кривой вблизи рассматриваемой точки дугой окружности. Это приводит к понятию круга кривизны 1, который (рис. 4.12.2)
касается кривой в рассматриваемой точке;
имеет ту же кривизну, что и кривая в рассматриваемой точке;
лежит по ту же сторону от касательной к кривой, что и сама кривая вблизи рассматриваемой точки.
Центр круга кривизны называется центром кривизны кривой в рассматриваемой точке. Вычислим координаты круга кривизны, воспользовавшись рис. 4.12.2:
(4.12.5)
Выразим через производные функции y = f (x):
Отсюда с помощью (4.12.5) имеем
(4.12.6)
Знак модуля производной у" опущен, так как y" > 0 на рис.4.12.2. Если
y''< 0, то r придется откладывать на нормали к кривой в точке М в противоположную сторону, т.е. формулы (4.12.6) справедливы и для этого случая.
В формулах (4.12.6) величины у, у' и у" должны быть заменены на f (x), и (соответственно). Поэтому ясно, что их можно рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой с параметром х. Эта кривая называется эволютой5. Точнее, эволютой следует назвать множество всех центров кривизны данной кривой. Например, для окружности эволюта состоит лишь из одной точки — центра этой окружности. Кривая линия по отношению к своей эволюте называется эвольвентой6 .
Пара кривых эволюта-эвольвента обладают двумя очень интересными свойствами (их доказательства мы не приводим):
1) нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте;
2) приращение длины дуги эволюты равно приращению радиуса кривизны эвольвенты.
Для иллюстрации указанных свойств на рис. 4.12.3 показана эвольвента окружности. Можно себе представить, что с катушки в форме эволюты разматывается нерастяжимая гибкая нить; тогда траектория фиксированной точки на этой нити совпадает с эвольвентой. Если катушку взять некруглой, то получится эвольвента более сложной формы).
П р и м е р
Найти уравнение эволюты параболы у2= 2рх.
Решение находим с помощью (4.12.6):
откуда , (рис. 4.12.4).
З адание для самостоятельного решения
1. Вычислить кривизну (в произвольной точке):
а) эллипса x = аcost, y = bsint ; б) гиперболы ху = 1;
в) параболы четвертого порядка у = ах4.
2. Найти эволюты:
а) эллипса x =cost, y = bsint; б) гиперболы ху =1.